🔥 AP Statistics FRQ Q6 특훈

가중치 3.125x
🎯 핵심 전략 (반드시 읽고 시작)

Q6는 반드시 시도하라

  • 백지는 0점, 한 줄이라도 쓰면 부분점수
  • 가중치 3.125x = 4점 만점 중 2점만 받아도 복합점수 +6.25점
  • 다른 문제에서 2점 올리는 것보다 Q6에서 2점 받는 게 더 쉽다

25분 시간 배분

  • 읽기 + 이해: 3분
  • (a)(b) 계산/해석: 각 3분
  • (c)(d) 분석/논증: 각 4분
  • (e)(f) 시뮬레이션/추론: 각 4분

시뮬레이션 설명 템플릿 (Q6 단골 출제)

  • 1) 모수(parameter) 설정 — "실제 비율이 p = 0.5라고 가정"
  • 2) 난수 생성 방법 — "0~1 난수로 성공/실패 결정" 또는 "복원추출"
  • 3) 통계량 계산 — "표본평균/비율/차이 등을 계산"
  • 4) 반복 — "이 과정을 1000번 반복"
  • 5) 분포 관찰 — "히스토그램으로 표본분포를 확인하고 관측값과 비교"
Problem 1: Regression Model Comparison

이 문제의 핵심 전략

25:00

한 연구자가 특정 고분자(polymer)의 부피(volume, mL)와 질량(mass, kg)의 관계를 조사한다. 15개의 표본에서 데이터를 수집했다.

Model 1: $\hat{y} = b_0 + b_1 x$ (절편 있는 선형 회귀)

PredictorCoefSE Coeftp
Constant0.3400.1282.660.020
Volume1.2210.01581.4<0.001

$S = 0.243$, $R^2 = 99.8\%$, $R^2(\text{adj}) = 99.8\%$

Model 2: $\hat{y} = b_1 x$ (원점 통과 회귀, 절편 없음)

PredictorCoefSE Coeftp
Volume1.2600.008157.5<0.001

$S = 0.287$

잔차 플롯: Model 1은 잔차에 곡선 패턴이 약간 보이고, Model 2는 잔차가 무작위로 흩어져 있다.

(a) 오차 분포 가정 해석
두 모형의 잔차 플롯을 비교하여 선형 회귀의 오차 분포 가정(등분산성, 정규성, 독립성)이 더 잘 충족되는 모형을 설명하시오.
힌트: 잔차 플롯에서 "패턴"이 보이면 → 모형이 데이터를 잘 설명하지 못한다는 뜻. 등분산성은 잔차의 퍼짐이 일정한지, 독립성은 순서에 따른 패턴이 없는지 확인.
모범답안:
Model 1의 잔차 플롯은 곡선 패턴(curved pattern)을 보이므로, 선형성 가정이 위반된다. 이는 부피와 질량 사이의 관계가 정확히 선형이 아닐 수 있음을 시사한다.

반면 Model 2의 잔차 플롯은 잔차가 0을 중심으로 무작위로 흩어져 있어(randomly scattered), 등분산성(constant variance)과 독립성(independence) 가정이 더 잘 충족된다.

따라서 Model 2가 오차 분포 가정을 더 잘 만족시킨다.
점수기준
E두 모형의 잔차 플롯 비교 + 구체적 가정(등분산, 선형성) 언급 + 맥락(context) 포함
P비교는 했으나 가정 이름 누락 또는 맥락 부족
I한 모형만 언급 또는 잘못된 해석
(b) 기울기의 신뢰구간 구성
Model 1에서 기울기(slope)에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오. ($t^* = 2.160$, df = 13)
힌트: 신뢰구간 공식: $b_1 \pm t^* \times SE(b_1)$. 표에서 $b_1 = 1.221$, $SE = 0.015$를 읽어라.
모범답안:
$b_1 \pm t^* \times SE(b_1) = 1.221 \pm 2.160 \times 0.015 = 1.221 \pm 0.0324$

95% 신뢰구간: (1.189, 1.253)

해석: 고분자의 부피가 1 mL 증가할 때, 질량은 평균적으로 1.189 kg에서 1.253 kg 사이로 증가한다고 95% 신뢰한다.
점수기준
E올바른 계산 + 맥락 있는 해석 (부피/질량 단위 언급)
P계산 정확하나 해석 없음 또는 단위 누락
I공식 오류 또는 값 잘못 대입
(c) 절편 해석
Model 1에서 절편($b_0 = 0.340$)을 맥락(context)에서 해석하시오. 이 값이 실제로 의미가 있는지 논의하시오.
힌트: 절편은 "x=0일 때의 예측값"이다. 부피가 0 mL인 고분자의 질량이 0.340 kg? 물리적으로 말이 되는지 생각해봐라.
모범답안:
Model 1에서 절편 $b_0 = 0.340$은 고분자의 부피가 0 mL일 때 예측되는 질량이 0.340 kg임을 의미한다.

