Stewart Early Transcendentals 9/E · §3.6 ~ §4.6 · 2학년 1학기 기말 대비
자연로그·일반로그의 도함수
$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} \quad (x>0), \qquad \frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} \quad (x \ne 0)$$
$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}, \qquad \frac{d}{dx}b^{x} = b^{x}\ln b$$
연쇄법칙 결합: $\dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}$ (logarithmic derivative).
핵심은 $\ln$ 의 미분이 $\dfrac1x$ 라는 점, 그리고 일반 밑 $b$ 가 들어오면 항상 $\ln b$ 인자가 따라붙는다는 것이다. $u=u(x)$ 합성이면 분자에 $u'$ 가 올라간다.
역삼각함수 6종 도함수
$$\frac{d}{dx}\sin^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\cos^{-1}x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2}, \qquad \frac{d}{dx}\cot^{-1}x = -\frac{1}{1+x^2}$$
$$\frac{d}{dx}\sec^{-1}x = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}, \qquad \frac{d}{dx}\csc^{-1}x = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$$
외우는 요령 — "co-가 붙은 짝(cos⁻¹, cot⁻¹, csc⁻¹)은 부호만 음수." sin⁻¹과 cos⁻¹은 분모가 $\sqrt{1-x^2}$, tan⁻¹과 cot⁻¹은 $1+x^2$, sec⁻¹과 csc⁻¹은 $x\sqrt{x^2-1}$ 으로 쌍을 이룬다.
곱·몫·거듭제곱이 복잡하게 얽힌 함수, 특히 $y = f(x)^{g(x)}$ 처럼 밑과 지수가 모두 변수인 꼴은 양변에 $\ln$ 을 취해 미분한다.
절차: ① 양변에 $\ln$ → ② 로그 법칙으로 곱·몫·지수를 합·차·계수로 분해 → ③ 양변을 $x$ 로 미분(좌변은 $y'/y$) → ④ $y'$ 에 대해 풀고 $y$ 를 원식으로 복원.
예제 — $y = x^{x}$ 의 도함수
$\ln y = x\ln x \Rightarrow \dfrac{y'}{y} = \ln x + 1 \Rightarrow y' = x^{x}(\ln x + 1).$
빈출 함정 ① $x^x$ 같은 꼴을 멱법칙 $nx^{n-1}$ 로도, 지수법칙 $a^x\ln a$ 로도 미분하면 둘 다 틀린다. 밑·지수가 모두 변수면 반드시 로그미분법. ② $\sec^{-1}x$, $\csc^{-1}x$ 의 분모는 $\sqrt{x^2-1}$ 이지 $\sqrt{1-x^2}$ 가 아니다(정의역 $|x|\ge 1$). ③ $\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac1x$ 이지만 절댓값을 빼먹고 정의역을 $x>0$ 으로 좁히지 말 것.
함수 $y=f(x)$ 의 도함수 $f'(a)$ 는 $x=a$ 에서의 순간변화율(instantaneous rate of change) 이다. 평균변화율 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ 의 극한.
위치 → 속도 → 가속도
위치 $s=f(t)$, 속도 $v(t)=s'(t)$, 가속도 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.
- 속력(speed) $=|v(t)|$ — 부호 없는 크기.
- 입자가 정지: $v(t)=0$.
- 전진(양의 방향): $v(t)>0$, 후진: $v(t)<0$.
가속·감속 판정 — $v$ 와 $a$ 가 같은 부호면 속력 증가(가속), 다른 부호면 속력 감소(감속). 단순히 $a>0$ 라고 빨라지는 게 아니다.
총 이동거리 vs 변위: 시간 $[t_1,t_2]$ 동안 변위 $=s(t_2)-s(t_1)$, 총 이동거리 $=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|\,dt$ (방향이 바뀌는 $v=0$ 시점을 경계로 구간을 나눠 합산).
생물(개체수 증가율), 경제(한계비용 $C'(x)$ = marginal cost), 물리(전류 $I=Q'(t)$) 등 "단위시간당 변화"는 모두 도함수.
