역삼각함수의 정확한 값 계산 및 식의 간소화
$y = \cos^{-1}(x)$는 $\cos y = x$를 만족하고 $y \in [0, \pi]$인 값이다.
$\cos y = -1$이고 $y \in [0,\pi]$이어야 하므로
$$\cos^{-1}(-1) = \pi$$
$y = \sin^{-1}(x)$는 $\sin y = x$를 만족하고 $y \in \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr]$인 값이다.
$\sin y = \dfrac{1}{2}$이고 $y \in \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr]$이어야 하므로
$$\sin^{-1}(0.5) = \frac{\pi}{6} \quad (= 30°)$$
$y = \cot^{-1}(x)$는 $\cot y = x$이고 $y \in (0,\pi)$인 값이다.
$\cot y = -\sqrt{3}$이므로 $\tan y = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$이고 $y \in (0,\pi)$이므로 2사분면:
$$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6} \quad (=150°)$$
$y = \sec^{-1}(x)$는 $\sec y = x$이고 $y \in [0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi]$인 값이다.
$\sec y = 2$이면 $\cos y = \dfrac{1}{2}$이므로
$$\sec^{-1} 2 = \frac{\pi}{3} \quad (=60°)$$
$\theta = \tan^{-1}(x)$로 놓으면 $\tan\theta = x$이고 $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ (이 구간에서 $\cos\theta > 0$).
$\tan\theta = \dfrac{x}{1}$이므로 대변 $= x$, 밑변 $= 1$, 빗변 $= \sqrt{x^2+1}$.
$$\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
인수분해 · 유리화 · 스퀴즈 정리 · 절댓값 함수의 극한
$x=3$ 직접 대입: $\dfrac{27-27}{9-9} = \dfrac{0}{0}$ → 불정형, 인수분해 필요.
$$\lim_{x \to 3} \frac{x^3-27}{x^2-9} = \frac{9}{2}$$
$$\lim_{t\to 0}\!\left(\frac{1}{t\sqrt{1+t}}-\frac{1}{t}\right) = -\frac{1}{2}$$
모든 실수에 대해 $-1 \le \cos u \le 1$이므로 $x \ne 0$일 때:
Squeeze Theorem에 의해 가운데 함수의 극한도 $0$. $\blacksquare$
$-x^4 \le x^4\cos(2/x) \le x^4$이고 양 끝 극한 $= 0$이므로 스퀴즈 정리에 의해 극한값은 $\mathbf{0}$.
$x \to 0$이면 $x+4 \to 4 > 0$이므로 $x$ 가 $0$ 근방에서 $x+4 > 0$.
따라서 $|x+4| = x+4$.
$$\lim_{x\to 0}\bigl(|x+4|-2x\bigr) = 4$$
$x \to 0^+$이면 $x > 0$이므로 $|x| = x$.
$$\lim_{x\to 0^+}\!\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right) = 0$$
따라서 $g(x) = \dfrac{(x+3)(x-2)}{|x-2|}$.
$-5$
$5$
좌극한 $\ne$ 우극한이므로 $\lim_{x\to 2} g(x)$는 존재하지 않는다.
$\lfloor x \rfloor$ = $x$보다 크지 않은 최대 정수. 구간 $[n,\, n+1)$에서 $\lfloor x\rfloor = n$.
예: $\lfloor{-2.1}\rfloor = -3$, $\lfloor{-2}\rfloor = -2$, $\lfloor{-1.9}\rfloor = -2$.
$x \in [-3,-2)$에서 $\lfloor x\rfloor = -3$이므로 $= -3$.
$x \in [-2,-1)$에서 $\lfloor x\rfloor = -2$이므로 $= -2$.
$-2.4$ 근방 모든 $x$에서 $\lfloor x\rfloor = -3$ (정수가 아닌 점) $= -3$.
(i) $-3$ (ii) $-2$ (iii) $-3$
$x \in [n-1,\, n)$이므로 $\lfloor x\rfloor = n-1$.
$x \in [n,\, n+1)$이므로 $\lfloor x\rfloor = n$.
(i) $n-1$ (ii) $n$
$a$가 정수: 좌극한 $= a-1$, 우극한 $= a$ → 불일치 → 극한 없음.
