2024 HAFS 미적분학 I — 1학기 기말고사 완전 분석Updated 2026-06-14

시행일: 2024.07.08  |  2학년 (국제과정)  |  22문항 선택형 100점  |  Stewart Calculus Metric 9
먼저 풀이 → 정답 보기 펼치기

시험 형식 요약

항목내용
과목명미적분학 I (Calculus I)
시행일2024.07.08 (2차 지필 / 기말)
문항 수선택형 22문항 (논술형 0)
총점100점
배점4.2 ~ 5.1 점진 증가
출제 언어전체 영어
교재 / 범위Stewart Calculus Metric 9 · 도함수의 응용 (§3.3~3.11)

유형별 분포

유형 (Stewart 섹션)문항개수배점 합
삼각함수의 도함수 (§3.3)1, 2, 5, 6417.0
연쇄법칙 · 지수함수 미분 (§3.4)3, 4, 7312.9
로그 · 역삼각 미분 · 로그미분법 (§3.6)8, 9, 10, 11417.8
접선 · 음함수 미분 · 직교 곡선 (§3.5)12, 13, 14, 15, 16522.9
관련변화율 (§3.9)17, 2029.6
지수 성장 · 감소 (§3.8)18, 1929.6
선형근사 (§3.10)2115.0
쌍곡선함수 (§3.11)2215.1

정답표

번호배점유형정답
14.2삼각함수 미분⑤ 2cos(2x)
24.2삼각함수 미분① 2
34.2연쇄법칙③ 2e^(2x)
44.3연쇄법칙② 2x cos(x²)
54.3삼각함수 미분③ 1
64.3곱법칙⑤ π
74.4지수함수 미분④ 2 ln 2
84.4로그함수 미분① 1
94.4역삼각함수 미분④ 2/5
104.5로그함수 미분③ 1/(e ln(2e))
114.5로그미분법① 4(1+ln2)
124.5접선 (수평)⑤ 5
134.6음함수 미분① 2^(1/3)
144.6음함수 이계도함수② 3y/(4x²)
154.6음함수 접선④ 25/4
164.7직교 곡선족② Ⓐ and Ⓑ only
174.7관련변화율④ 16π
184.8지수 감소② 30·(ln5/ln2)
194.8지수 성장② ln2/0.1
204.9관련변화율⑤ 3/√2
215.0선형근사③ 1.2
225.1쌍곡선함수⑤ 20/7