그러나 이 해석은 실질적으로 의미가 없다. 물리적으로 부피가 0인 물질은 질량도 0이어야 한다(밀도 = 질량/부피). 따라서 절편이 0이 아닌 양수라는 것은 Model 1이 원점 근처에서는 부정확할 수 있음을 시사하며, 이것이 Model 2(원점 통과)가 더 적절할 수 있는 이유 중 하나이다.
점수기준
E수학적 해석 + 맥락에서의 비판 (부피=0이면 질량=0이어야) + Model 2와 연결
P해석은 했으나 물리적 의미 논의 부족
I절편의 의미를 잘못 설명
(d) Model 2가 더 나은 이유 논증
잔차 플롯, 절편 해석, 물리적 맥락을 종합하여 Model 2가 더 적합한 이유를 논증하시오.
힌트: 3가지 근거를 제시하라: (1) 잔차 플롯 (2) 절편의 물리적 의미 (3) 밀도 = 질량/부피의 비례관계
모범답안:
Model 2가 더 적합한 3가지 이유:

1. 잔차 플롯: Model 2의 잔차가 무작위로 흩어져 있어 선형성 가정을 더 잘 만족한다. Model 1은 곡선 패턴이 있어 체계적 편향(systematic bias)이 존재한다.

2. 절편의 비현실성: Model 1의 절편 0.340은 부피 0에서 양수 질량을 예측하며, 이는 물리적으로 불가능하다.

3. 과학적 맥락: 질량과 부피는 $m = \rho V$ (밀도 x 부피) 관계로, 원점을 통과하는 비례 관계가 자연스럽다. Model 2가 이 물리 법칙을 반영한다.
점수기준
E3가지 근거 모두 제시 (잔차, 절편, 과학적 맥락) + 논리적 연결
P2가지 근거만 제시 또는 논리 연결 약함
I1가지 근거만 또는 근거 없이 결론만
(e) 시뮬레이션으로 데이터 생성 방법
Model 2가 참이라고 가정할 때, 시뮬레이션을 이용하여 15개의 (부피, 질량) 데이터를 생성하는 방법을 단계별로 설명하시오.
힌트: 시뮬레이션 5단계 템플릿을 사용하라. Model 2: $y = 1.260x + \epsilon$, $\epsilon \sim N(0, 0.287^2)$
모범답안:
Step 1 (모수 설정): 참 모형은 $y = 1.260x$이고, 오차는 $\epsilon \sim N(0, 0.287^2)$로 가정한다.

Step 2 (x값 선택): 원래 데이터의 15개 부피값(x)을 그대로 사용한다 (또는 합리적인 범위에서 15개를 선택).

Step 3 (오차 생성): 각 x값에 대해 $N(0, 0.287^2)$에서 난수 $\epsilon_i$를 하나씩 생성한다.

Step 4 (y값 계산): $y_i = 1.260 \times x_i + \epsilon_i$로 15개의 질량값을 계산한다.

Step 5 (반복): 이 과정으로 하나의 시뮬레이션 데이터셋이 완성된다. 필요에 따라 여러 번 반복하여 표본분포를 생성할 수 있다.
점수기준
E5단계 모두 포함: 모수, x값, 오차분포(정규+S값), y계산, 반복 언급
P핵심 단계 포함하나 오차분포 명시 안 함 또는 반복 누락
I모호한 설명 또는 핵심 단계 2개 이상 누락
(f) 어느 모형의 CI가 더 정확한지 판단하는 방법
시뮬레이션을 사용하여 Model 1과 Model 2 중 어느 모형의 기울기 신뢰구간이 참값을 더 잘 포함하는지(capture rate) 판단하는 방법을 설명하시오.
힌트: 시뮬레이션으로 데이터를 여러 번 생성 → 각각에서 두 모형의 CI 계산 → 참 기울기(1.260)가 CI에 포함되는 비율(capture rate) 비교
모범답안:
1) Part (e)의 방법으로 Model 2($\beta_1 = 1.260$)를 참 모형으로 시뮬레이션 데이터를 1000번 생성한다.

