2025 HAFS 미적분학Ⅰ — 1학기 기말고사 완전 분석Updated 2026-06-14

정의 대입: \(e^{\ln(4/3)}=\dfrac43,\;\; e^{-\ln(4/3)}=\dfrac34\)
계산: \(\sinh\!\left(\ln\tfrac43\right)=\dfrac{\frac43-\frac34}{2}=\dfrac{\frac{16-9}{12}}{2}=\dfrac{7/12}{2}=\dfrac{7}{24}\)

공식: \(\operatorname{arcsinh}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\)
대입: \(x=\tfrac43\): \(\sqrt{\tfrac{16}{9}+1}=\sqrt{\tfrac{25}{9}}=\tfrac53\), 따라서 \(x+\sqrt{x^2+1}=\tfrac43+\tfrac53=3\)
정리: \(\operatorname{arcsinh}\tfrac43=\ln 3\)

tanh(ln2) 계산: \(\tanh(\ln2)=\dfrac{2-\frac12}{2+\frac12}=\dfrac{3/2}{5/2}=\dfrac35\)
도함수: \(f'(x)=\operatorname{sech}^2x=1-\tanh^2 x\)
대입: \(f'(\ln2)=1-\left(\tfrac35\right)^2=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}\)

도함수·기준값: \(f'(x)=-\dfrac{12}{x^2}\). \(f(4)=3,\;f'(4)=-\dfrac{12}{16}=-\dfrac34\)
선형근사식: \(g(x)=3-\tfrac34(x-4)\), \(\;g(5)=3-\tfrac34=\dfrac94=2.25\)
실제값·오차: \(f(5)=\dfrac{12}{5}=2.4\), \(\;|f(5)-g(5)|=|2.4-2.25|=0.15\)

속도 함수: \(v(t)=p'(t)=3t^2-12t+9\)
대입: \(v(4)=3(16)-12(4)+9=48-48+9=9\)

정지 시각: \(v(t)=3(t-1)(t-3)=0 \Rightarrow t=1,3\) (구간 \([0,4]\) 내)
각 시각의 위치: \(p(0)=0,\;p(1)=4,\;p(3)=0,\;p(4)=4\)
구간별 합: \(|4-0|+|0-4|+|4-0|=4+4+4=12\)

평균 선밀도 공식: \(\bar\rho=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
계산: \(=\dfrac{\sqrt4-\sqrt1}{3}=\dfrac{2-1}{3}=\dfrac13\)

순간 선밀도 = 도함수: \(\rho(x)=f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
대입: \(\rho(4)=\dfrac{1}{2\sqrt4}=\dfrac{1}{2\cdot 2}=\dfrac14\)

모델: \(P(t)=100\,e^{kt}\). \(P(4)=200 \Rightarrow e^{4k}=2 \Rightarrow e^{k}=2^{1/4}\)
t=6 대입: \(P(6)=100\,e^{6k}=100\cdot 2^{6/4}=100\cdot 2^{3/2}=100\cdot 2\sqrt2\)

모델: \(T(t)=5+15e^{-kt}\) (\(T_0=20,\;T_s=5\))
1시간 조건: \(T(1)=15 \Rightarrow 15e^{-k}=10 \Rightarrow e^{-k}=\tfrac23\)
10도 도달 시각: \(5+15e^{-kt}=10 \Rightarrow e^{-kt}=\tfrac13 \Rightarrow \left(\tfrac23\right)^{t}=\tfrac13\)
로그: \(t=\dfrac{\ln(1/3)}{\ln(2/3)}=\dfrac{-\ln3}{\ln2-\ln3}=\dfrac{\ln3}{\ln3-\ln2}\)

근사: \(x\to0\): 분자 \(x\ln(1+x)\sim x\cdot x=x^2\), 분모 \(1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}\)
극한: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^2}{x^2/2}=2\) (로피탈 2회로도 동일)

로그: \(L=\lim x^{2/(x-1)}\), \(\;\ln L=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{2\ln x}{x-1}\) (\(\tfrac00\))
로피탈: \(=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{2/x}{1}=2\), 따라서 \(L=e^2\)

MVT 조건: \(f'(c)=\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{2-1}{1}=1\)
도함수: \(f'(x)=2^x\ln2 \Rightarrow 2^c\ln2=1 \Rightarrow 2^c=\dfrac{1}{\ln2}\)
로그: \(c=\log_2\!\dfrac{1}{\ln2}=\dfrac{\ln(1/\ln2)}{\ln2}=-\dfrac{\ln(\ln2)}{\ln2}\approx0.529\in[0,1]\) ✓
⑤ 배제: \(\ln\tfrac12=-\ln2<0\) 이므로 \(\ln(\ln\tfrac12)\)은 정의되지 않음