$a$가 정수 아님: $a \in (n, n+1)$이면 근방 전체에서 $\lfloor x\rfloor = n$ → 극한 $= n$ 존재.
$\lim_{x\to a}\lfloor x\rfloor$는 $a$가 정수가 아닐 때에만 존재한다.
ε-δ 정의를 이용한 극한의 엄밀한 증명
$|\sqrt{x}-1|<0.1$ → $0.9<\sqrt{x}<1.1$ → 제곱: $0.81<x<1.21$.
$x=1$로부터 거리: 왼쪽 $1-0.81=0.19$, 오른쪽 $1.21-1=0.21$. 작은 쪽 선택.
$\delta=0.19$ (이보다 작은 값도 가능)
$\tfrac{1}{2}|x-6|<\varepsilon$ ← $|x-6|<2\varepsilon$이면 성립. $\delta=2\varepsilon$.
$0<|x-6|<\delta=2\varepsilon$이면 $\left|(1-\tfrac{x}{2})+2\right|=\tfrac{1}{2}|x-6|<\varepsilon$. $\blacksquare$
$\delta=2\varepsilon$으로 선택하면 증명 완료.
연속의 정의 · 불연속 분류 · 중간값 정리
① $f(a)$ 정의, ② $\lim_{x\to a}f(x)$ 존재, ③ 두 값 일치. 하나라도 실패하면 불연속.
• 제거가능(removable): 극한 존재, 함수값 다름 • 점프(jump): 좌·우 극한 불일치 • 무한(infinite): 극한 $=\pm\infty$
그래프에서 열린 점(open dot), 뛰는 지점, 수직 점근선을 찾아 각각의 불연속 유형을 명시한다.
각 의심 점에서 좌극한·우극한·함수값 세 가지를 순서대로 확인한다.
그래프를 직접 보고 각 불연속점의 $x$ 좌표와 유형(제거가능/점프/무한)을 기술.
세금 구간: 소득이 특정 기준을 넘는 순간 세율이 갑자기 오름 → 점프 불연속.
주차 요금: 1시간 이하 $1,000, 1~2시간 $2,000 등 → 계단 함수, 정수 경계에서 점프.
불연속은 "갑작스러운 변화"를 표현. 보통 점프 불연속 형태.
$\cos\theta\in[-1,1]$. $\tan u$의 불연속점은 $u=\frac{\pi}{2}+n\pi$이고 $|\frac{\pi}{2}|\approx1.57>1$이므로 $[-1,1]$ 안에 없음.
따라서 $\tan(\cos\theta)$는 모든 $\theta$에서 연속. $\sin(\cdot)$도 모든 실수에서 연속.
$h(\theta)$는 $\mathbb{R}$ 전체에서 연속.
(2)−(1): $a=21$, 대입: $b=-42$.
$a=21,\;b=-42$
$g(x)=x^2$ (다항, 모든 $x$에서 연속), $f(u)=\sin u$ (모든 $u$에서 연속). 합성 $f\circ g$도 연속.
$\sin(x^2)$는 $\mathbb{R}$ 전체에서 연속.
$x=1$에서 극한이 존재(=4)하나 $f(1)$ 미정의 → 제거가능 불연속. $f(1)=4$로 정의하면 연속.
$x=1$: 제거가능 불연속. $f(1)=4$로 확장.
$f$는 다항함수로 $[1,2]$ 연속, $f(1)<0<f(2)$ → IVT에 의해 $f(c)=0$인 $c\in(1,2)$ 존재. $\blacksquare$
$(1,2)$에서 근이 존재한다.
IVT: $g(c)=0$인 $c\in(0,1)$ 존재 → $\cos c=c$. $\blacksquare$
해가 $(0,1)$에 존재한다.
$g(0)=f(0)\ge0$, $g(1)=f(1)-1\le0$.
$g(0)=0$이면 $c=0$, $g(1)=0$이면 $c=1$이 고정점. 그렇지 않으면 IVT에 의해 $g(c)=0$인 $c\in(0,1)$ 존재. $\blacksquare$
어떤 경우에도 고정점 $c$가 $[0,1]$에 존재한다.