2) 각 시뮬레이션 데이터셋에 대해 Model 1과 Model 2를 모두 적합(fit)하고, 각 모형에서 기울기의 95% 신뢰구간을 구한다.

3) 1000개의 CI 중 참값 $\beta_1 = 1.260$을 포함하는 비율(capture rate)을 각 모형별로 계산한다.

4) 95% CI이므로 capture rate가 95%에 더 가까운 모형이 더 정확한 CI를 제공한다. 만약 한 모형의 capture rate가 95%보다 크게 벗어나면(예: 80%), 그 모형의 CI는 신뢰할 수 없다.
점수기준
E시뮬레이션 반복 + 양쪽 CI 계산 + capture rate 비교 + 95% 기준 언급
P시뮬레이션 개념은 맞으나 capture rate 또는 95% 기준 누락
I시뮬레이션 절차 불명확 또는 비교 방법 오류

자가 채점 체크리스트 (Problem 1)

자가 점수: 0 / 6
Problem 2: Sampling Distribution & Diagnostic Testing

이 문제의 핵심 전략

25:00

한 수의사(veterinarian)가 양계장에서 바이러스 감염 여부를 검사한다. 10마리의 닭을 무작위로 표본 추출하여 각각 독립적으로 검사한다.

수의사는 "10마리 중 양성이 2마리 이하이면 양계장이 안전하다"고 판단한다.

(a) P(양성 ≤ 2) 계산 — 모든 닭이 실제로 비감염인 경우
만약 양계장에 바이러스가 전혀 없다면(모든 닭이 비감염), 10마리 중 양성 결과가 2마리 이하일 확률을 구하시오.
힌트: 모두 비감염이면 양성이 나올 확률 = 위양성률 = 0.10. 이항분포 $X \sim Bin(10, 0.10)$에서 $P(X \leq 2)$를 구하라.
모범답안:
모든 닭이 비감염이므로, 각 닭이 양성으로 나올 확률은 위양성률 $p = 0.10$이다.
양성 수 $X \sim Bin(10, 0.10)$

$P(X = 0) = \binom{10}{0}(0.10)^0(0.90)^{10} = 0.3487$
$P(X = 1) = \binom{10}{1}(0.10)^1(0.90)^{9} = 0.3874$
$P(X = 2) = \binom{10}{2}(0.10)^2(0.90)^{8} = 0.1937$

$P(X \leq 2) = 0.3487 + 0.3874 + 0.1937 = \mathbf{0.9298}$

바이러스가 없어도 약 93%의 확률로 수의사는 "안전"하다고 판단한다.
점수기준
E이항분포 설정(n=10, p=0.10) + 정확한 계산 + 맥락 해석
P올바른 분포 설정 + 약간의 계산 오류 또는 해석 누락
I분포 설정 오류 (p값 잘못) 또는 이항분포 미사용
(b) 수의사의 판단 기준 해석
"양성 2마리 이하이면 안전"이라는 판단 기준의 문제점을 위양성률의 관점에서 설명하시오.
힌트: (a)에서 구한 것처럼, 바이러스가 없어도 위양성 때문에 93%만 "안전" 판정. 역으로 바이러스가 있을 때도 위양성에 묻혀서 감염을 놓칠 수 있다.
모범답안:
이 판단 기준에는 두 가지 문제가 있다:

1. 위양성 포함: 위양성률이 10%이므로, 바이러스가 전혀 없어도 10마리 중 평균 1마리는 양성으로 나온다. 따라서 "양성 2마리 이하 = 안전"이라는 기준은 위양성을 고려하지 않은 것이다.

2. 감염 은폐 가능성: 실제로 바이러스가 퍼져 있어도(예: 유병률 5%), 감염된 닭 0-1마리 + 위양성 1-2마리 = 총 양성 2마리 이하가 되어 "안전"으로 잘못 판단할 수 있다. 이는 Type II error(위험을 놓침)의 위험이 높다는 뜻이다.
점수기준
E위양성의 영향 + Type II error 가능성 + 맥락 있는 설명
P위양성 언급했으나 Type II error 미언급
I위양성 개념 오해 또는 기준 문제점 식별 실패
(c) P(양성 ≥ 3) — 유병률 5%인 경우
유병률이 5%일 때, 10마리 중 양성이 3마리 이상일 확률을 구하시오. (각 닭이 양성일 전체 확률을 먼저 구하시오.)
힌트: 전체 양성 확률 = P(감염)P(양성|감염) + P(비감염)P(양성|비감염) = 0.05(0.90) + 0.95(0.10). 그 다음 $Bin(10, p)$에서 여사건 이용.
모범답안:
Step 1: 전체 양성 확률
$P(\text{양성}) = P(\text{감염})P(\text{양성|감염}) + P(\text{비감염})P(\text{양성|비감염})$
$= (0.05)(0.90) + (0.95)(0.10) = 0.045 + 0.095 = 0.140$

