\(y=\sqrt{4-x^2}\) 는 반지름 2 인 원의 위쪽 반원. \(0\le x\le 2\) 는 그중 1사분면 사분원이다.
\(\dfrac14\pi r^2=\dfrac14\pi(2)^2=\pi\). 치환적분으로 풀 수도 있지만 넓이로 보면 계산이 없다.
정답: ③ \(\pi\)
Q6.definite integral4.3점
Evaluate \(\displaystyle\int_0^2 e^{2x}\,dx\).
① \(e^4-1\)
② \(\dfrac{e^4-1}{2}\)
③ \(\dfrac{e^4-1}{4}\)
④ \(e^2-1\)
⑤ \(\dfrac{e^2-1}{2}\)
풀이
\(\displaystyle\int e^{2x}dx=\frac12 e^{2x}\) 이므로
\(\left[\frac12 e^{2x}\right]_0^2=\frac{e^4}{2}-\frac12=\frac{e^4-1}{2}\).
①은 안쪽 미분 \(2\) 로 나누는 것을 빠뜨린 답이다.
정답: ② \(\dfrac{e^4-1}{2}\)
Q7.definite integral4.4점
Choose the integral for \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2\).
① \(\displaystyle\int_0^1 x^2dx\)
② \(\displaystyle\int_0^2 x^2dx\)
③ \(\displaystyle\int_1^3 x^2dx\)
④ \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 x^2dx\)
⑤ \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^3 x^2dx\)
풀이
리만합 \(\displaystyle\lim\sum f(x_k)\Delta x\) 로 읽는다. \(\Delta x=\frac1n\), \(x_k=1+\frac{2k}{n}\).
그런데 \(x_k\) 의 간격은 \(\frac2n\) 인데 곱해진 폭은 \(\frac1n\) 이다 — 폭이 절반이다.
\(\frac1n=\frac12\cdot\frac2n\) 로 보면 \(x\) 는 \(1\to3\) 을 훑고 계수 \(\frac12\) 가 남는다.
\(\Rightarrow \dfrac12\displaystyle\int_1^3 x^2dx=\dfrac12\cdot\dfrac{26}{3}=\dfrac{13}{3}\).
🔴 ③을 고르기 쉽다. 구간만 맞추고 폭 계수를 놓치는 것이 이 문항의 전부다.
정답: ⑤ \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^3 x^2dx\)
Q8.average4.4점
Find the average value of the function \(f(x)=|x-1|\) on the interval \([-2,4]\).
① \(1.5\)
② \(2\)
③ \(2.5\)
④ \(3\)
⑤ \(3.5\)
풀이
평균값 \(=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\). 절댓값은 꼭짓점 \(x=1\) 에서 잘라 두 삼각형으로 본다.
\([-2,1]\): 밑변 3·높이 3 → \(\frac92\). \([1,4]\): 밑변 3·높이 3 → \(\frac92\). 합 \(9\).
\(\dfrac{9}{4-(-2)}=\dfrac96=1.5\).
정답: ① \(1.5\)
Q9.linear density4.4점
The linear density of a rod of length \(4\) centimeters is given by \(\rho(x)=6\sqrt{x}\),
in grams per centimeter, where \(x\) is measured in centimeters from one end of the rod.
Find the total mass (grams) of the rod.
① \(24\)
② \(32\)
③ \(36\)
④ \(42\)
⑤ \(48\)
풀이
질량 \(=\displaystyle\int_0^4 \rho(x)\,dx=\int_0^4 6x^{1/2}dx=6\cdot\frac23\left[x^{3/2}\right]_0^4=4\cdot 8=32\). 선밀도를 길이로 적분하면 질량 — 22번과 짝을 이루는 개념이다(그쪽은 평균).
정답: ② \(32\)
Q10.velocity4.5점
A particle moves along a line so that its velocity at time \(t\) (seconds) is
\(v(t)=-t^3+t^2+2t\) (meters per second). Find the distance (meters) traveled of the particle
during the time \(0\le t\le 3\).
① \(\dfrac{81}{12}\)
② \(\dfrac{84}{12}\)
③ \(\dfrac{86}{12}\)
④ \(\dfrac{89}{12}\)
⑤ \(\dfrac{91}{12}\)
풀이
🔴 distance(이동거리)는 \(\int|v|\) 이다. \(\int v\) 는 displacement(변위)라 부호가 상쇄된다.
\(v=-t(t-2)(t+1)\) → \((0,2)\) 에서 \(v>0\), \((2,3)\) 에서 \(v<0\). \(t=2\) 에서 끊어야 한다.