22문항 전체 분석

Q1. 삼각함수 미분 4.2점
\(f(x)=\sin(2x)\) 일 때 \(f'(x)\) 를 구하시오.
풀이
연쇄법칙: \(f'(x)=\cos(2x)\cdot(2x)'=\cos(2x)\cdot2=2\cos(2x)\).
정답: ⑤ \(2\cos(2x)\)
Q2. 삼각함수 미분 4.2점
\(f(x)=\tan x\) 일 때 \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) 를 구하시오.
풀이
도함수: \(f'(x)=\sec^2 x\).
대입: \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sec^2\dfrac{\pi}{4}=\left(\dfrac{1}{\cos(\pi/4)}\right)^2=(\sqrt2)^2=2\).
정답: ① \(2\)
Q3. 연쇄법칙 4.2점
\(f(x)=e^{2x}\) 일 때 \(f'(x)\) 를 구하시오.
풀이
연쇄법칙: \(f'(x)=e^{2x}\cdot(2x)'=e^{2x}\cdot2=2e^{2x}\).
정답: ③ \(2e^{2x}\)
Q4. 연쇄법칙 4.3점
\(f(x)=\sin(x^2)\) 일 때 \(f'(x)\) 를 구하시오.
풀이
연쇄법칙: \(f'(x)=\cos(x^2)\cdot(x^2)'=\cos(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2)\).
정답: ② \(2x\cos(x^2)\)
Q5. 삼각함수 미분 4.3점
\(f(x)=x+\sin(2x)\) 일 때 \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) 를 구하시오.
풀이
도함수: \(f'(x)=1+\cos(2x)\cdot2=1+2\cos(2x)\).
대입: \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1+2\cos\dfrac{\pi}{2}=1+2\cdot0=1\).
정답: ③ \(1\)
Q6. 곱법칙 4.3점
\(f(x)=e^{x}\sin(\pi x)\) 일 때 \(f'(0)\) 을 구하시오.
풀이
곱법칙: \(f'(x)=e^{x}\sin(\pi x)+e^{x}\cdot\pi\cos(\pi x)\).
대입: \(f'(0)=e^{0}\sin0+e^{0}\cdot\pi\cos0=0+\pi\cdot1=\pi\).
정답: ⑤ \(\pi\)
Q7. 지수함수 미분 4.4점
\(f(x)=2^{x}\) 일 때 \(f'(1)\) 을 구하시오.
풀이
지수함수 미분공식: \(\dfrac{d}{dx}b^{x}=b^{x}\ln b\) 이므로 \(f'(x)=2^{x}\ln 2\).
대입: \(f'(1)=2^{1}\ln 2=2\ln 2\).
정답: ④ \(2\ln 2\)
Q8. 로그함수 미분 4.4점
\(f(x)=\ln(2x)\) 일 때 \(f'(1)\) 을 구하시오.
풀이
로그 성질: \(\ln(2x)=\ln2+\ln x \Rightarrow f'(x)=\dfrac1x\) (또는 연쇄법칙 \(\dfrac{1}{2x}\cdot2=\dfrac1x\)).
대입: \(f'(1)=\dfrac11=1\).
정답: ① \(1\)
Q9. 역삼각함수 미분 4.4점
\(f(x)=\arctan(2x)\) 일 때 \(f'(1)\) 을 구하시오.
풀이
역삼각함수 미분: \(\dfrac{d}{dx}\arctan u=\dfrac{u'}{1+u^{2}}\), \(u=2x\) → \(f'(x)=\dfrac{2}{1+(2x)^{2}}=\dfrac{2}{1+4x^{2}}\).
대입: \(f'(1)=\dfrac{2}{1+4}=\dfrac{2}{5}\).
정답: ④ \(\dfrac25\)
Q10. 로그함수 미분 4.5점
\(f(x)=\ln(\ln(2x))\) 일 때 \(f'(e)\) 를 구하시오.
풀이
연쇄법칙: \(f'(x)=\dfrac{1}{\ln(2x)}\cdot\dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{1}{\ln(2x)}\cdot\dfrac1x=\dfrac{1}{x\ln(2x)}\).
대입: \(f'(e)=\dfrac{1}{e\ln(2e)}\).
정답: ③ \(\dfrac{1}{e\ln(2e)}\)
Q11. 로그미분법 4.5점
\(f(x)=x^{x}\) 일 때 \(f'(2)\) 를 구하시오.
풀이
로그미분법: \(\ln f=x\ln x \Rightarrow \dfrac{f'}{f}=\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1\).
