2026 HAFS 미적분학Ⅰ — 1학기 기말 예상시험지예상 · §3.6~§4.6

2학년 1학기 기말(2차 지필) 대비  |  Stewart Calculus Metric 9th  |  선택형 22문항 · 100점 · 배점 4.2~5.1점
먼저 풀이 → 정답 보기 펼치기

시험 형식 요약

2024·2025 기출의 유형·난이도·배점 패턴을 분석해 22개 문항을 새로 창작한 예상시험지입니다(기출 복제 아님). 구성은 선택형 22문항 · 100점 · 배점 4.2~5.1점으로, 모든 정답은 보기 중 하나로 깔끔히 떨어지도록 출제·검산했습니다.

항목내용
과목명미적분학Ⅰ (Calculus I)
문항 수선택형 22문항 (논술형 0)
총점100점
배점4.2 ~ 5.1 점진 증가
출제 범위§3.7~§3.11, §4.2~§4.4, §4.7 (Stewart §3.6~§4.6)
출제 언어전체 영어

유형별 분포

Stewart 섹션 (유형)해당 문항문항 수배점 합
§3.11 쌍곡선함수1, 2, 3312.6
§3.10 선형근사414.3
§3.7 변화율 (운동·선밀도)5, 6, 7, 8417.4
§3.8 지수 성장·감소9, 1028.9
§4.4 로피탈 정리11, 1229.0
§4.2 평균값정리 (MVT)1314.6
§4.3 도함수와 그래프14, 15, 16313.9
§3.9 관련 변화율17, 18, 19, 20, 21524.2
§4.7 최적화2215.1

22문항 전체 (예상문제 + 예상풀이)

