로그함수·역삼각함수의 도함수 · 로그미분법 — 마킹 연습문제 15 + 여백 손풀이 4
거듭제곱 법칙 vs 지수 법칙 구분 — 밑이 변수·지수 상수: $\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ / 밑이 상수·지수 변수: $\dfrac{d}{dx}b^x=b^x\ln b$
지수·밑 4가지 경우 — ①상수^상수$=0$ ②$[f(x)]^n$: 거듭제곱법칙 ③$b^{g(x)}=b^{g(x)}(\ln b)g'(x)$ ④밑·지수 모두 변수 → 로그미분법
역삼각함수 도함수 — $\dfrac{d}{dx}\sin^{-1}x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x=\dfrac{1}{1+x^2}$, $\dfrac{d}{dx}\sec^{-1}x=\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
Example 8 $y=x^{\sqrt{x}}$ (체크✓·두 풀이법) → $y'=x^{\sqrt{x}}\!\left(\dfrac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)$, 그리고 $(x^x)'=x^x(\ln x+1)$
$f(x)=\ln\dfrac1x=\ln x^{-1}=-\ln x$
$f'(x)=-\dfrac{1}{x}$
$y=(\ln x)^{-1}$
$y'=-(\ln x)^{-2}\cdot\dfrac{1}{x}$
$y'=-\dfrac{1}{x(\ln x)^2}$
$F'(s)=\dfrac{1}{\ln s}\cdot\dfrac{d}{ds}(\ln s)=\dfrac{1}{\ln s}\cdot\dfrac{1}{s}$
$F'(s)=\dfrac{1}{s\,\ln s}$
$g(x)=e^{x^2\ln x}=\left(e^{\ln x}\right)^{x^2}=x^{x^2}$
$\ln g=x^2\ln x \;\Rightarrow\; \dfrac{g'}{g}=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac1x=2x\ln x+x$
$g'(x)=x^{x^2}\,(2x\ln x+x)=x^{x^2+1}(2\ln x+1)$
$u=x+\sqrt{x^2+1},\quad u'=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}$
$\dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$
$=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\;\blacksquare$
$\ln\sqrt{\tfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\tfrac12\big[\ln(1-\cos x)-\ln(1+\cos x)\big]$
$=\tfrac12\!\left[\dfrac{\sin x}{1-\cos x}+\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\right]=\tfrac12\sin x\cdot\dfrac{(1+\cos x)+(1-\cos x)}{1-\cos^2 x}$
$=\tfrac12\sin x\cdot\dfrac{2}{\sin^2 x}=\dfrac{1}{\sin x}$
$=\csc x\;\blacksquare$
$y'=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac1x=2x\ln x+x$
$y'(1)=2\cdot1\cdot0+1=1$
$y-0=1\cdot(x-1)\;\Rightarrow\; y=x-1$
$\ln y=x\ln x \;\Rightarrow\; \dfrac{y'}{y}=\ln x+1$
$y'=x^{x}(\ln x+1)$
$\ln y=\sin x\,\ln x \;\Rightarrow\; \dfrac{y'}{y}=\cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$
$y'=x^{\sin x}\!\left(\cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$
$y=\left(x^{1/2}\right)^{x}=x^{x/2}$
$\ln y=\dfrac{x}{2}\ln x \;\Rightarrow\; \dfrac{y'}{y}=\dfrac12\ln x+\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac1x=\dfrac12(\ln x+1)$
$y'=\left(\sqrt{x}\right)^{x}\cdot\dfrac{\ln x+1}{2}$
$\ln y=(\ln x)^2 \;\Rightarrow\; \dfrac{y'}{y}=2\ln x\cdot\dfrac1x$
$y'=x^{\ln x}\cdot\dfrac{2\ln x}{x}$
$y'=\dfrac{1}{x^2+y^2}\,(2x+2yy')$
$y'(x^2+y^2)=2x+2yy' \;\Rightarrow\; y'(x^2+y^2-2y)=2x$
$y'=\dfrac{2x}{x^2+y^2-2y}$
$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}}\cdot 5$
$f'(x)=\dfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$
$y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x$
$y'=\dfrac{2x}{1+x^4}$
$y'=2\tan^{-1}x\cdot\dfrac{1}{1+x^2}$
$y'=\dfrac{2\tan^{-1}x}{1+x^2}$
$f'(1)=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(1+x)-f(1)}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)-\ln 1}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$
$f'(1)=\dfrac11=1$
$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\;\blacksquare$
$\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=n\ln\!\left(1+\dfrac{x}{n}\right)=x\cdot\dfrac{\ln(1+x/n)}{x/n}$
$n\to\infty$ 이면 $\dfrac{\ln(1+x/n)}{x/n}\to1$ 이므로 로그값 $\to x$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=e^{x}\;\blacksquare$
$f'(z)=e^{\arcsin(z^2)}\cdot\dfrac{d}{dz}\arcsin(z^2)=e^{\arcsin(z^2)}\cdot\dfrac{2z}{\sqrt{1-z^4}}$
$f'(z)=\dfrac{2z\,e^{\arcsin(z^2)}}{\sqrt{1-z^4}}$
$u=x-\sqrt{1+x^2},\quad u'=1-\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}}$
$1+u^2=2\big(x^2+1-x\sqrt{1+x^2}\big)=2\sqrt{1+x^2}\big(\sqrt{1+x^2}-x\big)$
$y'=\dfrac{(\sqrt{1+x^2}-x)/\sqrt{1+x^2}}{2\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2}-x)}$
$y'=\dfrac{1}{2(1+x^2)}$
자연·사회과학에서의 변화율 (속도·가속도·운동) — 마킹: 연습문제 1–4 (입자 운동 세트, 대괄호) + #1 손풀이
운동: 위치 $s=f(t)$ → 속도 $v=s'(t)$ → 가속도 $a=v'(t)=s''(t)$. at rest: $v=0$ / 양의 방향: $v>0$.
speeding up(가속): $v$와 $a$ 같은 부호 ($v\cdot a>0$) / slowing down(감속): 부호 반대.
총 이동거리: $v$의 부호가 바뀌는 지점에서 끊어 각 구간 $|\Delta s|$ 합. (변위 $f(b)-f(a)$ 와 구분)
$v(t)=f'(t)=3t^2-16t+24$, $\quad v(1)=3-16+24=11$ m/s
$3t^2-16t+24=0$ → 판별식 $256-288=-32<0$ → 실근 없음 → 정지하는 순간 없음. $v(t)>0$ (항상) → 모든 $t\ge0$에서 양의 방향 이동.
$v>0$ 이므로 총거리 = 변위 $=f(6)-f(0)=(216-288+144)-0=72$ m
$a(t)=v'(t)=6t-16$, $\quad a(1)=6-16=-10$ m/s²
$v>0$ 항상. $a>0 \iff t>\tfrac{16}{6}=\tfrac83$. → $t>\tfrac83$ 가속(같은 부호), $0\le t<\tfrac83$ 감속(부호 반대).
$v=3t^2-16t+24$, 정지 없음, 총거리 72 m, $a=6t-16$, $t>8/3$에서 speeding up. (f)(h) 그래프는 위 결과로 작도.
$v(t)=\dfrac{9(t^2+9)-9t(2t)}{(t^2+9)^2}=\dfrac{9(9-t^2)}{(t^2+9)^2}$, $\quad v(1)=\dfrac{9\cdot8}{100}=0.72$ m/s
$v=0 \iff t=3$. $0\le t<3$ 양의 방향, $t>3$ 음의 방향.
$f(0)=0,\;f(3)=1.5,\;f(6)=1.2$. 총거리 $=|1.5-0|+|1.2-1.5|=1.8$ m
$a(t)=\dfrac{-18t(27-t^2)}{(t^2+9)^3}$, $\quad a(1)=\dfrac{-18\cdot26}{1000}=-0.468$ m/s²
$v=\dfrac{9(9-t^2)}{(t^2+9)^2}$, 정지 $t=3$, 총거리 1.8 m
$v(t)=\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi t}{2}$, $\quad v(1)=\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi}{2}=0$ m/s
$\cos\dfrac{\pi t}{2}=0 \iff t=1,3,5,\dots$ (홀수 초)
$f(0)=0,\;f(1)=1,\;f(3)=-1,\;f(5)=1,\;f(6)=0$. 총거리 $=1+2+2+1=6$ m
$a(t)=-\dfrac{\pi^2}{4}\sin\dfrac{\pi t}{2}$, $\quad a(1)=-\dfrac{\pi^2}{4}$ m/s²
$v=\tfrac{\pi}{2}\cos\tfrac{\pi t}{2}$, 정지 $t=1,3,5,\dots$, $a=-\tfrac{\pi^2}{4}\sin\tfrac{\pi t}{2}$
$v(t)=2te^{-t}-t^2e^{-t}=te^{-t}(2-t)$, $\quad v(1)=e^{-1}=\dfrac1e\approx0.368$ m/s
$v=0 \iff t=0$ 또는 $t=2$. $0<t<2$ 양의 방향, $t>2$ 음의 방향.
$f(0)=0,\;f(2)=4e^{-2}\approx0.541,\;f(6)=36e^{-6}\approx0.089$. 총거리 $\approx0.541+0.452=0.99$ m
$a(t)=e^{-t}(t^2-4t+2)$, $\quad a(1)=e^{-1}(1-4+2)=-\dfrac1e$ m/s²
$v=te^{-t}(2-t)$, 정지 $t=0,2$, $a=e^{-t}(t^2-4t+2)$
지수 성장·감소 — 마킹: 연습문제 동그라미 없음. 예제 페이지에 개념 강조 마킹(Theorem 2 · 상대성장률)만 있음
Theorem 2 (빨강 박스): 미분방정식 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ 의 유일한 해는 지수함수 $\;y(t)=y(0)e^{kt}$.
식 ③ (빨강 박스): $\dfrac{dP}{dt}=kP \;\Leftrightarrow\; \dfrac{dP/dt}{P}=k$.