Step 2: 이항분포 설정
양성 수 $X \sim Bin(10, 0.14)$

Step 3: 여사건 이용
$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$
$P(X=0) = (0.86)^{10} = 0.2213$
$P(X=1) = \binom{10}{1}(0.14)^1(0.86)^9 = 0.3603$
$P(X=2) = \binom{10}{2}(0.14)^2(0.86)^8 = 0.2639$
$P(X \leq 2) = 0.8455$

$P(X \geq 3) = 1 - 0.8455 = \mathbf{0.1545}$
점수기준
E전체 양성 확률 정확 (0.14) + 이항분포 + 여사건 사용 + 계산 정확
P전체 양성 확률 정확하나 이항 계산에 약간의 오류
I전체 양성 확률 계산 오류 또는 접근 방법 오류
(d) 확률 비교 및 결론
(a)와 (c)의 결과를 비교하여, 이 검사 프로토콜의 유용성에 대해 결론을 내리시오.
힌트: (a) 바이러스 없을 때 "안전" 판정 확률 93%. (c) 바이러스 있을 때 "위험(3+)" 판정 확률 15.5%. 이 두 수치가 의미하는 바는?
모범답안:
(a) 결과: 바이러스가 없을 때, 93%의 확률로 "안전" 판정 → 위양성 문제가 있지만 대체로 올바르게 판단

(c) 결과: 바이러스가 있을 때(유병률 5%), 양성 3마리 이상일 확률은 겨우 15.5% → 84.5%의 확률로 감염된 양계장을 "안전"으로 잘못 판단

결론: 이 검사 프로토콜은 검정력(power)이 매우 낮다. 실제 감염이 있어도 대부분 놓친다. 이유는 (1) 유병률이 낮아 표본 10마리 중 감염 닭이 0-1마리에 불과하고, (2) 위양성 때문에 진양성과 위양성의 구분이 어렵기 때문이다. 개선 방안: 표본 크기를 늘리거나, 위양성률이 낮은 검사 방법을 사용해야 한다.
점수기준
E두 확률 비교 + 검정력 부족 지적 + 구체적 이유 + 개선 제안
P비교는 했으나 검정력/개선 중 하나 누락
I비교 없이 한쪽만 해석 또는 잘못된 결론

자가 채점 체크리스트 (Problem 2)

자가 점수: 0 / 5
Problem 3: Randomization Test

이 문제의 핵심 전략

25:00

한 농업 연구자가 두 비료(Fertilizer A, Fertilizer B)가 식물 성장에 미치는 효과를 비교한다. 20그루의 동일 품종 식물을 무작위로 두 그룹(각 10그루)에 배정했다.

6주 후 성장 높이(cm) 요약 통계:

그룹n평균표준편차
Fertilizer A1024.53.2
Fertilizer B1020.82.9

관찰된 평균 차이: $\bar{x}_A - \bar{x}_B = 3.7$ cm

(a) 가설 설정
적절한 귀무가설과 대립가설을 기호와 말로 진술하시오.
힌트: $\mu_A$와 $\mu_B$로 모집단 평균을 정의하라. 차이가 있는지 검정 → 양측 또는 단측?
모범답안:
$\mu_A$ = Fertilizer A를 사용한 식물의 참 평균 성장 높이
$\mu_B$ = Fertilizer B를 사용한 식물의 참 평균 성장 높이

$H_0: \mu_A - \mu_B = 0$ (두 비료의 효과에 차이가 없다)
$H_a: \mu_A - \mu_B \neq 0$ (두 비료의 효과에 차이가 있다)