Q1. 쌍곡선함수 4.2점
Find \(\cosh(\ln 5)\).
풀이
정의 대입: \(e^{\ln 5}=5,\;\; e^{-\ln 5}=\dfrac15\).
\(\cosh(\ln 5)=\dfrac{5+\frac15}{2}=\dfrac{\frac{26}{5}}{2}=\dfrac{26}{10}=\dfrac{13}{5}\).
정답: ① \(\dfrac{13}{5}\)
Q2. 쌍곡선함수 4.2점
Find \(\tanh(\ln 3)\).
풀이
정의 대입: \(e^{\ln3}=3,\;e^{-\ln3}=\dfrac13\).
\(\tanh(\ln3)=\dfrac{3-\frac13}{3+\frac13}=\dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\).
정답: ① \(\dfrac{4}{5}\)
Q3. 쌍곡선함수 4.2점
Find \(\operatorname{arcsinh}\!\left(\dfrac{3}{4}\right)\).
풀이
공식: \(\operatorname{arcsinh}x=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\).
대입 (\(x=\tfrac34\)): \(\sqrt{\tfrac{9}{16}+1}=\sqrt{\tfrac{25}{16}}=\tfrac54,\quad x+\sqrt{x^2+1}=\tfrac34+\tfrac54=2\).
정답: ④ \(\ln 2\)
Q4. 선형근사 4.3점
Use the linear approximation of \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) at \(x=8\) to estimate \(\sqrt[3]{8.6}\).
풀이
기준값·도함수: \(f(8)=2\), \(f'(x)=\dfrac13 x^{-2/3}\), \(f'(8)=\dfrac13\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\).
선형근사식: \(L(x)=2+\dfrac{1}{12}(x-8)\).
\(x=8.6\) 대입: \(L(8.6)=2+\dfrac{0.6}{12}=2+0.05=2.05\). (실제값 \(\sqrt[3]{8.6}\approx2.0489\))
정답: ② \(2.05\)
Q5. 변화율 4.3점
The position (meters) of a particle moving in a straight line is \(p(t)=t^3-9t^2+24t\), where \(t\,(t\ge0)\) is measured in seconds. Find the velocity (m/s) at \(t=3\).
풀이
속도 함수: \(v(t)=p'(t)=3t^2-18t+24=3(t-2)(t-4)\).
대입: \(v(3)=3(3-2)(3-4)=3(1)(-1)=-3\).
정답: ⑤ \(-3\) m/s
Q6. 변화율 4.3점
For the same particle \(p(t)=t^3-9t^2+24t\), find the total distance (meters) traveled during the first 5 seconds.
풀이
정지 시각: \(v(t)=3(t-2)(t-4)=0 \Rightarrow t=2,\,4\) (구간 \([0,5]\) 내).
각 시각의 위치: \(p(0)=0,\;p(2)=20,\;p(4)=16,\;p(5)=20\).
구간별 합: \(|20-0|+|16-20|+|20-16|=20+4+4=28\).
정답: ③ \(28\) m
Q7. 변화율 4.4점
The mass (kg) of a rod measured from its left end to a point \(x\) is \(f(x)=x^{3/2}\;(0\le x\le 4)\), \(x\) in meters. Find the average linear density of the part of the rod given by \(1\le x\le 4\).
풀이
평균 선밀도 공식: \(\bar\rho=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}\).
\(=\dfrac{4^{3/2}-1^{3/2}}{3}=\dfrac{8-1}{3}=\dfrac{7}{3}\).
정답: ④ \(\dfrac{7}{3}\) kg/m
Q8. 변화율 4.4점
For the same rod \(f(x)=x^{3/2}\), find the instantaneous linear density at \(x=4\).
풀이
순간 선밀도 = 도함수: \(\rho(x)=f'(x)=\dfrac32 x^{1/2}\).
대입: \(\rho(4)=\dfrac32\sqrt{4}=\dfrac32\cdot2=3\).
정답: ⑤ \(3\) kg/m
Q9. 지수 성장 4.4점
A bacteria culture has 500 cells when \(t=0\) and 1500 cells when \(t=2\) (hours). Assume the growth rate is proportional to the population size. Find the number of cells when \(t=6\).
풀이
모델: \(P(t)=500\,e^{kt}\). \(P(2)=1500 \Rightarrow e^{2k}=3\).
\(t=6\) 대입: \(P(6)=500\,e^{6k}=500\left(e^{2k}\right)^{3}=500\cdot3^{3}=500\cdot27=13500\).
정답: ③ \(13500\) cells
Q10. 지수 감소 4.5점
An object of temperature \(100^\circ\)C is placed in a room kept at \(20^\circ\)C. After 10 minutes it has cooled to \(60^\circ\)C. Using Newton's law of cooling, find the time (minutes) for it to cool to \(40^\circ\)C.
풀이
모델: \(T(t)=20+80e^{-kt}\) (\(T_0=100,\;T_s=20\)).