상대성장률 (파랑 동그라미): $\dfrac{dP/dt}{P}=k$ — "성장률 ÷ 개체수". 일정하면 개체수는 지수적으로 증가 → $P(t)=P_0e^{kt}$.
이 단원은 부교재에서 동그라미 친 연습문제가 없어 풀이 카드가 없습니다. (실제 시험은 지수 성장·반감기·복리·뉴턴 냉각 유형 — 2024·2025 기출에 출제됨)
마킹: 동그라미+손풀이 6문항 (2·7·8·9·26·29) — 기말 최빈출 단원 (2025 기출 5문항). 13–16·23–24 대괄호는 후속 추가
① 변수·주어진 변화율·구할 변화율 확인 → ② 변수들을 잇는 관계식 세우기 → ③ 양변을 $t$로 음함수 미분($\frac{d}{dt}$) → ④ 주어진 순간의 값 대입.
핵심: 값 대입은 미분 "후"에 (미분 전에 상수 대입 금지). 도형 공식: 원 $A=\pi r^2$, 구 $V=\frac43\pi r^3$·$S=4\pi r^2$, 원기둥 $V=\pi r^2h$, 원뿔 $V=\frac13\pi r^2h$.
$A=\pi r^2 \Rightarrow \dfrac{dA}{dt}=2\pi r\dfrac{dr}{dt}$
$\dfrac{dA}{dt}=2\pi(30)(2)=120\pi$
$\dfrac{dA}{dt}=120\pi\approx377$ m²/s
$V=\pi r^2 h=\pi(5)^2h=25\pi h$ ($r=5$ 고정)
$\dfrac{dV}{dt}=25\pi\dfrac{dh}{dt} \Rightarrow 3=25\pi\dfrac{dh}{dt}$
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{3}{25\pi}\approx0.038$ m/min
$\dfrac{dA}{dt}=\tfrac12 ab\cos\theta\,\dfrac{d\theta}{dt}=\tfrac12(2)(3)(\tfrac12)(0.2)=0.3$ cm²/min
$\dfrac{dA}{dt}=\tfrac12 a\!\left(b'\sin\theta+b\cos\theta\,\theta'\right)=\tfrac12(2)\!\left(1.5\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+3\cdot\tfrac12\cdot0.2\right)\approx1.60$ cm²/min
$\dfrac{dA}{dt}=\tfrac12\!\left(a'b\sin\theta+ab'\sin\theta+ab\cos\theta\,\theta'\right)=\tfrac12\!\left(2.5\cdot3\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+2\cdot1.5\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}+6\cdot\tfrac12\cdot0.2\right)\approx4.85$ cm²/min
(a) $0.3$ (b) $\approx1.60$ (c) $\approx4.85$ cm²/min
$8x\dfrac{dx}{dt}+18y\dfrac{dy}{dt}=0$
$8(2)x'+18(1)(\tfrac13)=0 \Rightarrow 16x'+6=0 \Rightarrow x'=-\dfrac{3}{8}$
$8(-2)(3)+18(1)y'=0 \Rightarrow -48+18y'=0 \Rightarrow y'=\dfrac{8}{3}$
(a) $\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac38$ (b) $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac83$
$D=\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow \dfrac{dD}{dt}=\dfrac{x\,x'+y\,y'}{\sqrt{x^2+y^2}}$
$y'=\pi\cos\dfrac{\pi x}{2}\,x'$, $\;x=\tfrac13$에서 $\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ → $y'=\pi\tfrac{\sqrt3}{2}\sqrt{10}$
$\dfrac{dD}{dt}=\dfrac{\tfrac13\sqrt{10}+\pi\tfrac{\sqrt3}{2}\sqrt{10}}{\sqrt{10}/3}=3\!\left(\tfrac13+\tfrac{\sqrt3}{2}\pi\right)$
$\dfrac{dD}{dt}=1+\dfrac{3\sqrt3}{2}\pi\approx9.16$ cm/s
$V=\tfrac13\pi r^2h=\tfrac13\pi\!\left(\tfrac h2\right)^2h=\dfrac{\pi h^3}{12}$
$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{\pi h^2}{4}\dfrac{dh}{dt}$
$3=\dfrac{\pi(9)}{4}\dfrac{dh}{dt}\Rightarrow \dfrac{dh}{dt}=\dfrac{12}{9\pi}=\dfrac{4}{3\pi}$
$\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{4}{3\pi}\approx0.42$ m/min
$z^2=x^2+2^2=x^2+4$
$2z\dfrac{dz}{dt}=2x\dfrac{dx}{dt}\Rightarrow \dfrac{dz}{dt}=\dfrac{x}{z}\dfrac{dx}{dt}$
$\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\sqrt5}{3}(800)=\dfrac{800\sqrt5}{3}$
$\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{800\sqrt5}{3}\approx596$ km/h
$S=4\pi r^2=4\pi\!\left(\tfrac d2\right)^2=\pi d^2$
$\dfrac{dS}{dt}=2\pi d\dfrac{dd}{dt}$
$-1=2\pi(10)\dfrac{dd}{dt}\Rightarrow \dfrac{dd}{dt}=-\dfrac{1}{20\pi}$
지름은 $\dfrac{1}{20\pi}\approx0.0159$ cm/min로 감소
$\dfrac{6}{s}=\dfrac{2}{s-x}\Rightarrow 6(s-x)=2s\Rightarrow 4s=6x\Rightarrow s=\dfrac32 x$
$\dfrac{ds}{dt}=\dfrac32\dfrac{dx}{dt}=\dfrac32(1.5)=2.25$ m/s (위치 $x$와 무관)
그림자 끝은 $2.25$ m/s로 이동 ($10$ m 위치와 무관, 항상 일정)
가로거리 $x=150-35t$ ($x'=-35$), 세로거리 $y=25t$ ($y'=25$), $z^2=x^2+y^2$
$x=150-140=10,\ y=100,\ z=\sqrt{10^2+100^2}=\sqrt{10100}=10\sqrt{101}$
$z\dfrac{dz}{dt}=x x'+y y'=10(-35)+100(25)=2150$
$\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{2150}{10\sqrt{101}}=\dfrac{215}{\sqrt{101}}\approx21.4$ km/h (증가)
첫 돌($t=0$ 낙하): $d_1=4.9t^2$, 둘째 돌($t=1$ 낙하): $d_2=4.9(t-1)^2$
$s=d_1-d_2=4.9\big[t^2-(t-1)^2\big]=4.9(2t-1)$
$\dfrac{ds}{dt}=4.9\cdot2=9.8$ m/s — 시간과 무관한 상수 (둘째 낙하 1초 후 $t=2$에서도 동일)
$\dfrac{ds}{dt}=9.8$ m/s (일정)
$u=d_1-d_2=4.9(2t-1)$, $\dfrac{du}{dt}=9.8$ (수평거리 $10$ m는 고정)
$s=\sqrt{10^2+u^2}\Rightarrow s\dfrac{ds}{dt}=u\dfrac{du}{dt}$
$\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{u\,u'}{s}=\dfrac{14.7(9.8)}{17.78}$
$\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{14.7\times9.8}{\sqrt{316.09}}\approx8.10$ m/s
가이드형 13(평면·레이더) · 14(눈덩이) · 15(가로등 그림자) · 16(두 배), 그리고 낙하하는 두 돌 23~24까지 대괄호 마킹 문항의 풀이를 모두 추가했다.
선형근사·미분 — 마킹: 연습문제 2번 동그라미 + 개념 강조(선형근사식·미분·오차추정 "왜 3배?")
선형근사(linearization): $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$, 그리고 $a$ 근처에서 $f(x)\approx L(x)$. (식 ①·② 빨강 박스)
미분(differential): $dy=f'(x)\,dx$ ($dx=\Delta x$), $\;\Delta y\approx dy$.
오차 추정 (Example 4 ✓): 구 $V=\tfrac43\pi r^3$ → $dV=4\pi r^2\,dr$. $r=21,\,dr=0.05$ → $dV\approx277$ cm³.
상대오차 — "왜 3배?" (손글씨 질문에 답): $\dfrac{dV}{V}=\dfrac{4\pi r^2\,dr}{\frac43\pi r^3}=3\cdot\dfrac{dr}{r}$. 즉 부피의 상대오차는 반지름 상대오차의 3배 (지수 3에서 나옴).
$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$. $f(0)=e^0=1$, $f'(x)=e^x\Rightarrow f'(0)=1$
$L(x)=1+1\cdot(x-0)=1+x$
$L(x)=1+x$ (유명한 근사 $e^x\approx1+x$, $x\approx0$)
쌍곡선함수 — 마킹: 연습문제 3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·18·21·22·23·24·25·26·30·31 동그라미 + 미분 문제 8개(33·35·37·38·39·40·47·48)
정의: $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\;\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\;\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$. 나머지: $\operatorname{csch}=\tfrac1{\sinh}$, $\operatorname{sech}=\tfrac1{\cosh}$, $\coth=\tfrac1{\tanh}$.
핵심 항등식: $\cosh x+\sinh x=e^{x}$, $\;\cosh x-\sinh x=e^{-x}$, $\;\cosh^2x-\sinh^2x=1$, $\;1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x$.
$\ln p$ 대입 꼴 (계산문제 핵심): $\cosh(\ln p)=\dfrac{p+1/p}{2}$, $\;\sinh(\ln p)=\dfrac{p-1/p}{2}$.
역쌍곡선함수 (Equation 3·4·5): $\sinh^{-1}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$, $\;\cosh^{-1}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\,(x\ge1)$, $\;\tanh^{-1}x=\tfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}\,(-1<x<1)$.