또는 연구자가 A가 더 효과적이라고 예상한다면:
$H_a: \mu_A - \mu_B > 0$ (Fertilizer A가 더 효과적이다)
점수기준
E모수 정의(맥락 포함) + 올바른 $H_0$, $H_a$ + 기호와 말 모두
P가설은 맞으나 모수 정의 누락 또는 맥락 없음
I가설이 표본 통계량으로 작성 ($\bar{x}$ 사용) 또는 오류
(b) 검정통계량 계산
관찰된 검정통계량을 구하시오. (평균 차이를 사용)
힌트: Randomization test에서는 단순히 $\bar{x}_A - \bar{x}_B$를 검정통계량으로 사용할 수 있다.
모범답안:
관찰된 검정통계량:
$\bar{x}_A - \bar{x}_B = 24.5 - 20.8 = \mathbf{3.7}$ cm

이 값은 Fertilizer A 그룹이 B 그룹보다 평균 3.7 cm 더 성장했음을 나타낸다.
점수기준
E정확한 계산 + 단위 포함 + 맥락 해석
P계산 정확하나 맥락/단위 누락
I계산 오류
(c) 무작위 배정(Randomization) 절차 설명
귀무가설 하에서 시뮬레이션된 표본분포를 만들기 위한 무작위 재배정(randomization/permutation) 절차를 단계별로 설명하시오.
힌트: 귀무가설 하에서는 비료 종류가 효과 없음 → 20개 값을 섞어서 다시 10개씩 나누어도 됨. 시뮬레이션 5단계를 적용하라.
모범답안:
Step 1: 20개의 성장 높이 값을 모두 하나의 풀(pool)에 합친다. (귀무가설 하에서 비료 종류는 효과 없으므로 라벨이 의미 없다)

Step 2: 20개 값을 무작위로 섞은(shuffle) 후, 처음 10개를 "A 그룹", 나머지 10개를 "B 그룹"으로 배정한다.

Step 3: 재배정된 두 그룹의 평균 차이 $\bar{x}_A - \bar{x}_B$를 계산한다.

Step 4: Step 2-3을 1000번 이상 반복하여 귀무가설 하의 평균 차이 분포(귀무 분포, null distribution)를 생성한다.

Step 5: 이 귀무 분포에서 관찰된 차이 3.7 cm 이상(양측이면 |차이| ≥ 3.7)인 비율을 계산하여 p-value로 사용한다.
점수기준
E값 합치기 + 무작위 재배정 + 통계량 계산 + 반복 + p-value 설명 모두 포함
P핵심 절차는 맞으나 1-2단계 누락 (예: 반복 횟수 미언급)
I재배정 개념 오해 (복원추출 등) 또는 핵심 단계 3개 이상 누락
(d) p-value 해석
시뮬레이션 결과, 1000번 반복 중 |평균 차이| ≥ 3.7인 경우가 12번이었다. p-value를 구하고 해석하시오.
힌트: p-value = 12/1000. "두 비료의 효과에 차이가 없다면(귀무가설), 이런 극단적 결과가 나올 확률이 __"라고 해석.
모범답안:
$\text{p-value} = \frac{12}{1000} = 0.012$

해석: 두 비료의 효과에 진정한 차이가 없다면(귀무가설이 참이라면), 무작위 배정만으로 관찰된 것만큼 극단적인 평균 차이(|차이| ≥ 3.7 cm)가 나올 확률은 약 1.2%이다.

이는 매우 작은 확률이므로, 관찰된 차이가 단순한 우연에 의한 것일 가능성이 낮다.
점수기준
E정확한 p-value + "귀무가설 하에서" 조건 명시 + "이만큼 극단적인" 표현 + 맥락
Pp-value 정확하나 "귀무가설 하에서" 누락 또는 맥락 부족
Ip-value 계산 오류 또는 해석 오류 ("귀무가설이 참일 확률"로 해석)
(e) 결론 도출
유의수준 $\alpha = 0.05$에서 결론을 내리시오. 무작위 배정이 이 결론에 어떤 역할을 하는지 설명하시오.
힌트: p-value = 0.012 < 0.05 → $H_0$ 기각. 무작위 배정 → 교란변수(confounding) 통제 → 인과관계 추론 가능.
모범답안:
p-value = 0.012 < $\alpha$ = 0.05이므로 귀무가설을 기각한다.

결론: 두 비료의 효과에 통계적으로 유의한 차이가 있다는 충분한 증거가 있다. Fertilizer A가 Fertilizer B보다 식물 성장에 더 효과적이다(평균 3.7 cm 차이).