무한대 극한 · 수평/수직 점근선 · 유리화
분자 최고차: $3x^2$, 분모 최고차: $4x$. 비: $\frac{3x^2}{4x}=\frac{3x}{4}\to\infty$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+3x^2}{4x-1}=+\infty$$
$0$
$\dfrac{1}{6}$
$0$
($x<0$이므로 $\sqrt{x^2}/x=-1$)
$-\dfrac{1}{6}$
$-e^{-2x}\le e^{-2x}\cos x\le e^{-2x}$이고 $e^{-2x}\to0$ → 스퀴즈 정리.
$0$
$1$ (이 함수는 $\tanh x$)
$x\to(\pi/2)^-$: $\tan x\to+\infty$ → $e^{+\infty}\to+\infty$.
$+\infty$
$\ln x\to\infty$, $\tan^{-1}(t)\to\pi/2$ as $t\to\infty$.
$\dfrac{\pi}{2}$
$\ln x=0\to x=1$: $y\to+\infty$. 수직 점근선 $x=1$.
$x\to0^+$: $\ln x\to-\infty$, $x\to0$ → $y\to0$ (점근선 아님).
$\lim_{x\to\infty}x/\ln x=\infty$ (로피탈: $1/(1/x)=x\to\infty$). 없음.
수직 점근선: $x=1$. 수평 점근선: 없음.
더 간단히: 분모에서 $x<0$이므로 $-x=|x|$. 분모 $\sqrt{x^2+x+1}+(-x)\cdot(-1)\to\sqrt{1}+1=2$. 분자 $x+1\to x$. $\frac{x}{2\cdot(-x)\cdot(-1)}$... 직접 계산:
$\dfrac{1}{2}$
$x^2+x-2=(x+2)(x-1)=0$ → $x=-2,\;x=1$.
분자 $2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$은 $x=-2,-1$에서 0이 아님. 두 점 모두 수직 점근선.
수평: $y=2$. 수직: $x=-2$, $x=1$.
극한으로서의 도함수 · 순간변화율 · 접선의 기울기
$v(1)=6.28$ m/s
$v(a)=-\dfrac{2}{a^3}$
$f'(a)$는 점 $(a,f(a))$에서 접선의 기울기. 그래프에서 접선을 눈으로 그리고, 두 점을 읽어 기울기를 추정한다:
그래프에서 접선을 그려 rise/run으로 기울기를 읽는다.
이 극한은 $f(x)=\tan x$에서 $x=\pi/4$에서의 도함수 $f'(\pi/4)$이다.
$f(x)=\tan x$이면 $f'(x)=\sec^2 x$이므로:
$2$
$C'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{C(x+\Delta x)-C(x)}{\Delta x}$: $x$번째 단위를 1단위 더 생산할 때 증가하는 비용의 순간변화율.
$C'(x)$는 생산량 $x$에서의 한계비용 (추가 1단위 생산 비용의 근사값).
$f'(t)$ = 시각 $t$에서의 인구 순간증가율. 단위: (명/시간). $f'(t)>0$이면 인구 증가, $f'(t)<0$이면 감소.
$T'(t)$는 시각 $t$에서 온도의 순간변화율. 단위: °C/시간. 양수면 온도 상승 중.
$V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$이면 $V'(r)=4\pi r^2$이다. 이는 반지름 $r$에서 구의 겉넓이와 같다.
$V'(r)=4\pi r^2$: 반지름이 $r$일 때 부피의 순간증가율 = 겉넓이.
이 극한은 존재하지 않는다 ($h\to0$일 때 $\sin(1/h)$는 $[-1,1]$ 사이를 진동).
$x=0$에서 미분불가능.
$|h\sin(1/h)|\le|h|\to0$ → 스퀴즈 정리에 의해 극한 $=0$.
$f'(0)=0$. $x=0$에서 미분가능.
정의를 이용한 도함수 계산 · 홀짝 함수의 도함수
$g'(u)=\dfrac{-5}{(4u-1)^2}$. 정의역: $u\ne\dfrac{1}{4}$.
$g'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}$. 정의역: $x>0$.