10분 조건: \(T(10)=60 \Rightarrow 80e^{-10k}=40 \Rightarrow e^{-10k}=\dfrac12\).
40도 도달: \(80e^{-kt}=20 \Rightarrow e^{-kt}=\dfrac14=\left(e^{-10k}\right)^{2}=e^{-20k} \Rightarrow t=20\).
정답: ④ \(20\) minutes
Q11. 로피탈 4.5점
Find \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1-2x}{x^2}\).
풀이
\(\tfrac00\) 형 → 로피탈 1회: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{2e^{2x}-2}{2x}\) (여전히 \(\tfrac00\)).
로피탈 2회: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{4e^{2x}}{2}=2\).
검산 (테일러): \(e^{2x}=1+2x+2x^2+\cdots\) → 분자 \(=2x^2+O(x^3)\), \(\dfrac{2x^2}{x^2}\to2\).
정답: ② \(2\)
Q12. 로피탈 4.5점
Find \(\displaystyle\lim_{x\to0}(1+3x)^{\frac{2}{x}}\).
풀이
로그: \(\ln L=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{2\ln(1+3x)}{x}\) (\(\tfrac00\)).
로피탈: \(\ln L=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{2\cdot\frac{3}{1+3x}}{1}=2\cdot3=6\). 따라서 \(L=e^6\).
정답: ⑤ \(e^{6}\)
Q13. 평균값정리 4.6점
Find the number \(c\) that satisfies the conclusion of the Mean Value Theorem for \(f(x)=\ln x\) on the closed interval \([1,e]\).
풀이
MVT 조건: \(f'(c)=\dfrac{f(e)-f(1)}{e-1}=\dfrac{1-0}{e-1}=\dfrac{1}{e-1}\).
도함수: \(f'(x)=\dfrac1x \Rightarrow \dfrac1c=\dfrac{1}{e-1} \Rightarrow c=e-1\).
구간 확인: \(c=e-1\approx1.718\in[1,\,e]\) ✓
정답: ① \(e-1\)
Q14. 그래프 개형 4.6점
Find the positive \(x\)-coordinate of a point of inflection of \(y=e^{-x^2}\).
풀이
1차 도함수: \(y'=-2x\,e^{-x^2}\).
2차 도함수: \(y''=e^{-x^2}(4x^2-2)\).
부호 변화: \(4x^2-2=0 \Rightarrow x^2=\dfrac12 \Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt2}\) 에서 부호 변화.
정답: ② \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)
Q15. 그래프 개형 4.6점
Choose every true statement.
Ⓐ \(f(x)=x^4\) has a local minimum at \(x=0\).
Ⓑ \(x=0\) is a critical number of \(f(x)=\sqrt[3]{x}\).
Ⓒ \(f(x)=x+2\cos x\) has a local minimum at \(x=\dfrac{\pi}{6}\).
풀이
Ⓐ \(f'(x)=4x^3\) 가 \(x=0\)에서 음→양 → 극소. 참.
Ⓑ \(f'(x)=\dfrac13 x^{-2/3}\) 는 \(x=0\)에서 정의되지 않음 → 임계점. 참.
Ⓒ \(f'(x)=1-2\sin x=0 \Rightarrow x=\tfrac{\pi}{6}\). \(f''(\tfrac\pi6)=-\sqrt3<0\) → 극대. 따라서 "극소" 명제는 거짓.
정답: ④ Ⓐ and Ⓑ only
Q16. 그래프 개형 4.7점
Choose every true statement.
Ⓐ The graph of \(y=\ln x\) is concave downward on \((0,\infty)\).
Ⓑ The graph of \(y=x^4\) has an inflection point at \(x=0\).
Ⓒ The graph of \(y=xe^{x}\) is concave upward on the interval \([-1,\infty)\).
풀이
Ⓐ \(y''=-\dfrac{1}{x^2}<0\) (모든 \(x>0\)) → 오목 아래. 참.
Ⓑ \(y''=12x^2\ge0\) 이고 \(x=0\) 좌우에서 부호가 바뀌지 않음 → 변곡점 아님. 거짓.
Ⓒ \(y''=e^x(2+x)\). \(x\ge-1\) 이면 \(2+x\ge1>0\) → 오목 위. 참.
정답: ③ Ⓐ and Ⓒ only
Q17. 관련 변화율 4.7점
A ladder \(13\,\mathrm m\) long rests against a vertical wall. The bottom of the ladder slides away horizontally from the wall at \(2\,\mathrm{m/s}\). Find the speed (m/s) at which the top slides down when the bottom is \(5\,\mathrm m\) from the wall. (Speed is the absolute value of velocity.)
풀이
관계식: \(x^2+y^2=169\). \(x=5 \Rightarrow y=12\).
미분: \(2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}=0 \Rightarrow 5(2)+12\dfrac{dy}{dt}=0\).
풀이: \(\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{10}{12}=-\dfrac56\), 속도 \(=\dfrac56\) m/s.