정리 후 대입: \(f'(x)=x^{x}(\ln x+1)\), \(f'(2)=2^{2}(\ln 2+1)=4(1+\ln2)\).
정답: ① \(4(1+\ln2)\)
Q12. 접선 (수평) 4.5점
곡선 \(y=xe^{-0.2x}\) 위에서 접선이 수평이 되는 점의 \(x\)좌표를 구하시오.
풀이
곱법칙으로 미분: \(y'=e^{-0.2x}+x\cdot(-0.2)e^{-0.2x}=e^{-0.2x}(1-0.2x)\).
수평접선 조건 \(y'=0\): \(e^{-0.2x}>0\) 이므로 \(1-0.2x=0 \Rightarrow x=5\).
정답: ⑤ \(5\)
Q13. 음함수 미분 4.6점
제1사분면에서 곡선 \(x^{3}+y^{3}=3xy\) (데카르트의 엽선) 위 접선이 수평인 점의 \(x\)좌표를 구하시오.
풀이
음함수 미분: \(3x^{2}+3y^{2}y'=3y+3xy' \Rightarrow y'=\dfrac{y-x^{2}}{y^{2}-x}\).
수평접선 \(y'=0\): 분자 \(=0\) → \(y=x^{2}\).
곡선식 대입: \(x^{3}+(x^{2})^{3}=3x\cdot x^{2} \Rightarrow x^{3}+x^{6}=3x^{3} \Rightarrow x^{6}=2x^{3} \Rightarrow x^{3}=2\).
제1사분면 해 \(x=2^{1/3}\) (이때 \(y=x^{2}=2^{2/3}\)).
정답: ① \(2^{1/3}\)
Q14. 음함수 이계도함수 4.6점
\(xy^{2}=1\) 일 때 \(y''\) 을 구하시오.
풀이
1계 미분: \(y^{2}+x\cdot2yy'=0 \Rightarrow y'=-\dfrac{y^{2}}{2xy}=-\dfrac{y}{2x}\).
2계 미분 (몫의 미분): \(y''=-\dfrac{y'(2x)-y(2)}{(2x)^{2}}=-\dfrac{2xy'-2y}{4x^{2}}\).
\(2xy'=-y\) 대입: \(2xy'-2y=-y-2y=-3y \Rightarrow y''=-\dfrac{-3y}{4x^{2}}=\dfrac{3y}{4x^{2}}\).
정답: ② \(\dfrac{3y}{4x^{2}}\)
Q15. 음함수 접선 4.6점
타원 \(\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{9}=1\) 위의 점 \(\left(4,\dfrac{9}{5}\right)\) 에서의 접선의 \(x\)절편의 \(x\)좌표를 구하시오.
풀이
음함수 미분: \(\dfrac{2x}{25}+\dfrac{2y}{9}y'=0 \Rightarrow y'=-\dfrac{9x}{25y}\).
접점에서 기울기: \(y'\big|_{(4,\,9/5)}=-\dfrac{9\cdot4}{25\cdot\frac95}=-\dfrac{36}{45}=-\dfrac45\).
접선의 \(x\)절편 (\(y=0\)): \(y-\dfrac95=-\dfrac45(x-4)\) 에서 \(y=0\): \(-\dfrac95=-\dfrac45(x-4) \Rightarrow 9=4(x-4) \Rightarrow 4x=25 \Rightarrow x=\dfrac{25}{4}\).
정답: ④ \(\dfrac{25}{4}\)
Q16. 직교 곡선족 4.7점
아래 상자에서 서로 직교(orthogonal)하는 곡선 쌍을 모두 고르시오.
Ⓐ \(x^{2}+y^{2}=1\) 과 \(x+y=0\)
Ⓑ \(x^{2}+y^{2}=x\) 과 \(x^{2}+y^{2}=2y\)
Ⓒ \(y=x^{2}\) 과 \(2x^{2}+y^{2}=1\)
풀이
Ⓐ 직선 \(y=-x\) 는 원 \(x^{2}+y^{2}=1\) 의 중심(원점)을 지난다. 중심을 지나는 직선은 항상 원의 반지름(법선) 방향이므로 교점에서 수직 → 직교 O.
Ⓑ 두 원의 중심 \(\left(\tfrac12,0\right),(0,1)\), 반지름 \(\tfrac12, 1\). 중심거리\(^{2}=\tfrac14+1=\tfrac54=r_1^{2}+r_2^{2}\) → 직교 조건 충족 → 직교 O.
Ⓒ 교점에서 \(y=x^{2}\). 기울기 곱 \(=(2x)\!\left(-\dfrac{2x}{y}\right)=-\dfrac{4x^{2}}{y}=-\dfrac{4y}{y}=-4\ne-1\) → 직교 X.
→ 직교하는 쌍은 Ⓐ, Ⓑ → 정답 ②
정답: ② Ⓐ and Ⓑ only
Q17. 관련변화율 4.7점