$\cosh(\ln5)=\dfrac{5+1/5}{2}=\dfrac{26/5}{2}=\dfrac{13}{5}$
$\cosh5=\dfrac{e^5+e^{-5}}{2}$ (닫힌 수치 없음, 정의값)
(a) $\dfrac{13}{5}$ (b) $\dfrac{e^5+e^{-5}}{2}\approx74.21$
$\sinh4=\dfrac{e^4-e^{-4}}{2}$
$\sinh(\ln4)=\dfrac{4-1/4}{2}=\dfrac{15/4}{2}=\dfrac{15}{8}$
(a) $\dfrac{e^4-e^{-4}}{2}\approx27.29$ (b) $\dfrac{15}{8}$
$\cosh0=\dfrac{1+1}{2}=1\Rightarrow\operatorname{sech}0=\dfrac{1}{\cosh0}=1$
$\cosh y=1$ 이 되는 $y\ge0$ 은 $y=0$ ($\cosh0=1$)
(a) $1$ (b) $0$
$\sinh1=\dfrac{e-e^{-1}}{2}=\dfrac{e-1/e}{2}$
$\sinh^{-1}1=\ln\!\left(1+\sqrt{1^2+1}\right)=\ln\!\left(1+\sqrt2\right)$
(a) $\dfrac{e-1/e}{2}\approx1.175$ (b) $\ln(1+\sqrt2)\approx0.881$
$8\cdot\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}+5\cdot\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=4(e^x-e^{-x})+\dfrac52(e^x+e^{-x})$
$=\left(4+\tfrac52\right)e^x+\left(-4+\tfrac52\right)e^{-x}=\dfrac{13}{2}e^x-\dfrac32e^{-x}$
$8\sinh x+5\cosh x=\dfrac{13}{2}e^x-\dfrac{3}{2}e^{-x}$
$a\cosh2x+b\sinh2x=\dfrac{a+b}{2}e^{2x}+\dfrac{a-b}{2}e^{-2x}$
$\dfrac{a+b}{2}=2,\ \dfrac{a-b}{2}=3\Rightarrow a+b=4,\ a-b=6\Rightarrow a=5,\ b=-1$
$2e^{2x}+3e^{-2x}=5\cosh2x-\sinh2x$
$\sinh(\ln x)=\dfrac{e^{\ln x}-e^{-\ln x}}{2}=\dfrac{x-\tfrac1x}{2}$
$=\dfrac{x^2-1}{2x}$
$\sinh(\ln x)=\dfrac{x^2-1}{2x}$
$\cosh(4\ln x)=\cosh(\ln x^4)=\dfrac{x^4+\tfrac1{x^4}}{2}$
$=\dfrac{x^8+1}{2x^4}$
$\cosh(4\ln x)=\dfrac{x^8+1}{2x^4}$
$\sinh(-x)=\dfrac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}=-\sinh x$
$\sinh(-x)=-\sinh x$ 이므로 $\sinh$ 는 홀함수. $\;\blacksquare$
$\cosh(-x)=\dfrac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh x$
$\cosh(-x)=\cosh x$ 이므로 $\cosh$ 는 짝함수. $\;\blacksquare$
$\tanh(x+y)=\dfrac{\sinh(x+y)}{\cosh(x+y)}=\dfrac{\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y}{\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y}$
$=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$
$\tanh(x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$ $\;\blacksquare$
$\tanh(\ln x)=\dfrac{\sinh(\ln x)}{\cosh(\ln x)}=\dfrac{(x-1/x)/2}{(x+1/x)/2}=\dfrac{x-1/x}{x+1/x}$
$=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$
$\tanh(\ln x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ $\;\blacksquare$
$\dfrac{1+\tanh x}{1-\tanh x}=\dfrac{\cosh x+\sinh x}{\cosh x-\sinh x}$
$\cosh x+\sinh x=e^{x},\ \cosh x-\sinh x=e^{-x}$ 이므로 $=\dfrac{e^{x}}{e^{-x}}=e^{2x}$
$\dfrac{1+\tanh x}{1-\tanh x}=e^{2x}$ $\;\blacksquare$
$\cosh x+\sinh x=e^{x}$ 이므로 $(\cosh x+\sinh x)^n=(e^{x})^n=e^{nx}$
$e^{nx}=\cosh nx+\sinh nx$ (같은 항등식을 $x\to nx$ 로 적용)
$(\cosh x+\sinh x)^n=\cosh nx+\sinh nx$ $\;\blacksquare$
$1-\tanh^2x=\operatorname{sech}^2x\Rightarrow\operatorname{sech}^2x=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}$. $\cosh x>0$ 이므로 $\operatorname{sech}x=\dfrac{5}{13}$
$\cosh x=\dfrac{13}{5}$, $\;\sinh x=\tanh x\cosh x=\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{13}{5}=\dfrac{12}{5}$
$\operatorname{csch}x=\dfrac{1}{\sinh x}=\dfrac{5}{12}$, $\;\coth x=\dfrac{1}{\tanh x}=\dfrac{13}{12}$
$\sinh x=\dfrac{12}{5},\ \cosh x=\dfrac{13}{5},\ \operatorname{csch}x=\dfrac{5}{12},\ \operatorname{sech}x=\dfrac{5}{13},\ \coth x=\dfrac{13}{12}$
$\cosh^2x-\sinh^2x=1\Rightarrow\sinh^2x=\dfrac{25}{9}-1=\dfrac{16}{9}$. $x>0$ 이므로 $\sinh x=\dfrac{4}{3}$
$\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}=\dfrac{4/3}{5/3}=\dfrac{4}{5}$, $\;\coth x=\dfrac{5}{4}$
$\operatorname{sech}x=\dfrac{1}{\cosh x}=\dfrac{3}{5}$, $\;\operatorname{csch}x=\dfrac{1}{\sinh x}=\dfrac{3}{4}$
$\sinh x=\dfrac{4}{3},\ \tanh x=\dfrac{4}{5},\ \coth x=\dfrac{5}{4},\ \operatorname{sech}x=\dfrac{3}{5},\ \operatorname{csch}x=\dfrac{3}{4}$
$\sinh$ 는 원점을 지나는 홀함수($x\to\pm\infty$ 에서 $\pm\infty$). 역수이므로 $\operatorname{csch}$ 는 홀함수이고 $x=0$ 에서 수직점근선, $x\to\pm\infty$ 에서 $0$ 으로 수렴. 두 갈래 곡선.
$\cosh$ 는 최솟값 $1$($x=0$)인 짝함수. 역수이므로 $\operatorname{sech}$ 는 최댓값 $1$($x=0$)인 종 모양 짝함수, $x\to\pm\infty$ 에서 $0$ 으로 수렴.
$\tanh$ 는 $(-1,1)$ 사이의 증가 홀함수. 역수인 $\coth$ 는 $x=0$ 에서 수직점근선, $x\to\pm\infty$ 에서 $\pm1$ 로 수렴($|\coth x|>1$), 홀함수.
$\operatorname{csch}$: $x=0$ 수직점근선·$y=0$ 수평점근선의 홀함수. $\operatorname{sech}$: 최댓값 $1$, $y=0$ 점근선의 짝함수(종 모양). $\coth$: $x=0$ 수직점근선·$y=\pm1$ 수평점근선의 홀함수.
$y=\cosh^{-1}x$ 로 두면 $x=\cosh y=\dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2}$, $\;y\ge0$
$2x=e^{y}+e^{-y}$. $\;t=e^{y}$ 로 두면 $t^2-2xt+1=0\Rightarrow t=x\pm\sqrt{x^2-1}$
$y\ge0\Rightarrow e^{y}\ge1$. $x-\sqrt{x^2-1}\le1$ 이므로 $e^{y}=x+\sqrt{x^2-1}$ 채택
$y=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$, 즉 $\cosh^{-1}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ $\;\blacksquare$ (원본 Eq.4 기준)
$y=\tanh^{-1}x\Rightarrow x=\tanh y=\dfrac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}$. 정리하면 $x(e^{2y}+1)=e^{2y}-1\Rightarrow e^{2y}(x-1)=-(1+x)\Rightarrow e^{2y}=\dfrac{1+x}{1-x}$
$2y=\ln\dfrac{1+x}{1-x}\Rightarrow y=\dfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}$
Ex.22 ($x\to y$): $\dfrac{1+\tanh y}{1-\tanh y}=e^{2y}$. $x=\tanh y$ 대입하면 $\dfrac{1+x}{1-x}=e^{2y}\Rightarrow y=\dfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}$
$\tanh^{-1}x=\dfrac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}\ (-1<x<1)$ $\;\blacksquare$ (원본 Eq.5 기준)
$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x,\ \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x,\ \frac{d}{dx}\tanh x=\operatorname{sech}^2x$. 역: $\frac{d}{dx}\sinh^{-1}x=\frac1{\sqrt{x^2+1}},\ \frac{d}{dx}\tanh^{-1}x=\frac1{1-x^2}$.
$y=\cosh^{-1}x\Rightarrow x=\cosh y\ (y\ge0)$. $\dfrac{dx}{dy}=\sinh y=\sqrt{\cosh^2y-1}=\sqrt{x^2-1}$. 따라서 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{\sqrt{x^2-1}}\ (x>1)$.
$y=\tanh^{-1}x\Rightarrow x=\tanh y$. $\dfrac{dx}{dy}=\operatorname{sech}^2y=1-\tanh^2y=1-x^2$. 따라서 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{1-x^2}\ (|x|<1)$.
$y=\coth^{-1}x\Rightarrow x=\coth y$. $\dfrac{dx}{dy}=-\operatorname{csch}^2y=-(\coth^2y-1)=1-x^2$. 따라서 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{1-x^2}\ (|x|>1)$.
$\dfrac{d}{dx}\cosh^{-1}x=\dfrac1{\sqrt{x^2-1}},\quad \dfrac{d}{dx}\tanh^{-1}x=\dfrac{d}{dx}\coth^{-1}x=\dfrac1{1-x^2}$ $\;\blacksquare$
$f'(x)=\sinh(3x)\cdot\dfrac{d}{dx}(3x)=3\sinh 3x$
$f'(x)=3\sinh 3x$
$h'(x)=\cosh(x^2)\cdot\dfrac{d}{dx}(x^2)=2x\cosh(x^2)$
$h'(x)=2x\cosh(x^2)$
$g(x)=(\sinh x)^2\Rightarrow g'(x)=2\sinh x\cdot\cosh x=\sinh 2x$ ($\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$).