무작위 배정의 역할: 20그루를 무작위로 두 그룹에 배정했으므로, 토양, 일조량, 수분 등 잠재적 교란변수(confounding variables)가 두 그룹에 균등하게 분포될 것으로 기대된다. 따라서 관찰된 차이는 비료의 효과 때문이라는 인과관계(causal conclusion)를 추론할 수 있다.

단, 일반화(generalization)에는 주의가 필요하다 — 이 실험은 특정 품종과 환경에서 수행되었다.
점수기준
E올바른 기각 결론 + 맥락 + 무작위 배정 → 인과관계 연결 + 일반화 주의
P기각 결론 정확하나 인과관계 논의 부족
I기각/채택 오류 또는 결론에 맥락 없음

자가 채점 체크리스트 (Problem 3)

자가 점수: 0 / 5
Problem 4: Capture-Recapture / Population Estimation

이 문제의 핵심 전략

25:00

생물학자들이 호수의 물고기 개체수를 추정하기 위해 포획-재포획(capture-recapture) 방법을 사용한다.

(a) 개체수 추정
Lincoln-Petersen 방법으로 호수의 총 물고기 개체수를 추정하시오.
힌트: $\frac{50}{N} = \frac{8}{40}$ → N을 구하라.
모범답안:
비례식: $\frac{\text{태그 수}}{\text{총 개체수}} = \frac{\text{재포획 중 태그}}{2\text{차 표본}}$

$\frac{50}{N} = \frac{8}{40}$

$N = \frac{50 \times 40}{8} = \mathbf{250}$마리

호수의 총 물고기 개체수는 약 250마리로 추정된다.
점수기준
E올바른 비례식 설정 + 정확한 계산 + 맥락 해석
P계산 정확하나 비례식 또는 맥락 누락
I비례식 오류 또는 계산 오류
(b) 시뮬레이션으로 방법의 정확도 평가
실제 개체수가 250마리라고 가정하고, 시뮬레이션을 이용하여 이 포획-재포획 방법의 정확도를 평가하는 방법을 단계별로 설명하시오.
힌트: 250마리(50마리 태그 + 200마리 비태그) 풀에서 40마리를 비복원추출 → 태그 수 세기 → 추정값 계산 → 반복
모범답안:
Step 1 (모수 설정): 250마리 물고기 중 50마리에 태그가 있다고 가정한다. (태그 비율 = 50/250 = 0.20)

Step 2 (표본 추출): 250마리에서 40마리를 비복원추출(without replacement)로 무작위 선택한다.

Step 3 (통계량 계산): 40마리 중 태그된 물고기 수 $k$를 세고, $\hat{N} = \frac{50 \times 40}{k}$로 추정값을 계산한다.

Step 4 (반복): Step 2-3을 1000번 반복하여 추정값 $\hat{N}$의 분포를 생성한다.

Step 5 (평가): 추정값의 히스토그램을 그려서 (1) 중심이 250 근처인지(비편향), (2) 퍼짐이 어떤지(정밀도), (3) 250을 포함하는 비율을 확인한다.
점수기준
E비복원추출 명시 + 추정값 계산식 + 반복 + 평가 기준 구체적
P절차는 맞으나 비복원추출 미언급 또는 평가 기준 모호
I시뮬레이션 절차 불명확 또는 핵심 단계 다수 누락
(c) 가정 위반 평가
포획-재포획 방법의 가정 3가지를 명시하고, 각 가정이 현실에서 위반될 수 있는 상황을 설명하시오.
힌트: (1) 폐쇄 개체군 — 출생/사망/이동 없음 (2) 균일 혼합 — 태그 물고기가 전체에 고르게 섞임 (3) 태그 효과 없음 — 태그가 포획 확률에 영향 안 줌
모범답안:
가정 1 — 폐쇄 개체군(Closed population):
1차와 2차 포획 사이에 출생, 사망, 이주(immigration/emigration)가 없어야 한다.
위반 예: 산란기에 외부 물고기가 유입되거나, 포식자에 의해 일부가 죽는 경우.

가정 2 — 균일 혼합(Complete mixing):
태그된 물고기가 전체 개체군에 고르게 섞여야 한다.
위반 예: 태그된 물고기가 방류 지점 근처에만 머물거나, 특정 깊이에 모여 있는 경우.