\(F(t)=-\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}+t^2\), \(F(0)=0,\ F(2)=\frac83,\ F(3)=-\frac94\).
\(\left|F(2)-F(0)\right|+\left|F(3)-F(2)\right|=\frac83+\frac{59}{12}=\frac{32+59}{12}=\dfrac{91}{12}\).
참고로 변위는 \(F(3)-F(0)=-\frac94=\frac{-27}{12}\) 로 전혀 다른 값이다.
정답: ⑤ \(\dfrac{91}{12}\)
Q11.fundamental theorem of calculus4.5점
Find \(g'(1)\) when \(g(x)=\displaystyle\int_0^x \sqrt{1+t^2}\,dt\).
① \(\dfrac{1}{\sqrt2}\)
② \(1\)
③ \(\sqrt2\)
④ \(2\)
⑤ \(2\sqrt2\)
풀이
미적분학의 기본정리 1: \(g(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)dt \Rightarrow g'(x)=f(x)\). 적분을 계산할 필요가 없다 — \(g'(1)=\sqrt{1+1^2}=\sqrt2\).
정답: ③ \(\sqrt2\)
Q12.fundamental theorem of calculus4.5점
Find \(g'(x)\) when \(g(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}\frac{t}{1+t^2}\,dt\).
① \(\dfrac{x}{1+x^2}\)
② \(\dfrac{x^2}{1+x^4}\)
③ \(\dfrac{2x^2}{1+x^4}\)
④ \(\dfrac{2x^3}{1+x^4}\)
⑤ \(\dfrac{2x^3}{1+2x^5}\)
풀이
위끝이 \(x\) 가 아니라 \(x^2\) 이므로 연쇄법칙이 붙는다:
\(g'(x)=f(x^2)\cdot(x^2)'\).
\(f(x^2)=\dfrac{x^2}{1+x^4}\), \((x^2)'=2x\) → \(\dfrac{x^2}{1+x^4}\cdot 2x=\dfrac{2x^3}{1+x^4}\).
🔴 ②는 연쇄법칙을 빠뜨린 답이다.
정답: ④ \(\dfrac{2x^3}{1+x^4}\)
Q13.fundamental theorem of calculus4.6점
Let \(g(x)\) be \(g(x)=\displaystyle\int_1^x e^{-t^2}\,dt\).
Find an equation of tangent line to the curve \(y=g(x)\) at the point with \(x\)-coordinate \(1\).
① \(y=\dfrac{x-1}{e^2}\)
② \(y=\dfrac{x-1}{e}\)
③ \(y=x-1\)
④ \(y=e(x-1)\)
⑤ \(y=e^2(x-1)\)
풀이
\(e^{-t^2}\) 는 초등함수로 적분되지 않는다 — 계산하려 들면 안 된다.
아래끝과 \(x\) 좌표가 같으므로 \(g(1)=\displaystyle\int_1^1=0\) (접점 \((1,0)\)).
기본정리로 \(g'(1)=e^{-1}=\dfrac1e\).
\(y-0=\dfrac1e(x-1)\Rightarrow y=\dfrac{x-1}{e}\).
정답: ② \(y=\dfrac{x-1}{e}\)
Q14.substitution rule4.6점
Choose every true statement in the box below. (\(f\) is continuous on the given interval.)
Ⓐ If \(\displaystyle\int_0^4 f(x)dx=8\), then \(\displaystyle\int_0^2 f(2x)dx=4\)
Ⓑ If \(\displaystyle\int_0^4 f(x)dx=8\), then \(\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x+2)dx=8\)
Ⓒ If \(\displaystyle\int_0^4 f(x)dx=8\), then \(\displaystyle\int_{-2}^{2} f(2-x)dx=8\)
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓐ and Ⓒ only
④ Ⓑ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
풀이
세 문장 모두 치환하면 구간이 \([0,4]\) 로 돌아온다. 핵심은 \(du\) 에 붙는 계수뿐이다.
Ⓐ \(u=2x,\ du=2dx\) → \(\frac12\displaystyle\int_0^4 f(u)du=\frac12\cdot 8=4\) ✔ (가로 압축이라 넓이가 절반)
Ⓑ \(u=x+2,\ du=dx\) → \(\displaystyle\int_0^4 f(u)du=8\) ✔ (평행이동은 넓이를 안 바꾼다)
Ⓒ \(u=2-x,\ du=-dx\), \(x:-2\to2\) 일 때 \(u:4\to0\) →
\(\displaystyle\int_4^0 f(u)(-du)=\int_0^4 f(u)du=8\) ✔ (뒤집기도 넓이를 안 바꾼다)
⇒ 셋 다 참.