$f'(-1)$: $f'$의 그래프에서 $x=-1$의 $y$값.
$f''(1)$: $f'$의 $x=1$에서의 기울기 (즉, $f'$ 그래프의 접선 기울기).
그래프를 직접 읽어 비교. 각 값을 그래프에서 구체적으로 읽는다.
• $f$가 증가하는 구간 → $f'>0$ (위에 있는 그래프)
• $f$가 극값을 가지는 점 → $f'=0$ (영점)
• $f'$의 증가/감소 → $f''$의 부호
• 가장 "매끄럽게 변하는" 곡선이 원래 $f$일 가능성 높음.
위 전략으로 각 그래프를 $f$, $f'$, $f''$에 배정.
$u=x^{1/3}$, $b=a^{1/3}$으로 치환: $x-a=u^3-b^3=(u-b)(u^2+ub+b^2)$.
$f'(a)=\dfrac{1}{3a^{2/3}}$
극한이 $+\infty$이므로 (유한값 아님) $f'(0)$ 존재하지 않는다.
$f'(0)=+\infty$는 접선의 기울기가 무한대 → 수직선. 따라서 $y=\sqrt[3]{x}$의 $x=0$에서의 접선은 $x=0$ (수직).
$f(-x)=f(x)$ 양변을 $x$에 대해 미분 (Chain Rule):
이는 $f'$이 기함수임을 뜻한다. $\blacksquare$
양변 미분: $-f'(-x)=-f'(x)$ → $f'(-x)=f'(x)$. 즉 $f'$은 우함수. $\blacksquare$
챕터 2 복습 — 마킹된 문제
극한의 차 법칙: $\lim(f-g)=\lim f-\lim g$는 두 극한이 각각 존재할 때만 적용 가능.
$\lim_{x\to4}\frac{2x}{x-4}$는 분모 $\to0$, 분자 $\to8\ne0$ → 극한이 존재하지 않는다.
따라서 우변은 정의되지 않는다.
좌변은 존재하지만 우변처럼 분리하는 것은 거짓.
거짓(False). 두 극한이 각각 존재하지 않으므로 차 법칙 적용 불가.
(i) $\lim_{x\to a^-}f(x)$, $\lim_{x\to a^+}f(x)$: 좌·우에서 접근하는 $y$값을 읽는다.
(ii) 수평 점근선: $x\to\pm\infty$일 때 $y$값이 수렴하는 값.
(iii) 수직 점근선: $y\to\pm\infty$이 되는 $x$값.
(iv) 불연속점: 극한이 없거나 함수값과 다른 곳.
그래프를 직접 보며 각 항목의 값을 기록한다.
Power Rule · 지수함수 · 접선 · 법선
$$P'(w)=3\sqrt{w}-\frac{1}{2\sqrt{w}}-\frac{2}{w^{3/2}}$$
$y'=2e^x+1$. 점 $(0,2)$에서: $y'(0)=2(1)+1=3$.
$y=3x+2$
$dL/dA\big|_{A=12}\approx4.2$ cm/year. 나이 12세 암석대구가 1년 더 자랄 때 길이가 약 4.2 cm 늘어남.
$x=\dfrac{9\pm\sqrt{201}}{6}$ (두 점)
$2x+y=1$의 기울기 $=-2$. 법선의 기울기 $=-2$.
법선과 접선은 수직: 접선 기울기 $=\dfrac{1}{2}$.
$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2}$ → $\sqrt{x}=1$ → $x=1$, $y=1$.
점 $(1,1)$에서 법선이 $2x+y=1$과 평행.
$y'=2x-1$. $x=-1$: $y'(-1)=-3$ → 법선 기울기 $=\dfrac{1}{3}$.
$x=7/3$: $y=(7/3)^2-7/3=49/9-21/9=28/9$.
$\left(\dfrac{7}{3},\,\dfrac{28}{9}\right)$
접점 $(a, a^2)$에서 접선의 기울기 $= 2a$.
$a=2$: 접점 $(2,4)$, 기울기 $4$ → $y=4x-4$.
$a=-2$: 접점 $(-2,4)$, 기울기 $-4$ → $y=-4x-4$.