$g'(x)=2\sinh x\cosh x=\sinh 2x$
$G'(t)=\cosh(\ln t)\cdot\dfrac1t=\dfrac{\cosh(\ln t)}t$
$\cosh(\ln t)=\dfrac{t+1/t}2$ 이므로 $G'(t)=\dfrac{t+1/t}{2t}=\dfrac{t^2+1}{2t^2}$
$G'(t)=\dfrac{\cosh(\ln t)}t=\dfrac{t^2+1}{2t^2}$
$F'(t)=\dfrac1{\sinh t}\cdot\cosh t=\dfrac{\cosh t}{\sinh t}=\coth t$
$F'(t)=\coth t$
$\dfrac{d}{dx}\sinh^{-1}u=\dfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}$. $u=-2x,\ u'=-2$ 이므로 $f'(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{(-2x)^2+1}}=\dfrac{-2}{\sqrt{4x^2+1}}$
$f'(x)=-\dfrac2{\sqrt{4x^2+1}}$
$\dfrac{d}{dx}\tanh^{-1}u=\dfrac{u'}{1-u^2}$. $u=x^3,\ u'=3x^2$ 이므로 $g'(x)=\dfrac{3x^2}{1-(x^3)^2}=\dfrac{3x^2}{1-x^6}$
$g'(x)=\dfrac{3x^2}{1-x^6}$
최대·최소 — 마킹: 본문 개념(절대·국소 극값 정의·EVT·Fermat 정리·임계수·닫힌구간 방법) + 연습문제 43·46·47·63·64·72 동그라미
절대 극값 (Definition 1): 정의역 $D$ 의 수 $c$ 에 대해, 모든 $x\in D$ 에서 $f(c)\ge f(x)$ 이면 $f(c)$ 는 절대 최댓값, $f(c)\le f(x)$ 이면 절대 최솟값. (= 전역 극값 global extreme values)
국소(상대) 극값 (Definition 2): $c$ 근방에서만 $f(c)\ge f(x)$ 이면 국소 최댓값, $f(c)\le f(x)$ 이면 국소 최솟값. "근방"이므로 끝점에서는 국소 극값을 따지지 않는다(개구간 기준).
EVT: $f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이면, $f$ 는 그 구간에서 절대 최댓값 $f(c)$ 와 절대 최솟값 $f(d)$ 를 반드시 가진다($c,d\in[a,b]$).
두 가설 모두 필수 (여백 손글씨): 닫힌구간 → 닫힌구간, 개구간이면 보장 안 됨. Figure 9(불연속)·Figure 10(개구간)처럼 둘 중 하나라도 빠지면 극값이 없을 수 있다.
Fermat 정리: $f$ 가 $c$ 에서 국소 극값을 가지고 $f'(c)$ 가 존재하면 $\;f'(c)=0$.
⊘ 주의 (역은 거짓): $f'(c)=0$ 이라고 해서 $c$ 가 반드시 극값은 아니다. 예: $f(x)=x^3$ 은 $f'(0)=0$ 이지만 극값이 아니다(Example 5). 또 $f(x)=|x|$ 처럼 $f'(0)$ 이 없어도 극값일 수 있다(Example 6). → 극값 후보는 "$f'=0$ 또는 $f'$ 미정의"인 점에서만 찾으면 된다.
임계수의 정의: $f$ 의 정의역에 속하는 수 $c$ 로서 $f'(c)=0$ 또는 $f'(c)$ 가 존재하지 않는 수.
Fermat 재서술 (7): $f$ 가 $c$ 에서 국소 극값을 가지면 $c$ 는 임계수이다. (역은 성립 X — 임계수가 극값이 아닐 수 있음, 반례 $x^3$.)
$[a,b]$ 에서 연속인 $f$ 의 절대 최댓값·최솟값을 구하는 3단계:
① $(a,b)$ 안의 임계수에서 $f$ 값을 구한다. ② 두 끝점 $f(a),\,f(b)$ 를 구한다. ③ ①·②의 값 중 가장 큰 값 = 절대 최댓값, 가장 작은 값 = 절대 최솟값.
예시 (Example 8): $f(x)=x^3-3x^2+1,\;\left[-\tfrac12,4\right]$. $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0,2$. $f(0)=1,\;f(2)=-3,\;f\!\left(-\tfrac12\right)=\tfrac18,\;f(4)=17$. → 절대 최댓값 $f(4)=17$, 절대 최솟값 $f(2)=-3$.
$f'(x)=\tfrac13x^{-2/3}(4-x)^{2/3}+x^{1/3}\cdot\tfrac23(4-x)^{-1/3}\cdot(-1)$
$f'(x)=\dfrac{(4-x)-2x}{3\,x^{2/3}(4-x)^{1/3}}=\dfrac{4-3x}{3\,x^{2/3}(4-x)^{1/3}}$
분자 $=0:\;4-3x=0\Rightarrow x=\tfrac43$. 분모 $=0$ (미정의): $x=0$ ($x^{2/3}$), $x=4$ ($(4-x)^{1/3}$). 세 점 모두 정의역(전 실수) 안.
임계수 $x=0,\;\dfrac{4}{3},\;4$
$p'(t)=e^{4t}+t\cdot 4e^{4t}=e^{4t}(1+4t)$
$e^{4t}>0$ 이므로 $1+4t=0\Rightarrow t=-\tfrac14$. ($p'$ 는 어디서도 미정의 아님)
임계수 $t=-\dfrac{1}{4}$
$\ln x$ 때문에 $x>0$
$g'(x)=2x\ln x+x^{2}\cdot\dfrac1x=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$
$x>0$ 이므로 $x\ne0$. $\;2\ln x+1=0\Rightarrow\ln x=-\tfrac12\Rightarrow x=e^{-1/2}$
임계수 $x=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt e}\approx0.607$
$f'(x)=-2x^{-3}\ln x+x^{-2}\cdot\dfrac1x=x^{-3}(1-2\ln x)$
$x^{-3}\ne0$ 이므로 $1-2\ln x=0\Rightarrow\ln x=\tfrac12\Rightarrow x=\sqrt e\approx1.649\in\left[\tfrac12,4\right]$
$f(\sqrt e)=(\sqrt e)^{-2}\cdot\tfrac12=\dfrac{1}{2e}\approx0.184$, $f\!\left(\tfrac12\right)=4\ln\tfrac12=-4\ln2\approx-2.773$, $f(4)=\dfrac{\ln4}{16}=\dfrac{\ln2}{8}\approx0.087$
절대 최댓값 $f(\sqrt e)=\dfrac{1}{2e}\approx0.184$, 절대 최솟값 $f\!\left(\tfrac12\right)=-4\ln2\approx-2.773$
$f'(x)=e^{x/2}+x\cdot\tfrac12e^{x/2}=e^{x/2}\!\left(1+\tfrac{x}{2}\right)$
$e^{x/2}>0$ 이므로 $1+\tfrac{x}{2}=0\Rightarrow x=-2\in[-3,1]$
$f(-2)=-2e^{-1}=-\dfrac{2}{e}\approx-0.736$, $f(-3)=-3e^{-3/2}\approx-0.669$, $f(1)=e^{1/2}=\sqrt e\approx1.649$
절대 최댓값 $f(1)=\sqrt e\approx1.649$, 절대 최솟값 $f(-2)=-\dfrac{2}{e}\approx-0.736$
$f'(x)=1+2\sin x$
$1+2\sin x=0\Rightarrow\sin x=-\tfrac12$. $[-2,0]$ 안에서는 $x=-\dfrac{\pi}{6}\approx-0.524$ (다른 해 $-\tfrac{5\pi}{6}\approx-2.618$ 은 구간 밖)
$f\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{\pi}{6}-2\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\pi}{6}-\sqrt3\approx-2.256$, $f(-2)=-2-2\cos2\approx-1.168$, $f(0)=-2$
절대 최댓값 $f(-2)=-2-2\cos2\approx-1.168$, 절대 최솟값 $f\!\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\pi}{6}-\sqrt3\approx-2.256$
$C'(t)=8\!\left(-0.4e^{-0.4t}+0.6e^{-0.6t}\right)$
$0.6e^{-0.6t}=0.4e^{-0.4t}\Rightarrow e^{0.2t}=\dfrac{0.6}{0.4}=1.5\Rightarrow t=5\ln1.5\approx2.03$ h
$e^{-0.4t}=1.5^{-2}=\tfrac49,\ e^{-0.6t}=1.5^{-3}=\tfrac{8}{27}$ → $C=8\!\left(\tfrac49-\tfrac{8}{27}\right)=8\cdot\tfrac{4}{27}=\dfrac{32}{27}$
$C(0)=0,\ C(12)=8\!\left(e^{-4.8}-e^{-7.2}\right)\approx0.06$ → 최대는 임계점에서 발생
최대 농도 $C=\dfrac{32}{27}\approx1.19$ μg/mL ($t=5\ln1.5\approx2.03$ h)
평균값정리 — 마킹: 본문 개념(Rolle 정리·평균값정리·기하적 의미·따름정리 + 예제 2·3·4·5 ✓) + 연습문제 17·18·19·20·41·42 동그라미 (그래프 판독형 5–8 마킹은 본문 그래프가 있어야 풀 수 있어 카드 제외)
세 가설: $f$ 가 ① 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속, ② 개구간 $(a,b)$ 에서 미분가능, ③ $f(a)=f(b)$ 이면 → $f'(c)=0$ 인 $c\in(a,b)$ 가 존재한다.