빈출 함정 — "가장 빠를 때"는 $a=0$ 이 아니라 $|v|$ 가 최대인 시점. "방향을 바꾸는 순간"은 $v=0$ 이면서 $v$ 의 부호가 실제로 바뀌는 곳(스치고 지나가는 $v=0$ 은 방향전환 아님).
핵심 모델 — $\dfrac{dy}{dt}=ky$
변화율이 현재 양에 비례하면 $\dfrac{dy}{dt}=ky$ 이고, 그 유일한 해는
$$y(t)=y(0)e^{kt}.$$
$k>0$ 이면 지수성장, $k<0$ 이면 지수감소. $y(0)$ 는 초기값.
| 모델 | 식 | 비고 |
|---|---|---|
| 개체수 증가 | $P(t)=P_0e^{kt}$ | $k$=상대성장률 |
| 방사성 붕괴 | $m(t)=m_0e^{kt},\ k<0$ | 반감기 $t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{-k}$ |
| 연속복리 | $A(t)=A_0e^{rt}$ | $r$=연이율(연속) |
| 뉴턴 냉각법칙 | $\dfrac{dT}{dt}=k(T-T_s)$ | 해: $T=T_s+(T_0-T_s)e^{kt}$ |
반감기 구하기 — $m_0e^{kt_{1/2}}=\tfrac12 m_0 \Rightarrow e^{kt_{1/2}}=\tfrac12 \Rightarrow t_{1/2}=\dfrac{\ln(1/2)}{k}=\dfrac{\ln 2}{-k}.$ 두 시점의 데이터가 주어지면 비를 만들어 $k$ 를 먼저 구한다.
빈출 함정 — 연속복리 $A_0e^{rt}$ 와 이산복리 $A_0(1+\tfrac{r}{n})^{nt}$ 를 혼동하지 말 것. 뉴턴 냉각법칙은 $y=T-T_s$ 로 치환해야 표준형 $y'=ky$ 가 된다.
서로 식으로 묶인 두 양이 시간에 따라 함께 변할 때, 한 변화율로 다른 변화율을 구하는 문제.
표준 절차 (반드시 순서대로)
1. 그림을 그리고 변수에 기호 부여, 주어진 변화율과 구할 변화율을 $\dfrac{d\,\cdot}{dt}$ 로 표기.
2. 변수들 사이의 관계식을 세운다(피타고라스, 닮음, 부피·넓이 공식 등).
3. 양변을 $t$ 로 음함수 미분(연쇄법칙 — 모든 변수에 $\dfrac{d}{dt}$).
4. 마지막에 특정 순간의 수치를 대입.
가장 잦은 실수 — 수치를 미분 전에 대입하면 안 된다. 상수로 굳어버린 변수는 도함수가 0이 되어 답이 틀린다. 반드시 ③번 미분을 마친 뒤 ④에서 대입.
대표 유형: 사다리 미끄러짐(피타고라스 $x^2+y^2=L^2$), 원뿔 물탱크(닮음으로 변수 줄이기 $\tfrac{r}{h}$ 고정), 그림자 길이(닮음), 두 물체 접근(피타고라스/코사인법칙).
예제 — 사다리 (길이 10) 밑이 1 m/s로 미끄러짐
$x^2+y^2=100 \Rightarrow 2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}=0.$ $x=6,\ y=8,\ \dfrac{dx}{dt}=1$ 대입 → $\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{6}{8}=-0.75$ m/s(내려감).
접선근사 (linear approximation)
$a$ 근방에서 $f(x)\approx L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).$
$L(x)$ 를 $a$ 에서의 선형화(linearization) 라 한다. $x$ 가 $a$ 에 가까울수록 정확.
미분 $dy$
$dy = f'(x)\,dx.$ 여기서 $dx=\Delta x$ 는 독립변수의 증분.
실제 변화량 $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)$ 의 근사값이 $dy$.
상대오차 $\dfrac{dy}{y}$, 백분율오차 $\dfrac{dy}{y}\times 100\%$ 형태로 측정오차 전파를 추정한다.