$y=4x-4$ 와 $y=-4x-4$
$x^2-9=(x-3)(x+3)$이므로:
• $|x|>3$: $x^2-9>0$ → $f=x^2-9$, $f'=2x$
• $|x|<3$: $x^2-9<0$ → $f=9-x^2$, $f'=-2x$
$x=3$: 좌미분 $f'(3^-)=-2(3)=-6$, 우미분 $f'(3^+)=2(3)=6$. 불일치 → 미분불가능.
$x=-3$도 동일.
$f'(x)=\begin{cases}2x&|x|>3\\-2x&|x|<3\end{cases}$. 미분불가능: $x=3$, $x=-3$.
직선의 기울기 $=-2$이고 $y'=2x=-2$ → $x=-1$.
접점: $(-1,1)$. 대입: $2(-1)+1=-2+1=-1=b$.
$b=-1$. 접점 $(-1,1)$.
$y'=2cx=2$ → $x=1/c$ (접점의 $x$좌표).
접점 $(1/c,\; c\cdot(1/c)^2)=(1/c,\;1/c)$이 $y=2x+3$ 위에 있어야:
$c=-\dfrac{1}{3}$
$f'(x)=2ax+b$.
양 끝 기울기 평균: $\dfrac{f'(p)+f'(q)}{2}=\dfrac{(2ap+b)+(2aq+b)}{2}=a(p+q)+b$.
중점 기울기: $f'\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)=2a\cdot\dfrac{p+q}{2}+b=a(p+q)+b$. 같음. $\blacksquare$
이차함수에서 두 끝점 기울기의 평균 = 중점 기울기.
$y=c/x$이면 $y'=-c/x^2$. 점 $P=(a,c/a)$에서 접선:
$y$절편 ($x=0$): $y=\dfrac{2c}{a}$ → 점 $\left(0,\dfrac{2c}{a}\right)$.
$x$절편 ($y=0$): $x=2a$ → 점 $(2a,0)$.
접선이 좌표축과 만나는 두 점의 중점은 항상 $P$이다.
곱의 법칙 · 몫의 법칙 · 고계 도함수
$y'=x^2e^x(x+3)$
$f'(x)=e^x(3x^2+x-5)$
$y'=\dfrac{1-x}{e^x}$
$h'(r)=\dfrac{abe^r}{(b+e^r)^2}$
$u'=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)$, $v'=2x+e^x$.
$f'(x)=\dfrac{xe^x(x^3+2e^x)}{(x^2+e^x)^2}$
$f'=e^x(x^2+2x)$, $f''=e^x(x^2+4x+2)$
몫의 법칙 적용 (분자 $u=e^x(2x+1)$, 분모 $v=2\sqrt{x}$):
$u'=e^x(2x+1)+2e^x=e^x(2x+3)$, $v'=1/\sqrt{x}$.
$f'=\dfrac{e^x(2x+1)}{2\sqrt{x}}$, $f''=\dfrac{e^x(4x^2+4x-1)}{4x^{3/2}}$
$f'(x)=\dfrac{2+\sqrt{x}}{2(1+\sqrt{x})^2}$
$y'=1+e^x+xe^x=1+(1+x)e^x$. $y'(0)=1+(1)(1)=2$.
$y=2x$
$y=\dfrac{x}{2}+1$
$y=-0.08x+0.54$
$f''(1)=\dfrac{1}{4}$
패턴: $g^{(n)}(x)=(-1)^n(x-n)e^{-x}$.
$g^{(n)}(x)=(-1)^n(x-n)e^{-x}$
$(fg)'(5)=-13$, $(f/g)'(5)=-\dfrac{17}{9}$, $(g/f)'(5)=17$
$f'(0)=7$
$-\dfrac{5}{2}$
접점 $(a,\, a/(a+1))$에서 기울기 $1/(a+1)^2$:
2개의 접선. 접점의 $x$좌표: $a=-2\pm\sqrt{3}$.
$R'(20)=3000$ (단위: $/$/m). 가격이 $\$20$/m에서 $\$1$ 오르면 매출이 $\$3000$ 증가.