기하적 의미 (Figure 1): 양 끝점의 높이가 같으면, 그 사이 어딘가에서 접선이 수평($f'(c)=0$)이 되는 점이 반드시 있다. (여백 손글씨: continuous on closed, differentiable on open)
문제: $x^3+x-1=0$ 이 정확히 하나의 실근을 가짐을 보여라.
존재성(중간값정리): $f(x)=x^3+x-1$ 은 연속, $f(0)=-1<0,\;f(1)=1>0$ → $(0,1)$ 에 근이 적어도 하나.
유일성(Rolle, 귀류법): 근이 둘 $a<b$ 라면 $f(a)=f(b)=0$ 이므로 Rolle에 의해 $f'(c)=0$ 인 $c$ 존재. 그러나 $f'(x)=3x^2+1\ge1>0$ 으로 절대 $0$ 이 안 됨 → 모순. 따라서 근은 정확히 하나.
두 가설: $f$ 가 ① $[a,b]$ 에서 연속, ② $(a,b)$ 에서 미분가능이면 → $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad(\text{동치: } f(b)-f(a)=f'(c)(b-a))$$ 를 만족하는 $c\in(a,b)$ 가 존재한다.
기하적 의미 (Figure 3·4): 두 끝점을 잇는 할선 $AB$ 의 기울기와 같은 기울기의 접선이 그래프 위 어딘가($c$)에 존재한다. 증명은 보조함수 $h(x)=f(x)-\!\big[\text{할선 }AB\text{ 식}\big]$ 에 Rolle 정리를 적용(Figure 5).
EXAMPLE 3 ($c$ 직접 구하기): $f(x)=x^3-x,\;[0,2]$. $\;f(2)-f(0)=6=f'(c)(2-0)$, $f'(x)=3x^2-1$ → $6=2(3c^2-1)\Rightarrow c^2=\tfrac43\Rightarrow c=\dfrac{2}{\sqrt3}\approx1.155\in(0,2)$.
EXAMPLE 4 (운동 해석): 직선운동 $s=f(t)$ 에서 평균속도 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 와 같은 순간속도 $f'(c)$ 인 순간 $c$ 가 존재. → "순간변화율 = 평균변화율"인 점이 구간 안에 있다.
EXAMPLE 5 (값의 한계): $f(0)=-3,\;f'(x)\le5$(모든 $x$). MVT: $f(2)-f(0)=f'(c)(2-0)=2f'(c)\le10$ → $f(2)\le-3+10=7$. $f(2)$ 의 최댓값은 $7$.
Theorem 5: $f'(x)=0$ 이 구간 $(a,b)$ 의 모든 $x$ 에서 성립하면, $f$ 는 $(a,b)$ 에서 상수이다. (임의의 두 점 $x_1<x_2$ 에 MVT: $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)=0$.)
Corollary 7: $f'(x)=g'(x)$ 가 $(a,b)$ 전체에서 성립하면 $f-g$ 는 상수, 즉 $f(x)=g(x)+c$. (부정적분의 $+C$ 의 근거.)
⊘ 주의 (NOTE): 정의역이 구간(interval) 이어야 한다. $f(x)=\dfrac{x}{|x|}$ 처럼 정의역이 끊겨 있으면 $f'=0$ 이라도 전체 상수가 아닐 수 있다.
$\ln x$ 는 $x>0$ 에서 연속·미분가능 → $[1,4]$ 연속, $(1,4)$ 미분가능. 가설 충족.
$\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{\ln4-\ln1}{3}=\dfrac{\ln4}{3}=\dfrac{2\ln2}{3}$
$f'(x)=\dfrac1x$ 이므로 $\dfrac1c=\dfrac{\ln4}{3}\Rightarrow c=\dfrac{3}{\ln4}=\dfrac{3}{2\ln2}$
$c=\dfrac{3}{\ln4}=\dfrac{3}{2\ln2}\approx2.164\in(1,4)$
$\dfrac1x$ 는 $x\ne0$ 에서 연속·미분가능 → $[1,3]$ 에서 가설 충족.
$\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{\tfrac13-1}{2}=\dfrac{-\tfrac23}{2}=-\dfrac13$
$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ 이므로 $-\dfrac{1}{c^2}=-\dfrac13\Rightarrow c^2=3\Rightarrow c=\sqrt3$ ($(1,3)$ 안의 양수만)
$c=\sqrt3\approx1.732\in(1,3)$
$\dfrac{f(4)-f(0)}{4-0}=\dfrac{2-0}{4}=\dfrac12$
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ 이므로 $\dfrac{1}{2\sqrt c}=\dfrac12\Rightarrow \sqrt c=1\Rightarrow c=1$
$c=1\in(0,4)$. $(1,\,f(1))=(1,1)$ 에서의 접선이 할선과 평행($\;$기울기 $\tfrac12$).
$\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0}=\dfrac{e^{-2}-1}{2}$
$f'(x)=-e^{-x}$ 이므로 $-e^{-c}=\dfrac{e^{-2}-1}{2}\Rightarrow e^{-c}=\dfrac{1-e^{-2}}{2}$
$-c=\ln\!\dfrac{1-e^{-2}}{2}\Rightarrow c=\ln\!\dfrac{2}{1-e^{-2}}$
$c=\ln\!\dfrac{2}{1-e^{-2}}\approx0.839\in(0,2)$
$f(t)=g(t)-h(t)$. 위치함수는 연속·미분가능이므로 $f$ 도 $[a,b]$ 연속, $(a,b)$ 미분가능.
출발($t=a$) 같은 위치: $g(a)=h(a)\Rightarrow f(a)=0$. 동시 결승($t=b$) 동점: $g(b)=h(b)\Rightarrow f(b)=0$. → $f(a)=f(b)$.
$f'(c)=0$ 인 $c\in(a,b)$ 존재 → $g'(c)-h'(c)=0\Rightarrow g'(c)=h'(c)$.
$g'(c)=h'(c)$, 즉 시각 $c$ 에서 두 주자의 속력이 같다. $\blacksquare$
고정점이 둘 $a<b$ 라 하자. 즉 $f(a)=a,\;f(b)=b$.
$f$ 는 모든 $x$ 에서 미분가능($f'$ 존재) → $[a,b]$ 에 MVT 적용: $\;f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{b-a}{b-a}=1$ 인 $c\in(a,b)$ 존재.
이는 "모든 $x$ 에서 $f'(x)\ne1$" 에 모순.
따라서 고정점은 많아야 하나. $\blacksquare$
도함수와 그래프 개형 — 마킹: 본문 개념 빨강 체크(증가·감소 판정법 I/D Test · 1차 도함수 판정법 · 오목성 정의·Concavity Test · 변곡점 정의 · 2차 도함수 판정법 ✓) + 연습문제 22·24·26·27(p306) · 61·62·63(p307) 동그라미
(a) 구간에서 $f'(x)>0$ 이면 $f$ 는 그 구간에서 증가. (b) $f'(x)<0$ 이면 감소. (증명: 평균값정리)
EXAMPLE 1 ($f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+5$): $f'(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x-2)(x+1)$. 임계수 $-1,0,2$. 부호표 → 증가 $(-1,0),(2,\infty)$, 감소 $(-\infty,-1),(0,2)$.
$c$ 가 연속함수 $f$ 의 임계수일 때, $c$ 를 지나며 $f'$ 의 부호가:
(a) $+ \to -$ 로 바뀌면 $f$ 는 $c$ 에서 극대. (b) $- \to +$ 로 바뀌면 극소. (c) 부호가 안 바뀌면 극값 아님.
정의: 그래프가 모든 접선 위에 있으면 위로 오목(concave upward, CU), 모든 접선 아래에 있으면 아래로 오목(concave downward, CD).
Concavity Test: 구간 $I$ 에서 (a) $f''(x)>0$ 이면 $f$ 는 $I$ 에서 CU, (b) $f''(x)<0$ 이면 CD.
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P$ 에서 $f$ 가 연속이고, 오목 방향이 CU↔CD 로 바뀌면 $P$ 를 변곡점이라 한다.
찾는 법: $f''(x)=0$ 또는 $f''$ 가 정의되지 않는 점을 후보로 잡고, 그 점 좌우에서 $f''$ 의 부호가 실제로 바뀌는지 확인한다.
$f''$ 가 $c$ 근방에서 연속이고 $f'(c)=0$ 일 때: (a) $f''(c)>0$ 이면 극소, (b) $f''(c)<0$ 이면 극대.
⊘ 주의: $f''(c)=0$ 이면 판정 불가 → 1차 도함수 판정법 사용. (EXAMPLE 6: $f(x)=x^4-4x^3$ 에서 $f''(0)=0$ 이라 $x=0$ 은 2차 판정 실패, $x=3$ 은 $f''(3)=36>0$ 으로 극소.)
$f'(x)=\dfrac{e^x(e^x+2)-e^x\cdot e^x}{(e^x+2)^2}=\dfrac{2e^x}{(e^x+2)^2}$.
$f''(x)=\dfrac{2e^x(2-e^x)}{(e^x+2)^3}$. 분모·$2e^x>0$ 이므로 부호는 $(2-e^x)$. → $f''>0$ 일 때 $x<\ln2$, $f''<0$ 일 때 $x>\ln2$.
오목: CU $(-\infty,\ln2)$, CD $(\ln2,\infty)$. 변곡점 $\left(\ln2,\ \tfrac12\right)$ ($f(\ln2)=\tfrac{2}{2+2}=\tfrac12$).
$f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. 임계수 $x=\pm1$.
$f'>0$ 은 $(-1,1)$ → 증가; $f'<0$ 은 $(-\infty,-1),(1,\infty)$ → 감소. 극소 $f(-1)=-\tfrac12$, 극대 $f(1)=\tfrac12$.
$f''(x)=\dfrac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$. 부호 결정점 $x=0,\pm\sqrt3$.
$x<-\sqrt3$: CD / $-\sqrt3<x<0$: CU / $0<x<\sqrt3$: CD / $x>\sqrt3$: CU.