가정 3 — 포획 확률 동일(Equal catchability):
태그 유무가 2차 포획 확률에 영향을 주지 않아야 한다.
위반 예: 태그 부착 스트레스로 물고기가 미끼를 회피(trap-shy)하거나, 반대로 태그 경험으로 미끼에 더 쉽게 접근(trap-happy)하는 경우.
점수기준
E3가지 가정 + 각각의 구체적 위반 상황 + 맥락(물고기, 호수)
P2가지 가정 + 위반 상황 또는 3가지 가정만 나열
I1가지 가정만 또는 가정을 잘못 이해
(d) 가정 위반이 추정값에 미치는 영향
태그된 물고기가 포획에 더 민감해져서(trap-shy) 2차 포획에서 잡힐 확률이 줄어들었다고 가정하자. 이 경우 추정된 개체수 $\hat{N}$은 실제보다 과대추정(overestimate)되는가, 과소추정(underestimate)되는가? 그 이유를 설명하시오.
힌트: Trap-shy → 2차 포획에서 태그 물고기가 적게 잡힘 → k 감소 → $\hat{N} = \frac{50 \times 40}{k}$에서 분모 감소 → $\hat{N}$ 증가?
모범답안:
과대추정(overestimate)된다.

이유: Trap-shy 행동으로 태그된 물고기가 2차 포획에서 잡힐 확률이 줄어들면, 재포획 중 태그 수 $k$가 기대값보다 작아진다.

공식 $\hat{N} = \frac{50 \times 40}{k}$에서 $k$가 작아지면 $\hat{N}$이 커진다.

예시: 실제 개체수가 250이고 정상이면 $k = 8$, $\hat{N} = 250$이다. 그러나 trap-shy로 $k = 4$라면 $\hat{N} = \frac{50 \times 40}{4} = 500$으로 실제의 2배를 추정하게 된다.

직관적으로, 태그 물고기가 적게 잡히면 "태그 비율이 낮다 = 호수에 물고기가 많다"고 잘못 추론하게 되는 것이다.
점수기준
E"과대추정" 정확 + k 감소 메커니즘 + 공식 연결 + 직관적 설명
P"과대추정" 정확 + 이유 설명했으나 공식 연결 또는 예시 부족
I방향 오류(과소추정) 또는 이유 불충분

자가 채점 체크리스트 (Problem 4)

자가 점수: 0 / 5
Problem 5: Bootstrap Confidence Interval

이 문제의 핵심 전략

25:00

환경과학자가 특정 하천의 수온을 측정한다. 15개 지점에서 측정한 결과:

18.2, 19.1, 17.8, 20.3, 18.5, 19.7, 21.0, 18.9, 17.5, 20.1, 19.3, 18.7, 20.5, 19.8, 18.0

표본평균: $\bar{x} = 19.16$ °C, 표본표준편차: $s = 1.03$ °C

Bootstrap 시뮬레이션 (1000번 재표본)의 결과:

Bootstrap 분포는 대략 대칭이고 종 모양이다.

(a) Bootstrap 절차 설명
이 Bootstrap 시뮬레이션이 어떻게 수행되었는지 단계별로 설명하시오.
힌트: 핵심은 "원본 15개에서 복원추출로 15개를 뽑는다"는 것. 같은 값이 여러 번 뽑힐 수 있다.
모범답안:
Step 1: 원본 표본 15개의 수온 데이터를 준비한다.

Step 2: 15개 값에서 복원추출(with replacement)로 15개를 무작위 선택하여 하나의 재표본(resample)을 만든다. (같은 값이 여러 번 선택될 수 있다)

Step 3: 재표본의 평균 $\bar{x}^*$를 계산한다.

Step 4: Step 2-3을 1000번 반복하여 1000개의 재표본 평균을 얻는다.

Step 5: 1000개의 $\bar{x}^*$로 히스토그램을 그리면, 이것이 표본평균의 표본분포(bootstrap distribution)를 근사한다.
점수기준
E"복원추출" 명시 + "같은 크기(15개)" + 통계량 계산 + 반복 횟수 + 분포 생성
P절차 대체로 맞으나 "복원추출" 미명시 또는 크기 미언급
I비복원추출로 설명 또는 핵심 단계 누락
(b) Bootstrap SE 추정
Bootstrap 분포에서 표준오차(SE)를 추정하고, 전통적인 SE 공식 $\frac{s}{\sqrt{n}}$과 비교하시오.
힌트: Bootstrap SE = 재표본 평균들의 SD = 0.26. 전통적 SE = $\frac{1.03}{\sqrt{15}}$.
모범답안:
Bootstrap SE: 1000개의 재표본 평균들의 표준편차 = 0.26 °C