정답: ① \(\dfrac{5}{6}\)
Q18. 관련 변화율 4.8점
Air is pumped into a spherical balloon at a rate of \(100\,\mathrm{cm^3/s}\). Find the rate (cm/s) at which the radius increases when the radius is \(5\,\mathrm{cm}\). \(\left(V=\dfrac43\pi r^3\right)\)
풀이
미분: \(\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}\).
대입 (\(r=5\)): \(100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}=100\pi\dfrac{dr}{dt}\).
풀이: \(\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\) cm/s.
정답: ⑤ \(\dfrac{1}{\pi}\)
Q19. 관련 변화율 4.8점
A person \(2\,\mathrm m\) tall walks away from a \(6\,\mathrm m\) tall lamppost at \(1.5\,\mathrm{m/s}\). Find the rate (m/s) at which the tip of the person's shadow moves along the ground.
풀이
닮음: \(x\)=사람과 가로등 거리, \(s\)=그림자 길이. \(\dfrac{6}{x+s}=\dfrac{2}{s} \Rightarrow s=\dfrac{x}{2}\).
그림자 끝 위치: \(\text{tip}=x+s=\dfrac{3x}{2}\).
미분·대입: \(\dfrac{d(\text{tip})}{dt}=\dfrac32\dfrac{dx}{dt}=\dfrac32\cdot1.5=\dfrac94\) m/s.
정답: ③ \(\dfrac{9}{4}\)
Q20. 관련 변화율 4.9점
Water drains from an inverted cone-shaped tank (height \(6\,\mathrm m\), top radius \(3\,\mathrm m\)) at \(2\,\mathrm{m^3/min}\). Find the rate (m/min) at which the water level drops when the depth is \(4\,\mathrm m\).
풀이
닮음 → 부피를 \(h\)로: 깊이 \(h\)에서 반지름 \(r=\dfrac{h}{2}\). \(V=\dfrac13\pi r^2 h=\dfrac{\pi h^3}{12}\).
미분: \(\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{\pi h^2}{4}\dfrac{dh}{dt}\).
대입 (\(h=4\), 배수이므로 \(\frac{dV}{dt}=-2\)): \(-2=4\pi\dfrac{dh}{dt} \Rightarrow \dfrac{dh}{dt}=-\dfrac{1}{2\pi}\), 하강 속도 \(=\dfrac{1}{2\pi}\).
정답: ⑤ \(\dfrac{1}{2\pi}\)
Q21. 관련 변화율 5.0점
A balloon rises vertically at \(2\,\mathrm{m/s}\). An observer stands \(50\,\mathrm m\) from the launch point. Find the rate (rad/s) of change of the angle of elevation from the observer to the balloon when the balloon is \(50\,\mathrm m\) high.
풀이
관계식: \(\tan\theta=\dfrac{h}{50}\).
미분: \(\sec^2\theta\,\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{50}\dfrac{dh}{dt}\).
대입 (\(h=50 \Rightarrow \tan\theta=1,\;\theta=\tfrac\pi4,\;\sec^2\theta=2\)): \(2\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{50}(2)=\dfrac{1}{25} \Rightarrow \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{1}{50}\) rad/s.
정답: ② \(\dfrac{1}{50}\)
Q22. 최적화 5.1점
A rectangle has its base on the \(x\)-axis and its two upper vertices on the parabola \(y=12-x^2\). Find the largest possible area of such a rectangle.
풀이
넓이 함수: 윗변 두 꼭짓점 \((\pm x,\,12-x^2)\), 가로 \(2x\), 세로 \(12-x^2\). \(A(x)=2x(12-x^2)=24x-2x^3\) (\(0<x<\sqrt{12}\)).
임계점: \(A'(x)=24-6x^2=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2\). \(A''(x)=-12x<0\) → 최대.
최대 넓이: \(A(2)=2(2)\left(12-4\right)=4\cdot8=32\).
정답: ④ \(32\)

정답표

번호배점유형정답
14.2쌍곡선함수① 13/5
24.2쌍곡선함수① 4/5
34.2쌍곡선함수④ ln2
44.3선형근사② 2.05
54.3변화율⑤ −3
64.3변화율③ 28
74.4변화율④ 7/3
84.4변화율⑤ 3
94.4지수 성장③ 13500
104.5지수 감소④ 20
114.5로피탈② 2
124.5로피탈⑤ e⁶
134.6평균값정리① e−1
144.6그래프 개형② 1/√2
154.6그래프 개형④ Ⓐ and Ⓑ
164.7그래프 개형③ Ⓐ and Ⓒ
174.7관련 변화율① 5/6
184.8관련 변화율⑤ 1/π
194.8관련 변화율③ 9/4
204.9관련 변화율⑤ 1/(2π)
215.0관련 변화율② 1/50
225.1최적화④ 32

출제 패턴 핵심 요약