근사값 빠르게 — $\sqrt{4.02}$ 류는 $f(x)=\sqrt{x},\ a=4$: $f(4)=2,\ f'(4)=\tfrac14$ → $\sqrt{4.02}\approx 2+\tfrac14(0.02)=2.005.$
빈출 함정 — 오목(아래로 볼록, $f''>0$)이면 접선은 곡선 아래에 있어 선형근사가 과소평가, 위로 볼록($f''<0$)이면 과대평가. 또 $a$ 는 계산이 쉬운 기준점으로 잡아야지 근사할 $x$ 자체로 잡으면 의미 없다.
쌍곡선함수 정의
$$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}.$$
기본 항등식: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1.$ ($\sinh$ 은 기함수, $\cosh$ 은 우함수.)
쌍곡선함수 도함수
$$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x, \qquad \frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x, \qquad \frac{d}{dx}\tanh x=\operatorname{sech}^2 x.$$
$$\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x=-\operatorname{sech} x\tanh x, \quad \frac{d}{dx}\coth x=-\operatorname{csch}^2 x, \quad \frac{d}{dx}\operatorname{csch} x=-\operatorname{csch} x\coth x.$$
역쌍곡선함수 도함수
$$\frac{d}{dx}\sinh^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \qquad \frac{d}{dx}\cosh^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\ (x>1),$$
$$\frac{d}{dx}\tanh^{-1}x=\frac{1}{1-x^2}\ (|x|<1).$$
삼각함수와 비교 — $\dfrac{d}{dx}\cosh x=+\sinh x$ 로 부호가 안 바뀐다(삼각은 $\cos\to-\sin$). 역쌍곡선 분모는 $\sqrt{x^2\pm1}$ 처럼 덧셈이 끼어 역삼각의 $\sqrt{1-x^2}$ 와 다르다.
빈출 함정 — $\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$(음수 아님), 반면 역삼각 $\dfrac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$(음수). $\cosh^2-\sinh^2=1$ 이지 $\cosh^2+\sinh^2=1$ 이 아니다.
절대(전역) 극대/극소: 정의역 전체에서 가장 큰/작은 값. 국소(상대) 극대/극소: 어떤 근방에서 가장 큰/작은 값.
최대·최소 정리 (Extreme Value Theorem, EVT)
$f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이면, $f$ 는 그 구간에서 절대최댓값과 절대최솟값을 반드시 갖는다.
페르마 정리 (Fermat's Theorem)
$f$ 가 $c$ 에서 국소극값을 갖고 $f'(c)$ 가 존재하면 $f'(c)=0.$
(역은 거짓 — $f'(c)=0$ 이라고 극값인 것은 아님, 예: $f(x)=x^3$ at $0$.)
임계수(critical number)
$f'(c)=0$ 또는 $f'(c)$ 가 존재하지 않는 정의역 내 점 $c$.
닫힌구간법 (Closed Interval Method)
$[a,b]$ 에서 연속인 $f$ 의 절대극값 찾기:
1. 내부 임계수에서 $f$ 값을 모두 계산.
2. 양 끝점 $f(a),\ f(b)$ 값을 계산.
3. 이들 중 가장 큰 값 = 절대최대, 가장 작은 값 = 절대최소.
빈출 함정 — ① 끝점 $f(a),f(b)$ 를 빠뜨리는 것이 1순위 실수. ② $f'(c)$ 가 존재하지 않는 점(뾰족점·수직접선)도 임계수다($f'=0$ 만 찾으면 누락). ③ EVT는 "닫힌구간 + 연속" 둘 다 필요 — 열린구간이거나 불연속이면 극값이 없을 수 있다.
롤의 정리 (Rolle's Theorem)
$f$ 가 ① $[a,b]$ 에서 연속, ② $(a,b)$ 에서 미분가능, ③ $f(a)=f(b)$ 이면,
$f'(c)=0$ 인 $c\in(a,b)$ 가 적어도 하나 존재한다.
평균값정리 (Mean Value Theorem, MVT)
$f$ 가 ① $[a,b]$ 에서 연속, ② $(a,b)$ 에서 미분가능이면,
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\quad \text{인 } c\in(a,b)\text{ 가 존재한다.}$$
기하적 의미: 양 끝을 잇는 할선과 평행한 접선이 구간 안에 있다.