증가 $(-1,1)$, 감소 $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$. 극소 $-\tfrac12\,(x{=}{-}1)$, 극대 $\tfrac12\,(x{=}1)$. CU $(-\sqrt3,0)\cup(\sqrt3,\infty)$, CD $(-\infty,-\sqrt3)\cup(0,\sqrt3)$. 변곡점 $\left(-\sqrt3,-\tfrac{\sqrt3}{4}\right),(0,0),\left(\sqrt3,\tfrac{\sqrt3}{4}\right)$.
$f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\dfrac1x=x(2\ln x+1)$. $x>0$ 이므로 임계수는 $2\ln x+1=0\Rightarrow x=e^{-1/2}$.
$0<x<e^{-1/2}$: $f'<0$ 감소; $x>e^{-1/2}$: $f'>0$ 증가. → 극소 $f(e^{-1/2})=e^{-1}\cdot(-\tfrac12)=-\dfrac{1}{2e}$.
$f''(x)=2\ln x+2+1=2\ln x+3$. $=0\Rightarrow x=e^{-3/2}$. $x<e^{-3/2}$: CD, $x>e^{-3/2}$: CU.
감소 $\left(0,e^{-1/2}\right)$, 증가 $\left(e^{-1/2},\infty\right)$. 극소 $-\dfrac{1}{2e}$. CD $\left(0,e^{-3/2}\right)$, CU $\left(e^{-3/2},\infty\right)$. 변곡점 $\left(e^{-3/2},\,-\dfrac{3}{2e^{3}}\right)$.
$f'(x)=e^{2x}+x\cdot2e^{2x}=e^{2x}(1+2x)$. $e^{2x}>0$ 이므로 임계수 $x=-\tfrac12$.
$x<-\tfrac12$: $f'<0$ 감소; $x>-\tfrac12$: $f'>0$ 증가. → 극소 $f(-\tfrac12)=-\tfrac12 e^{-1}=-\dfrac{1}{2e}$.
$f''(x)=2e^{2x}(1+2x)+2e^{2x}=4e^{2x}(1+x)$. $=0\Rightarrow x=-1$. $x<-1$: CD, $x>-1$: CU.
감소 $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, 증가 $\left(-\tfrac12,\infty\right)$. 극소 $-\dfrac{1}{2e}$. CD $(-\infty,-1)$, CU $(-1,\infty)$. 변곡점 $\left(-1,\,-e^{-2}\right)$.
$x\to\pm\infty$: $-2/x\to0$, $f\to e^0=1$ → 수평점근선 $y=1$. $x\to0^+$: $-2/x\to-\infty$, $f\to0$. $x\to0^-$: $-2/x\to+\infty$, $f\to\infty$ → 수직점근선 $x=0$.
$f'(x)=e^{-2/x}\cdot\dfrac{2}{x^2}>0$ (모든 $x\ne0$) → $(-\infty,0),(0,\infty)$ 에서 증가, 극값 없음.
$f''(x)=\dfrac{4e^{-2/x}(1-x)}{x^{4}}$. $e^{-2/x},x^4>0$ 이므로 부호는 $(1-x)$. $x<1$: CU(단 $x{=}0$ 제외), $x>1$: CD.
점근선 $y=1,\ x=0$. 증가 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$, 극값 없음. CU $(-\infty,0)\cup(0,1)$, CD $(1,\infty)$. 변곡점 $\left(1,\,e^{-2}\right)$.
$x\to-\infty$: $e^x\to0$, $f\to0$ → $y=0$. $x\to+\infty$: $f=\dfrac{1}{e^{-x}-1}\to-1$ → $y=-1$. $x\to0^-$: $1-e^x\to0^+$, $f\to+\infty$; $x\to0^+$: $1-e^x\to0^-$, $f\to-\infty$ → 수직점근선 $x=0$.
$f'(x)=\dfrac{e^x(1-e^x)+e^x\cdot e^x}{(1-e^x)^2}=\dfrac{e^x}{(1-e^x)^2}>0$ → $(-\infty,0),(0,\infty)$ 증가, 극값 없음.
$f''(x)=\dfrac{e^x(1+e^x)}{(1-e^x)^3}$. $e^x,(1+e^x)>0$ 이므로 부호는 $(1-e^x)^3$. $x<0$: CU, $x>0$: CD. ($x=0$ 은 정의역 밖 → 변곡점 아님.)
점근선 $y=0,\ y=-1,\ x=0$. 증가 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$, 극값 없음. CU $(-\infty,0)$, CD $(0,\infty)$. 변곡점 없음.
$x\to\pm\infty$: $-x^2\to-\infty$, $f\to0$ → 수평점근선 $y=0$. 수직점근선 없음.
$f'(x)=-2x\,e^{-x^2}$. $x=0$ 에서 $f'=0$. $x<0$: $f'>0$ 증가, $x>0$: $f'<0$ 감소 → 극대 $f(0)=1$.
$f''(x)=2e^{-x^2}(2x^2-1)$. $=0\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}$. $|x|>\tfrac{1}{\sqrt2}$: CU, $|x|<\tfrac{1}{\sqrt2}$: CD.
점근선 $y=0$. 증가 $(-\infty,0)$, 감소 $(0,\infty)$, 극대 $1$. CU $\left(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\cup\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\infty\right)$, CD $\left(-\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\right)$. 변곡점 $\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt2},\,e^{-1/2}\right)$.
부정형과 로피탈 정리 — 마킹: 본문 개념 빨강 박스(부정형 $\frac00\cdot\frac\infty\infty$ 정의 · l'Hospital 정리(정리 전체 테두리·"except possibly at $a$" 동그라미) · 분자·분모 따로 미분 ⊘ · 곱 $0\cdot\infty$ · 차 $\infty-\infty$ · 거듭제곱 $0^0\cdot\infty^0\cdot1^\infty$ ✓) + 연습문제 57·61·63(거듭제곱형 동그라미, p317) · 76(로그 vs 거듭제곱 T/F+손그래프) · 80·81·83(모델링 동그라미, p318)
부정형: $\lim\dfrac fg$ 에서 분자·분모가 모두 $0$ 이면 $\dfrac00$, 모두 $\pm\infty$ 이면 $\dfrac\infty\infty$ — 값을 바로 알 수 없는 꼴.
정리: $f,g$ 가 $a$ 를 포함하는 열린구간 $I$ 에서 미분가능(단 $a$ 자신은 제외 가능)하고 $g'(x)\ne0$ 이며, $\lim_{x\to a}f=\lim_{x\to a}g=0$ (부정형 $\frac00$) 또는 $\lim_{x\to a}f=\pm\infty,\ \lim_{x\to a}g=\pm\infty$ (부정형 $\frac\infty\infty$) 이면 $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ (우변 극한이 존재하거나 $\pm\infty$ 일 때).
NOTE 2·3 (✓): $x\to a^+,\ x\to a^-,\ x\to\pm\infty$ 인 경우에도 그대로 성립. (도함수의 대안 정의로 $\frac00$ 형의 정당성을 확인.)
로피탈은 $\dfrac{f'}{g'}$ 이지 $\left(\dfrac fg\right)'$ 가 아니다. 적용 전 반드시 $\frac00$ 또는 $\frac\infty\infty$ 인지 확인 — 비부정형에 적용하면 틀린다 (EXAMPLE 5 "wrong!"). 적용 후 다시 부정형이면 반복 적용.
$\lim fg$ 에서 $f\to0,\ g\to\pm\infty$ 이면 $fg=\dfrac{f}{1/g}\ (\to\frac00)$ 또는 $\dfrac{g}{1/f}\ (\to\frac\infty\infty)$ 로 바꿔 로피탈. EXAMPLE 6: $\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x=\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{1/x}=\lim_{x\to0^+}\dfrac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0$.
공통분모로 묶거나 인수분해하여 $\frac00$ 또는 $\frac\infty\infty$ 로 변형한 뒤 로피탈. (단순히 두 무한대를 빼면 안 됨.)
$\lim[f(x)]^{g(x)}$ 에서: ① $f\to0,g\to0$ → $0^0$; ② $f\to\infty,g\to0$ → $\infty^0$; ③ $f\to1,g\to\pm\infty$ → $1^\infty$.
처리법: $y=[f]^g$ 로 두고 $\ln y=g\ln f\ (\to0\cdot\infty)$ 를 계산 → $y=e^{\lim\ln y}$. 또는 곧장 $[f]^g=e^{g\ln f}$.
⊘ 주의: $0^0,\infty^0,1^\infty$ 는 부정형이지만 $0^{+\infty}$ 는 부정형이 아님($=0$). (Exercise 88) (여백 손풀이: $y=x^x\Rightarrow\ln y=x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}\to0\Rightarrow x^x\to e^0=1$ — EXAMPLE 10.)
$x\to0^+$: 밑 $x\to0$, 지수 $\sqrt x\to0$ → $0^0$ 부정형.
$y=x^{\sqrt x}$ 로 두면 $\ln y=\sqrt x\,\ln x=\dfrac{\ln x}{x^{-1/2}}$ ($\to\frac{-\infty}{\infty}$).
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\frac{d}{dx}\ln x}{\frac{d}{dx}x^{-1/2}}=\lim_{x\to0^+}\dfrac{1/x}{-\frac12x^{-3/2}}=\lim_{x\to0^+}\left(-2x^{1/2}\right)=0$.
$\ln y\to0\Rightarrow y\to e^{0}$.
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{\sqrt x}=1$.
$x\to1^+$: 밑 $\to1$, 지수 $\dfrac{1}{1-x}\to-\infty$ → $1^\infty$ 부정형.
$y=x^{1/(1-x)}$, $\ln y=\dfrac{\ln x}{1-x}$ ($\to\frac00$).
$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{1/x}{-1}=-\dfrac1x\Big|_{x=1}=-1$. ∴ $\ln y\to-1$.