$fgh=(fg)\cdot h$로 보고 곱의 법칙 2회 적용:
$e^{3x}=e^x\cdot e^x\cdot e^x$. 위 결과 적용: $3e^x\cdot e^x\cdot e^x=3e^{3x}$. ✓
$g(x)=x^n$이면 역수 규칙: $\frac{d}{dx}(x^{-n})=-\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}}=-nx^{-n-1}$. $\blacksquare$
역수 규칙은 몫의 법칙의 특수한 경우이며, Power Rule을 음의 정수로 확장한다.
$h'(\theta)=\theta(2\sin\theta+\theta\cos\theta)$
$g'(x)=3+2x\cos x-x^2\sin x$
$y'=\dfrac{2-\tan x+x\sec^2 x}{(2-\tan x)^2}$
$x=\tfrac{2\pi}{3}$: $y=\tfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}$, $x=\tfrac{4\pi}{3}$: $y=\tfrac{4\pi}{3}-\sqrt{3}$ (주기 $2\pi$마다 반복)
수평 접선: $x=\dfrac{\pi}{4}+n\pi,\;(n\in\mathbb{Z})$에서의 수평선
위치 $4\sqrt{3}$ cm, 속도 $-4$ cm/s (왼쪽), 가속도 $-4\sqrt{3}$ cm/s²
$\displaystyle\lim_{\theta\to 0^+}\frac{A(\theta)}{B(\theta)}=\boxed{0}$
$\displaystyle\lim_{\theta\to 0^+}\frac{s}{d}=\boxed{1}$
$y'=-2\theta\sin(\theta^2)$
$y'=-\sin(2\theta)$
$y'=e^{at}(a\sin bt+b\cos bt)$
$y'=\dfrac{5(x^2-1)}{x^2}\!\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{\!4}$
$y'=e^{\tan\theta}\sec^2\theta$
$f'(t)=2^t\ln 2$
$y'=-\dfrac{e^{z/(z-1)}}{(z-1)^2}$
$y'=-(\ln 4)\sin x\cdot 4^{\cos x}$
$y'=\dfrac{t\sec^2\!\sqrt{1+t^2}}{\sqrt{1+t^2}}$
$y'=(\sin 2x)\,e^{\sin^2\!x}$
$y'=(\ln 2)(\ln 3)\cdot 3^x\cdot 2^{3^x}$
$y''=-\dfrac{1}{4y^3}$
$y''=-\dfrac{14x}{y^5}$
교점에서 원의 접선 기울기: $y'_1=-x/y$
직선의 기울기: $y'_2=m=y/x$ (직선 위 점에서)
따라서 항상 수직이다 (원에서 반지름은 접선에 수직).
$y=x^{p/q}\Rightarrow y^q=x^p$. 양변 미분:
원: $y'_1=-x/y$, 직선 $ax+by=0$: $y'_2=-a/b$
교점에서 $ax+by=0\Rightarrow ax=-by\Rightarrow ax/(by)=-1$. 따라서 $y'_1 y'_2=-1$. $\blacksquare$
$C_1$: $2x+2yy'=a\Rightarrow m_1=(a-2x)/(2y)$
$C_2$: $2x+2yy'=by'\Rightarrow m_2=2x/(b-2y)$
$y=cx^2$: $m_1=2cx$
$x^2+2y^2=k$: $2x+4yy'=0\Rightarrow m_2=-x/(2y)$. 교점에서 $y=cx^2$이므로:
$y=ax^3$: $m_1=3ax^2$
$x^2+3y^2=b$: $2x+6yy'=0\Rightarrow m_2=-x/(3y)=-x/(3ax^3)=-1/(3ax^2)$
$y=ce^x\Rightarrow y'=ce^x=y$. 직교 궤적: $dy/dx=-1/y$
직교 궤적: $x+\dfrac{y^2}{2}=C$ (포물선 족)
두 초점까지 거리의 합이 일정($r_1+r_2=2a$)한 타원의 정의를 이용하면, $\tan\alpha_1=\tan\alpha_2$임을 보일 수 있어 반사 성질이 성립한다. (조명을 한 초점에 놓으면 모든 빛이 다른 초점으로 집중된다.)