MVT의 따름정리
$(a,b)$ 의 모든 $x$ 에서 $f'(x)=0$ 이면 $f$ 는 그 구간에서 상수. 또 $f'(x)=g'(x)$ 이면 $f(x)=g(x)+C.$
활용 — 부등식 증명("$f'$ 의 범위로 함숫값 범위 한정"), 근의 개수 한정(롤 + 중간값), "속도 = 평균속도가 되는 순간 존재" 같은 문장형 문제에 MVT를 떠올린다.
빈출 함정 — 가정 ①②를 만족하지 않으면 결론이 성립 안 할 수 있다(예: $f(x)=|x|$ 는 0에서 미분불가라 롤 적용 불가). $c$ 는 열린구간 $(a,b)$ 내부여야 하며 끝점은 안 된다.
증가/감소 판정 (First Derivative Test)
- $f'(x)>0$ 인 구간에서 $f$ 증가, $f'(x)<0$ 인 구간에서 $f$ 감소.
- 임계수 $c$ 좌우로 $f'$ 부호가 $+\to-$ 면 국소극대, $-\to+$ 면 국소극소, 부호 불변이면 극값 아님.
오목성 (Concavity)
- $f''(x)>0$ → 위로 오목(concave up, 아래로 볼록, $\smile$).
- $f''(x)<0$ → 아래로 오목(concave down, 위로 볼록, $\frown$).
- 변곡점(inflection point): 오목성이 바뀌는 점. 후보는 $f''=0$ 또는 $f''$ 미존재인 점.
2차 도함수 판정 (Second Derivative Test)
$f'(c)=0$ 이고 $f''(c)$ 가 존재할 때:
- $f''(c)>0$ → $c$ 에서 국소극소.
- $f''(c)<0$ → $c$ 에서 국소극대.
- $f''(c)=0$ → 판정 불가(1차 판정으로 돌아갈 것).
빈출 함정 — ① $f''(c)=0$ 이라고 무조건 변곡점이 아니다. 오목성이 실제로 바뀌어야 변곡점($f(x)=x^4$ 은 $f''(0)=0$ 이지만 변곡점 아님). ② 2차 판정이 $f''(c)=0$ 으로 실패하면 반드시 1차 판정으로 재시도. ③ "concave up = 위로 오목 = 그래프가 아래로 볼록($\smile$)" 용어 혼동 주의.
로피탈 정리 (l'Hospital's Rule)
$\dfrac{0}{0}$ 또는 $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ 꼴이고 $\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 가 존재(또는 $\pm\infty$)하면,
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$
$x\to a,\ a^{\pm},\ \pm\infty$ 모두 적용 가능.
| 부정형 | 변형 방법 |
|---|---|
| $\dfrac00,\ \dfrac{\infty}{\infty}$ | 바로 로피탈 |
| $0\cdot\infty$ | 한 인자를 분모로 내려 $\dfrac00$ 또는 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 로 |
| $\infty-\infty$ | 통분·유리화로 한 분수로 결합 |
| $0^0,\ \infty^0,\ 1^{\infty}$ | $y=$ 로 놓고 $\ln y$ 의 극한 → $0\cdot\infty$ 처리 후 $e^{(\cdot)}$ |
예제 — $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$
$\dfrac00$ 꼴 → 로피탈 → $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1.$
빈출 함정 — ① 부정형이 아닐 때 쓰면 틀린다(예: $\dfrac{x}{x+1}\to\dfrac01$ 은 그냥 0, 로피탈 금지). 적용 전 반드시 $\tfrac00$ 또는 $\tfrac\infty\infty$ 확인. ② 분자·분모를 각각 따로 미분하는 것이지 몫의 미분법이 아니다. ③ $1^\infty,0^0,\infty^0$ 은 곧장 로피탈이 안 되고 로그를 취해야 한다. ④ 미분해도 계속 부정형이면 반복 적용.
곡선 그리기 8단계
1. 정의역(Domain).
2. 절편 — $x$ 절편($f=0$), $y$ 절편($f(0)$).