전통적 SE: $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.03}{\sqrt{15}} = \frac{1.03}{3.873} = \mathbf{0.266}$ °C

두 SE가 매우 비슷하다(0.26 vs 0.266). 이는 Bootstrap 방법이 표준오차를 잘 추정하고 있음을 보여준다. Bootstrap 분포가 대칭 종 모양이므로, 이 경우 전통적 방법과 Bootstrap 방법이 유사한 결과를 제공한다.
점수기준
E두 SE 모두 정확히 계산 + 비교 + 유사성의 의미 해석
P두 SE 계산했으나 비교/해석 부족
ISE 계산 오류 또는 Bootstrap SE 개념 오해
(c) 95% Bootstrap 신뢰구간
Bootstrap 분포를 이용하여 모평균 수온의 95% 신뢰구간을 구하시오. 이 구간을 맥락에서 해석하시오.
힌트: Percentile method: 2.5th ~ 97.5th percentile을 직접 사용. 주어진 값: 18.63 ~ 19.67.
모범답안:
Percentile method: Bootstrap 분포의 2.5th percentile과 97.5th percentile을 직접 사용한다.

95% Bootstrap 신뢰구간: (18.63 °C, 19.67 °C)

해석: 이 하천의 참 평균 수온이 18.63 °C에서 19.67 °C 사이에 있다고 95% 신뢰한다.

다시 말해, 이 방법으로 많은 표본을 반복 추출하여 신뢰구간을 구하면, 약 95%의 구간이 참 모평균을 포함할 것이다.
점수기준
EPercentile method 설명 + 정확한 구간 + 맥락 있는 해석 (수온, 하천)
P구간 정확하나 방법 또는 맥락 누락
I구간 오류 또는 잘못된 해석 ("95% 확률로 이 구간에 있다")
(d) 전통적 t-구간과 비교
전통적 t-신뢰구간을 구하고 ($t^* = 2.145$, df = 14), Bootstrap 구간과 비교하시오.
힌트: t-구간: $\bar{x} \pm t^* \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 19.16 \pm 2.145 \times 0.266$
모범답안:
$\bar{x} \pm t^* \times SE = 19.16 \pm 2.145 \times 0.266 = 19.16 \pm 0.571$

전통적 t-구간: (18.59 °C, 19.73 °C)

비교:
하한상한폭
Bootstrap18.6319.671.04
t-구간18.5919.731.14

두 구간이 매우 비슷하다. t-구간이 약간 더 넓은데, 이는 t-분포가 정규분포보다 꼬리가 두꺼워 더 보수적이기 때문이다. Bootstrap 분포가 대칭 종 모양이므로 두 방법의 결과가 유사한 것은 자연스럽다.
점수기준
E정확한 t-구간 계산 + 두 구간 비교 + 유사성/차이 설명
Pt-구간 계산 정확하나 비교 논의 부족
It-구간 계산 오류
(e) Bootstrap이 선호되는 상황
전통적 t-구간 대신 Bootstrap 신뢰구간을 사용하는 것이 더 적절한 상황을 설명하시오.
힌트: t-구간은 정규성 가정이 필요. 표본 크기가 작고 분포가 비대칭/이상치가 있으면? 또한 중앙값, 사분위범위 등 공식이 없는 통계량에는?
모범답안:
Bootstrap이 더 적절한 상황:

1. 비정규 분포: 모집단 분포가 심하게 비대칭(skewed)이거나 이상치(outlier)가 있을 때, 특히 표본 크기가 작으면 CLT에 의존할 수 없다. Bootstrap은 정규성 가정 없이도 표본분포를 추정할 수 있다.

2. 복잡한 통계량: 중앙값(median), 사분위범위(IQR), 상관계수 등 이론적 표본분포 공식이 복잡하거나 존재하지 않는 통계량에 대해 Bootstrap은 쉽게 신뢰구간을 구할 수 있다.

3. 작은 표본: $n$이 매우 작아서(예: $n < 15$) t-분포의 정규성 가정이 의심스러울 때, Bootstrap은 데이터 자체의 분포를 활용하므로 더 신뢰할 수 있다.
점수기준
E비정규 + 복잡한 통계량 중 2가지 이상 + 구체적 예시
P1가지 상황만 또는 예시 부족
IBootstrap의 장점을 잘못 이해

자가 채점 체크리스트 (Problem 5)

자가 점수: 0 / 6

학습 진행 현황

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시도한 문제
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