1차 도함수: \(y'=e^{-2/x}\cdot\dfrac{2}{x^2}\)
2차 도함수: \(y''=e^{-2/x}\cdot\dfrac{2}{x^2}\cdot\dfrac{2}{x^2}+e^{-2/x}\cdot\left(-\dfrac{4}{x^3}\right)=\dfrac{4e^{-2/x}}{x^4}\,(1-x)\)
부호 변화: \(1-x\)가 \(x=1\)에서 부호 변화 → 변곡점 \(x=1\)

Ⓐ: \(|x|\)는 \(x=0\)에서 최솟값 0 → 극소 참
Ⓑ: \(f'(x)=3x^2,\;f'(0)=0\) → \(x=0\)은 임계점 참
Ⓒ: \(f'(x)=3-4\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\tfrac34\). \(f''=4\sin x\), \(x=\arccos\tfrac34\)에서 \(\sin x=\tfrac{\sqrt7}{4}>0 \Rightarrow f''>0\) → 극소 참

Ⓐ: \(y''=e^x>0\) (모든 \(x\)) → \([0,1]\)에서 오목 위 참
Ⓑ: \(y'=e^{-x}(1-x),\;y''=e^{-x}(x-2)\) → \(x=2\)에서 부호 변화 → 변곡점 참
Ⓒ: \(y''=2x e^{-x^2}(2x^2-3)\). \(x\in(0,1]\)에서 \(2x^2-3<0,\;2x>0 \Rightarrow y''<0\) (오목 아래) → 거짓

관계식: \(x^2+y^2=25\). \(x=3 \Rightarrow y=4\)
미분: \(2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}=0 \Rightarrow 3(1)+4\dfrac{dy}{dt}=0\)
풀이: \(\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac34\), 속도 \(=\dfrac34\) m/s

관계식: 밧줄 길이 \(L=\sqrt{x^2+9}\). \(x=4 \Rightarrow L=5\), \(\dfrac{dL}{dt}=-1\)
미분: \(\dfrac{dL}{dt}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\dfrac{dx}{dt} \Rightarrow -1=\dfrac45\dfrac{dx}{dt}\)
풀이: \(\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac54\), 속도 \(=\dfrac54\) m/s

R 값: \(\dfrac1R=\dfrac13+\dfrac16=\dfrac12 \Rightarrow R=2\)
미분: \(-\dfrac{1}{R^2}\dfrac{dR}{dt}=-\dfrac{1}{R_1^2}\dfrac{dR_1}{dt}-\dfrac{1}{R_2^2}\dfrac{dR_2}{dt}\)
대입: \(\dfrac{dR}{dt}=R^2\!\left(\dfrac{3}{9}+\dfrac{6}{36}\right)=4\left(\dfrac13+\dfrac16\right)=4\cdot\dfrac12=2\)

관계식: \(a\)=A–Q, \(b\)=B–Q 거리. \(\sqrt{a^2+400}+\sqrt{b^2+400}=77\)
순간 값: \(a=15 \Rightarrow \sqrt{225+400}=25\), 따라서 \(\sqrt{b^2+400}=52 \Rightarrow b=48\)
미분: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+400}}\dfrac{da}{dt}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+400}}\dfrac{db}{dt}=0\)
풀이: \(\dfrac{15}{25}(1)+\dfrac{48}{52}\dfrac{db}{dt}=0 \Rightarrow \dfrac{db}{dt}=-\dfrac{0.6\cdot52}{48}=-\dfrac{13}{20}\), 속도 \(=\dfrac{13}{20}\)

포물선식: \(y=ax^2\), \((100,100)\) 대입 \(\Rightarrow a=\dfrac{1}{100}\), \(y=\dfrac{x^2}{100}\)
속도 조건: \(y'=\dfrac{x}{50}\dfrac{dx}{dt}\). P에서 \(\dfrac{dy}{dt}=2\dfrac{dx}{dt}\), 속력 \(\sqrt5\left|\dfrac{dx}{dt}\right|=10 \Rightarrow \dfrac{dx}{dt}=2\sqrt5,\;\dfrac{dy}{dt}=4\sqrt5\)
거리 미분: \(L=\sqrt{x^2+y^2}=100\sqrt2\), \(\dfrac{dL}{dt}=\dfrac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{L}=\dfrac{100(2\sqrt5)+100(4\sqrt5)}{100\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt5}{\sqrt2}=3\sqrt{10}\)

거리² 함수: 점 \((x,y)\)에서 \(x^2=25\!\left(1+\dfrac{y^2}{16}\right)\). \(D^2=x^2+\left(y-\tfrac{123}{5}\right)^2=25+\dfrac{25y^2}{16}+\left(y-\tfrac{123}{5}\right)^2\)
y에 대해 최소화: \(D^2=\dfrac{41}{16}y^2-\dfrac{246}{5}y+\text{const}\) (아래로 볼록). \(\dfrac{d(D^2)}{dy}=\dfrac{41}{8}y-\dfrac{246}{5}=0\)
풀이: \(y=\dfrac{246}{5}\cdot\dfrac{8}{41}=\dfrac{48}{5}\) (이때 \(x^2=25+144=169,\;x=13>0\) ✓)