$\displaystyle\lim_{x\to1^+}x^{1/(1-x)}=e^{-1}=\dfrac1e$.
$x\to\infty$: 밑 $\to\infty$, 지수 $\frac1x\to0$ → $\infty^0$ 부정형.
$y=x^{1/x}$, $\ln y=\dfrac{\ln x}{x}$ ($\to\frac\infty\infty$).
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{1}=0$. ∴ $\ln y\to0$.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{1/x}=e^{0}=1$.
$x\to\infty$: 분자 $e^x\to\infty$, 분모 $x^n\to\infty$ → $\frac\infty\infty$.
$\dfrac{e^x}{x^n}\to\dfrac{e^x}{nx^{n-1}}\to\dfrac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}}\to\cdots\to\dfrac{e^x}{n!}$ ($n$ 회 미분 후 분모가 상수 $n!$).
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{n!}=\infty$.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=\infty$ — 지수함수가 임의의 거듭제곱보다 빠르게 발산 $\blacksquare$
$x\to\infty$: 분자·분모 모두 $\to\infty$ → $\frac\infty\infty$ 부정형.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\frac{d}{dx}\ln x}{\frac{d}{dx}x^{p}}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1/x}{p\,x^{p-1}}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{p\,x^{p}}$.
$p>0$ 이므로 $x^{p}\to\infty$ → $\dfrac{1}{p\,x^{p}}\to0$. (손그래프: $x^{p}$ 가 $\ln x$ 를 압도해 비율이 $0$ 으로 수렴.)
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x^{p}}=0$ (임의의 $p>0$).
$e^{-ct/m}\to0$ → $v\to\dfrac{mg}{c}$. 의미: 종단속도(terminal velocity) — 수평 점근선.
$\dfrac{mg}{c}\to\infty$, $\left(1-e^{-ct/m}\right)\to0$ → $\infty\cdot0$. 분수화: $v=\dfrac{mg\left(1-e^{-ct/m}\right)}{c}$ ($\to\frac00$, 변수 $c$).
분자 $\dfrac{d}{dc}\!\left[mg\!\left(1-e^{-ct/m}\right)\right]=gt\,e^{-ct/m}$, 분모 $\dfrac{d}{dc}c=1$ → $\displaystyle\lim_{c\to0^+}gt\,e^{-ct/m}=gt$.
(a) $\displaystyle\lim_{t\to\infty}v=\dfrac{mg}{c}$ (종단속도). (b) $\displaystyle\lim_{c\to0^+}v=gt$ (진공 자유낙하).
$\left(1+\frac rn\right)^{nt}$: 밑 $\to1$, 지수 $nt\to\infty$ → $1^\infty$ 부정형.
$y=\left(1+\dfrac rn\right)^{nt}$, $\ln y=nt\,\ln\!\left(1+\dfrac rn\right)=t\cdot\dfrac{\ln(1+r/n)}{1/n}$ ($\to\frac00$).
분자 $\dfrac{d}{dn}\ln\!\left(1+\frac rn\right)=\dfrac{-r/n^{2}}{1+r/n}$, 분모 $\dfrac{d}{dn}\!\left(\frac1n\right)=-\dfrac{1}{n^{2}}$. 비 $=\dfrac{r}{1+r/n}\to r$. ∴ $\ln y\to rt$.
$A=A_0\,y\to A_0e^{rt}$.
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A=A_0e^{rt}$ (연속복리).
$e^{-kt}\to0$ → $P(t)\to\dfrac{M}{1+0}=M$. 의미: $M$ 은 개체수의 상한 = 수용한계(carrying capacity).
$P(0)=\dfrac{M}{1+A}=P_0\Rightarrow A=\dfrac{M-P_0}{P_0}$.
$A=\dfrac{M-P_0}{P_0}$ 대입: $P=\dfrac{M}{1+\frac{M-P_0}{P_0}e^{-kt}}=\dfrac{1}{\frac1M+\frac{1}{P_0}e^{-kt}}$. $M\to\infty$ 이면 $\frac1M\to0$ → $P\to\dfrac{1}{\frac{1}{P_0}e^{-kt}}=P_0e^{kt}$.
(a) $\displaystyle\lim_{t\to\infty}P=M$ (수용한계). (b) $\displaystyle\lim_{M\to\infty}P(t)=P_0e^{kt}$ — 지수함수(수용한계가 무한대면 초기 지수성장).
곡선 개형 종합 — 마킹: 본문 8단계 가이드라인 빨강 체크(D Asymptotes ✓ · E 증감 ✓ · F 극값 ✓ · G 오목·변곡 ✓) + 사선 점근선(Slant/"Oblique" 손글씨) · 대칭("even functions" 손글씨) · 연습문제 동그라미 9문항: 3·5 (다항식, p327) · 42·43 (지수·로지스틱) · 51·52 (사선점근선·로그) · 61·62·64 (응용: 루머·약물·쿨롱)
A. 정의역(Domain) → B. 절편(Intercepts) $x$·$y$절편 → C. 대칭(Symmetry) 우함수 $f(-x)=f(x)$ (✓ "even functions": $y$축 대칭) · 기함수 $f(-x)=-f(x)$ (원점 대칭) · 주기함수 → D. 점근선(Asymptotes) ✓ → E. 증가·감소 구간 ✓ ($f'$ 부호, 1계 도함수) → F. 극대·극소 ✓ (임계수에서 $f'$ 부호변화 또는 2계 판정) → G. 오목·변곡 ✓ ($f''$ 부호) → H. 곡선 그리기 (점근선·절편·극값·변곡점을 모두 표시).
수평: $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ 이면 $y=L$. 수직: $\lim_{x\to a}f=\pm\infty$ 이면 $x=a$ (유리함수는 약분 후 분모$=0$). 사선(oblique/slant) ✓: $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big[f(x)-(mx+b)\big]=0$ 이면 $y=mx+b$ 가 사선 점근선. 유리함수는 (분자차수)$=$(분모차수)$+1$ 일 때 긴 나눗셈으로 구함.
정의역 $\mathbb R$. $y$절편 $f(0)=0$. $x$절편: $x^4-4x=x(x^3-4)=0\Rightarrow x=0,\ x=\sqrt[3]4\approx1.59$.
우함수·기함수 아님(대칭 없음). 다항식이므로 점근선 없음.
$f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=0\Rightarrow x=1$. $x<1$ 에서 $f'<0$(감소), $x>1$ 에서 $f'>0$(증가) → 극소 $f(1)=1-4=-3$.
$f''(x)=12x^2\ge0$ → 전 구간 아래로 볼록(concave up). $x=0$ 에서 $f''=0$ 이지만 부호가 안 바뀌므로 변곡점 없음.
$x$절편 $0,\ \sqrt[3]4$ · 극소 $(1,-3)$ · 변곡점 없음 · 양끝 $x\to\pm\infty$ 에서 $y\to+\infty$ 인 U자형 4차곡선.
정의역 $\mathbb R$, 대칭·점근선 없음(4차 다항식). $x$절편 $x=0$, $x=4$(3중근). $y$절편 $0$.
$f'(x)=(x-4)^3+3x(x-4)^2=(x-4)^2[(x-4)+3x]=4(x-4)^2(x-1)=0\Rightarrow x=1,\ 4$. $(x-4)^2\ge0$ 이므로 부호는 $(x-1)$ 이 결정: $x<1$ 감소, $x>1$ 증가 → 극소 $f(1)=1\cdot(-3)^3=-27$. $x=4$ 는 $f'$ 부호 안 바뀜(극값 아님).
$f''(x)=12(x-4)(x-2)=0\Rightarrow x=2,\ 4$. $x<2$ 위로볼록·$2<x<4$ 아래로볼록·$x>4$ 위로볼록 → 변곡점 $x=2,\ x=4$.
극소 $(1,-27)$ · $x$절편 $0,\ 4$ · 변곡점 $(2,\,2\cdot(-2)^3{=}{-}16)$ 와 $(4,0)$($x=4$ 에서 곡선이 $x$축에 접하며 변곡).
정의역 $\mathbb R$. $x$절편 $x=1$, $y$절편 $f(0)=1$.
$x\to-\infty$: $\displaystyle\lim(1-x)e^x=\lim\dfrac{1-x}{e^{-x}}\overset{\text{l'H}}{=}\lim\dfrac{-1}{-e^{-x}}=\lim e^{x}=0$ → 수평점근선 $y=0$(좌측). $x\to+\infty$: $\to-\infty$.
$f'(x)=-e^x+(1-x)e^x=-xe^x=0\Rightarrow x=0$. $x<0$ 증가, $x>0$ 감소 → 극대 $f(0)=1$.
$f''(x)=-e^x-xe^x=-(1+x)e^x=0\Rightarrow x=-1$. $x<-1$ 아래로볼록·$x>-1$ 위로볼록 → 변곡점 $(-1,\,2e^{-1})$.
좌측 $y=0$ 점근 → 변곡점 $(-1,2/e)$ → 극대 $(0,1)$ → 우측 급감해 $-\infty$.
정의역 $\mathbb R$, $y$절편 $f(0)=\tfrac12$. 점 $(0,\tfrac12)$ 에 대해 대칭(분자=분모 아니므로 $x$절편 없음, $y>0$).
$x\to-\infty$: $e^{-x}\to\infty\Rightarrow y\to0$. $x\to+\infty$: $e^{-x}\to0\Rightarrow y\to1$. → 수평점근선 $y=0,\ y=1$.
$f'(x)=\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}>0$ → 항상 증가, 극값 없음. $f''$ 는 $x=0$ 에서 부호 바뀜 → 변곡점 $(0,\tfrac12)$, $x<0$ 아래로볼록·$x>0$ 위로볼록.
$y=0$ 에서 $y=1$ 사이를 단조증가하는 S자(시그모이드) 곡선, 변곡점 $(0,\tfrac12)$.