3. 대칭성 — 우함수($f(-x)=f(x)$), 기함수($f(-x)=-f(x)$), 주기성.
4. 점근선 — 수평($\lim_{x\to\pm\infty}f$), 수직($\lim_{x\to a}f=\pm\infty$), 사선($y=mx+b$).
5. 증가·감소 구간 ($f'$ 부호).
6. 국소극값 (1차/2차 판정).
7. 오목성·변곡점 ($f''$ 부호).
8. 위 정보로 그래프 작도.
사선점근선 (Slant/Oblique Asymptote)
$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(mx+b)]=0$ 이면 $y=mx+b$ 가 사선점근선. 유리함수는 분자 차수 = 분모 차수 + 1 일 때 나타나며, 나눗셈(다항식 나눗셈) 으로 몫을 구하면 그것이 점근선.
우선순위 — 점근선과 극값/변곡점을 먼저 잡으면 전체 골격이 잡힌다. 부호표(sign chart)로 $f',f''$ 의 부호를 구간별로 정리하면 실수가 준다.
빈출 함정 — 수직점근선 후보는 정의역에서 빠진 점(분모=0 등)에서 찾되, 분자도 0이 되어 약분되는 경우(제거가능 불연속)는 점근선이 아니라 구멍(hole). 사선점근선은 수평점근선이 있으면 동시에 존재하지 않는다.
그래프 계산기·CAS는 수동으로 놓치기 쉬운 특징(좁은 봉우리, 미세한 변곡, 가까운 두 근)을 보여주지만, 무비판적으로 보면 오해할 수 있다. 미적분(도함수 분석)과 기계 그래프를 상호 보완해야 한다.
핵심 원칙
- 적절한 보기창(viewing window) 선택이 결정적. 너무 좁으면 전역 거동을, 너무 넓으면 국소 특징을 놓친다.
- 흥미로운 점($f'=0,\ f''=0$)의 정확한 위치는 미적분으로 계산하고, 기계 그래프로 검증한다.
- 함수 패밀리($f(x;c)$ 의 매개변수 $c$ 변화)는 그래프 변화를 관찰해 분기(bifurcation)를 파악.
보기창 잡기 — 먼저 정의역·점근선·극값의 대략 위치를 손으로 추정해 $x,y$ 범위를 설정한 뒤, 의심되는 구간을 확대(zoom)해 봉우리·변곡을 확인한다.
빈출 함정 — ① 기계가 그린 "직선처럼 보이는" 부분도 확대하면 미세한 곡률이 있을 수 있다(겉모습만 믿지 말 것). ② 점근선을 계산기가 세로 직선으로 잘못 이어 그리는 아티팩트에 속지 말 것. ③ 두 근/극값이 매우 가까우면 낮은 해상도에서 하나로 보일 수 있어, 도함수로 개수를 확정해야 한다.
| 함수 | 도함수 |
|---|---|
| $\ln x$ | $\dfrac1x$ |
| $\log_b x$ | $\dfrac{1}{x\ln b}$ |
| $b^x$ | $b^x\ln b$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
| $\sec^{-1}x$ | $\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |
| $\sinh^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ |
| $\tanh^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1-x^2}$ |
| 주제 | 핵심 |
|---|---|
| EVT | 닫힌구간 연속 → 절대극대·극소 존재 |
| 페르마 | 국소극값 + 미분가능 → $f'(c)=0$ |
| 닫힌구간법 | 내부 임계수 값 + 양 끝점 값 비교 |
| 롤 | 연속·미분가능·$f(a)=f(b)$ → $f'(c)=0$ |
| MVT | $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ |
| 1차 판정 | $f'$ 부호 변화로 극대/극소 |
| 2차 판정 | $f''(c)>0$ 극소, $<0$ 극대, $=0$ 판정불가 |
| 오목성 | $f''>0$ 위로 오목, $f''<0$ 아래로 오목 |
| 로피탈 | $\tfrac00,\tfrac\infty\infty$ 에서 $\dfrac{f'}{g'}$ |
| 지수성장 | $y'=ky\Rightarrow y=y_0e^{kt}$ |