잔잔한 호수에 돌을 떨어뜨려 생긴 원형 물결이 매초 \(2\) m 의 속력으로 바깥으로 퍼진다. \(2\)초 후 원 내부 넓이의 변화율(제곱미터/초)을 구하시오.
풀이
주어진 값: \(\dfrac{dr}{dt}=2\) m/s, \(2\)초 후 \(r=2\cdot2=4\) m.
넓이 변화율: \(A=\pi r^{2} \Rightarrow \dfrac{dA}{dt}=2\pi r\dfrac{dr}{dt}=2\pi(4)(2)=16\pi\).
정답: ④ \(16\pi\) (m²/s)
Q18. 지수 감소 4.8점
세슘-137의 반감기는 \(30\)년이다. \(10\) g 의 세슘-137 시료가 \(2\) g 이 되는 데 걸리는 시간(년)을 구하시오.
풀이
반감기 모형: \(m(t)=10\left(\dfrac12\right)^{t/30}\), 목표 \(m(t)=2\).
방정식 풀이: \(\dfrac{1}{5}=\left(\dfrac12\right)^{t/30} \Rightarrow \ln\dfrac15=\dfrac{t}{30}\ln\dfrac12 \Rightarrow \dfrac{t}{30}=\dfrac{-\ln5}{-\ln2}=\dfrac{\ln5}{\ln2}\).
따라서 \(t=30\cdot\dfrac{\ln5}{\ln2}\).
정답: ② \(30\times\dfrac{\ln5}{\ln2}\) (년)
Q19. 지수 성장 4.8점
연이율 \(10\%\) 로 연속복리(continuously compounded)일 때 투자금이 두 배가 되는 데 걸리는 시간(년)을 구하시오.
풀이
연속복리 모형: \(A(t)=A_0e^{0.1t}\), 두 배 조건 \(A(t)=2A_0\).
방정식 풀이: \(2=e^{0.1t} \Rightarrow \ln2=0.1t \Rightarrow t=\dfrac{\ln2}{0.1}\).
정답: ② \(\dfrac{\ln2}{0.1}\) (년)
Q20. 관련변화율 4.9점
입자가 곡선 \(y=x^{2}\) 을 따라 움직인다. 점 \((1,1)\) 을 지날 때 \(x\)좌표가 \(1\) cm/s 의 비율로 증가한다. 이 순간 입자에서 원점까지의 거리는 얼마나 빠르게(cm/s) 변하는가?
풀이
거리 설정: \(D^{2}=x^{2}+y^{2}\). 양변 미분: \(2D\dfrac{dD}{dt}=2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}\).
\(dy/dt\) 구하기: \(y=x^{2} \Rightarrow \dfrac{dy}{dt}=2x\dfrac{dx}{dt}=2(1)(1)=2\).
대입 (\(x=y=1\), \(D=\sqrt2\)): \(2\sqrt2\dfrac{dD}{dt}=2(1)(1)+2(1)(2)=6 \Rightarrow \dfrac{dD}{dt}=\dfrac{6}{2\sqrt2}=\dfrac{3}{\sqrt2}\).
정답: ⑤ \(\dfrac{3}{\sqrt2}\) (cm/s)
Q21. 선형근사 5.0점
함수 \(f(x)=e^{x}\) 의 \(x=0\) 에서의 선형근사를 이용하여 \(e^{0.2}\) 의 근삿값을 구하시오.
풀이
선형근사식: \(L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=1+1\cdot x=1+x\) (\(f'(x)=e^{x}\), \(f'(0)=1\)).
대입: \(e^{0.2}\approx L(0.2)=1+0.2=1.2\).
정답: ③ \(1.2\)
Q22. 쌍곡선함수 5.1점
\(x=\ln 2\) 일 때 \(\dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arctanh}(\sinh x)\big)\) 를 구하시오.
풀이
도함수 공식: \(\dfrac{d}{dx}\operatorname{arctanh}(u)=\dfrac{u'}{1-u^{2}}\), \(u=\sinh x\), \(u'=\cosh x\) → \(\dfrac{\cosh x}{1-\sinh^{2}x}\).
\(x=\ln2\) 에서 값: \(\sinh(\ln2)=\dfrac{2-\frac12}{2}=\dfrac34\), \(\cosh(\ln2)=\dfrac{2+\frac12}{2}=\dfrac54\).
대입: \(\dfrac{5/4}{1-(3/4)^{2}}=\dfrac{5/4}{1-9/16}=\dfrac{5/4}{7/16}=\dfrac54\cdot\dfrac{16}{7}=\dfrac{20}{7}\).
정답: ⑤ \(\dfrac{20}{7}\)

출제 패턴 핵심 요약