정의역 $x\ne0$. $x\to0^+$: $-1/x\to-\infty,\ e^{-1/x}\to0\Rightarrow y\to0$. $x\to0^-$: $e^{-1/x}\to\infty\Rightarrow y\to-\infty$.
$x\to\pm\infty$ 에서 $e^{-1/x}=1-\dfrac1x+\dfrac{1}{2x^2}-\cdots$ 이므로 $y=x\!\left(1-\tfrac1x+\cdots\right)=x-1+\dfrac{1}{2x}-\cdots$ → 사선 점근선 $y=x-1$.
$f'(x)=e^{-1/x}+x\cdot e^{-1/x}\cdot\dfrac{1}{x^2}=e^{-1/x}\!\left(1+\dfrac1x\right)=0\Rightarrow x=-1$. 극값(극대) $f(-1)=-e$.
사선 점근선 $y=x-1$ 에 점근, $x>0$ 가지는 원점에서 출발해 점근선 위로 상승, $x<0$ 가지는 극대 $(-1,-e)$ 를 거쳐 $x\to0^-$ 에서 $-\infty$.
정의역 $x>0$. $x$절편 $x=1$($\ln1=0$). $x\to0^+$: $\dfrac{-\infty}{0^+}\to-\infty$ → 수직점근선 $x=0$. $x\to\infty$: $\dfrac{\ln x}{x^2}\to0$(로피탈) → 수평점근선 $y=0$.
$f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=0\Rightarrow \ln x=\tfrac12\Rightarrow x=\sqrt e$. 극대 $f(\sqrt e)=\dfrac{1/2}{e}=\dfrac{1}{2e}$.
$f''(x)=\dfrac{6\ln x-5}{x^4}=0\Rightarrow x=e^{5/6}$ → 변곡점($x<e^{5/6}$ 위로볼록, 이후 아래로볼록).
$x=0$ 에서 $-\infty$ → 극대 $\big(\sqrt e,\tfrac1{2e}\big)$ → 변곡점 $x=e^{5/6}$ → $y=0$ 으로 점근.
$p=\tfrac12\Rightarrow1+ae^{-kt}=2\Rightarrow ae^{-kt}=1\Rightarrow e^{-kt}=\tfrac1a\Rightarrow t=\dfrac{\ln a}{k}$.
속도 $p'(t)$ 는 변곡점에서 최대. 로지스틱은 $p=\tfrac12$ 인 지점이 변곡점이므로 (a)와 같은 $t=\dfrac{\ln a}{k}$ 에서 가장 빠름.
$t\to-\infty$ 면 $p\to0$, $t\to\infty$ 면 $p\to1$. $t=0$ 에서 $p=\dfrac{1}{1+a}$ 출발 → 변곡점 $\big(\tfrac{\ln a}{k},\tfrac12\big)$ 를 지나 $1$ 로 포화하는 S자 곡선.
(a)(b) $t=\dfrac{\ln a}{k}$ · (c) 상한 $p=1$ 의 로지스틱 S자.
$C(0)=K(1-1)=0$. $t\to\infty$: 두 지수 모두 $\to0\Rightarrow C\to0$ → 수평점근선 $C=0$.
$C'(t)=K(-ae^{-at}+be^{-bt})=0\Rightarrow be^{-bt}=ae^{-at}\Rightarrow \dfrac ba=e^{(b-a)t}\Rightarrow t^*=\dfrac{\ln(b/a)}{b-a}$.
$b>a$ 이므로 $e^{-bt}$ 가 빨리 줄어 초반엔 $C$ 가 급상승, $t^*$ 에서 최고 농도 후 $e^{-at}$ 항만 남아 0으로 서서히 감소(흡수→배출).
$0$ 에서 출발, $t^*=\dfrac{\ln(b/a)}{b-a}$ 에서 최댓값, 이후 $C=0$ 으로 감소하는 단봉(skewed) 곡선.
$x\to0^+$: $-\dfrac{k}{x^2}\to-\infty$. $x\to2^-$: $\dfrac{k}{(x-2)^2}\to+\infty$. → 수직점근선 $x=0,\ x=2$.
$F=0\Rightarrow\dfrac{k}{(x-2)^2}=\dfrac{k}{x^2}\Rightarrow(x-2)^2=x^2\Rightarrow x=1$. → 중앙 $x=1$ 에서 합력 $0$.
$x<1$ 이면 $F<0$(왼쪽 전하로 끌림), $x>1$ 이면 $F>0$(오른쪽으로 끌림). 중앙은 평형이지만 불안정 평형 — 조금 치우치면 가까운 전하 쪽으로 더 세게 당겨짐.
$x=0$ 에서 $-\infty$, $x=1$ 에서 $0$ 통과, $x=2$ 에서 $+\infty$ 로 단조증가하는 곡선(양끝 수직점근선).
미적분과 기술(CAS·계산기)을 결합한 그래프 — 주의: 부교재 §4.6 의 실제 제목은 "Graphing with Calculus and Technology"(뉴턴 방법 아님, 본 단원에 뉴턴 방법 없음). 마킹: 연습문제 동그라미 4문항 — 11·12 ($x^2\ln x$·$xe^{1/x}$, 로피탈+극값 유형) · 22 ($3/(3+2\sin x)$, CAS 특징분석) · 35 ($cx+\sin x$, 매개변수 $c$ 변화 관찰)
계산기/CAS 의 자동 그래프는 보기창(viewing window) 선택에 따라 중요한 특징(극값·변곡·점근선)을 놓치거나 왜곡할 수 있다. 따라서 ① $f$ 의 그래프로 전체 모양을 보고 ② $f'$ 의 그래프(또는 미분)로 증감·극값, $f''$ 로 오목·변곡을 정확히 파악한 뒤 ③ 로피탈 정리 등으로 정확한 값을 구해 그래프를 보정한다. (기술로 추정 → 미적분으로 확정.)
$\ln x$ 때문에 $x>0$.
$\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^2\ln x=\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x^{-2}}\overset{\text{l'H}}{=}\lim_{x\to0^+}\dfrac{1/x}{-2x^{-3}}=\lim_{x\to0^+}\!\left(-\dfrac{x^2}{2}\right)=0$. → 원점에 한없이 가까워짐($f\to0$).
$f'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)=0\Rightarrow\ln x=-\tfrac12\Rightarrow x=e^{-1/2}$. 최솟값 $f(e^{-1/2})=e^{-1}\cdot(-\tfrac12)=-\dfrac{1}{2e}\approx-0.184$.
$f''(x)=2\ln x+3=0\Rightarrow x=e^{-3/2}$. $x<e^{-3/2}$ 위로볼록, $x>e^{-3/2}$ 아래로볼록 → 변곡점 $x=e^{-3/2}$.
최솟값 $-\dfrac{1}{2e}$ (at $x=e^{-1/2}$) · 변곡점 $x=e^{-3/2}$ 이후 아래로볼록. 원점에서 $0$ 으로 접근하는 곡선.
$x\ne0$.
$x\to0^+$: $t=\tfrac1x\to+\infty$ 로 두면 $xe^{1/x}=\dfrac{e^{t}}{t}\overset{\text{l'H}}{\to}\dfrac{e^t}{1}\to+\infty$. $x\to0^-$: $t\to-\infty$ 면 $\dfrac{e^t}{t}\to0$. → 우극한 $+\infty$, 좌극한 $0$.
$f'(x)=e^{1/x}+xe^{1/x}\!\left(-\tfrac1{x^2}\right)=e^{1/x}\!\left(1-\tfrac1x\right)=0\Rightarrow x=1$. $x>0$ 영역 극소 $f(1)=e$.
$f''(x)=\dfrac{e^{1/x}}{x^3}$ → $x>0$ 위로볼록, $x<0$ 아래로볼록(변곡 없음). $x\to\pm\infty$: $e^{1/x}\approx1+\tfrac1x\Rightarrow y\approx x+1$ → 사선 점근선 $y=x+1$.
극소 $(1,e)$ · 사선 점근선 $y=x+1$ · $x\to0^+$ 에서 $+\infty$, $x\to0^-$ 에서 $0$.
분모 $3+2\sin x\in[1,5]$ (항상 $>0$) → 정의역 $\mathbb R$, 주기 $2\pi$. 치역 $\big[\tfrac35,\,3\big]$.
$f'(x)=\dfrac{-6\cos x}{(3+2\sin x)^2}=0\Rightarrow\cos x=0\Rightarrow x=\tfrac\pi2+n\pi$. $x=\tfrac\pi2$($\sin=1$): 극소 $\tfrac35$. $x=\tfrac{3\pi}2$($\sin=-1$): 극대 $3$. 증가 구간 $\big(\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\big)$, 감소 $\big(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\big)$.
$f''$ 의 부호는 극대·극소 사이에서 바뀌며, $f''=0$ 인 지점(CAS로 한 주기당 2곳)에 변곡점이 존재.
주기 $2\pi$ 의 진동: 극소 $\tfrac35$(at $\tfrac\pi2{+}2n\pi$), 극대 $3$(at $\tfrac{3\pi}2{+}2n\pi$), 사이마다 변곡점.
$f'(x)=c+\cos x$. ($\cos x\in[-1,1]$ 이 핵심.)
$f'$ 부호 일정 → 극값 없이 단조($c>1$ 증가, $c<-1$ 감소). 직선 $y=cx$ 둘레로 진동하며 전체적으로 단조.
$c+\cos x=0$ 의 해가 무수히 많음 → 무한히 많은 극대·극소(물결 모양). $c=0$ 이면 $f=\sin x$.
$f''(x)=-\sin x$ → 변곡점 $x=n\pi$ ($c$ 와 무관). 전이값(transitional) $c=\pm1$ 에서 극값이 생기거나 사라짐($|c|=1$ 은 수평변곡, 극값 없음).
$|c|>1$: 단조 / $|c|<1$: 무한 극값(물결) / $c=\pm1$: 전이값. 변곡점은 항상 $x=n\pi$.