분자에 \(x\) 가 있으므로 삼각치환이 아니라 \(u=1-x^2\). \(du=-2x\,dx\).
원시함수는 \(-\sqrt{1-x^2}\).
\(\left[-\sqrt{1-x^2}\right]_{3/5}^{4/5}=-\frac35-\left(-\frac45\right)=\dfrac15\).
(\(3\text-4\text-5\) 직각삼각형이 숨어 있어 근호가 깔끔히 떨어진다.)
If \(x\,e^{x}=\displaystyle\int_0^{\sqrt{x}} f(t)\,dt\ (x\ge 0)\),
where \(f\) is a continuous function, find \(f(4)\).
① \(20e^4\)
② \(40e^4\)
③ \(76e^8\)
④ \(136e^{16}\)
⑤ \(153e^{16}\)
풀이
양변을 \(x\) 로 미분한다. 좌변 \((xe^x)'=e^x+xe^x=(1+x)e^x\).
우변은 기본정리+연쇄법칙: \(f(\sqrt x)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt x}\).
\(\Rightarrow f(\sqrt x)=2\sqrt x\,(1+x)e^x\).
🔴 \(f(4)\) 를 구하려면 \(\sqrt x=4\), 즉 \(x=16\) 을 넣어야 한다(\(x=4\) 가 아니다 — 이 문항의 핵심 함정).
\(f(4)=2\cdot4\cdot(1+16)e^{16}=8\cdot17\,e^{16}=136e^{16}\).
\(\cos x-\sin 2x=\cos x-2\sin x\cos x=\cos x(1-2\sin x)\).
\([0,\frac\pi2]\) 에서 \(\cos x\ge0\) 이므로 부호는 \(1-2\sin x\) 가 정한다 →
\(\sin x=\frac12\), 즉 \(x=\frac\pi6\) 에서 바뀐다.
원시함수 \(F=\sin x-\sin^2x\): \(F(0)=0,\ F(\frac\pi6)=\frac12-\frac14=\frac14,\ F(\frac\pi2)=1-1=0\).
\(\left|\frac14-0\right|+\left|0-\frac14\right|=\dfrac12\).
🔴 절댓값을 무시하고 그냥 적분하면 \(0\) 이 나온다 — 선택지에 없어서 오히려 티가 난다.
정답: ② \(\dfrac12\)
Q19.volume - disk4.8점
Find the volume of the solid generated by rotating the region bounded by
\(y=x^{\frac12}\) and \(y=x^{\frac23}\) about the \(x\)-axis.
① \(\dfrac{\pi}{10}\)
② \(\dfrac{\pi}{12}\)
③ \(\dfrac{\pi}{14}\)
④ \(\dfrac{\pi}{20}\)
⑤ \(\dfrac{2\pi}{21}\)
풀이
교점: \(x^{1/2}=x^{2/3}\Rightarrow x=0,1\). \(0<x<1\) 에서는 지수가 작을수록 크다 → \(x^{1/2}>x^{2/3}\). 바깥이 \(x^{1/2}\), 안쪽이 \(x^{2/3}\).
와셔법: \(V=\pi\displaystyle\int_0^1\left(x-x^{4/3}\right)dx
=\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac37x^{7/3}\right]_0^1=\pi\left(\frac12-\frac37\right)=\dfrac{\pi}{14}\).
🔴 안팎을 바꾸면 \(-\frac{\pi}{14}\) 가 되어 부호로 바로 들킨다.
정답: ③ \(\dfrac{\pi}{14}\)
Q20.volume - shell4.9점
Find the volume of the solid generated by rotating the region bounded by
\(y=x^2(3-x)\) and \(y=0\) about the \(y\)-axis.
① \(\dfrac{159\pi}{7}\)
② \(\dfrac{162\pi}{7}\)
③ \(\dfrac{231\pi}{10}\)
④ \(\dfrac{243\pi}{10}\)
⑤ \(\dfrac{729\pi}{35}\)
풀이
\(y\)축 회전 + \(y=f(x)\) 꼴 → 원통껍질법이 자연스럽다(\(x\)에 대해 풀 필요가 없다).
경계: \(x^2(3-x)=0\Rightarrow x=0,3\), 구간에서 \(y\ge0\).
\(V=2\pi\displaystyle\int_0^3 x\cdot x^2(3-x)dx=2\pi\int_0^3(3x^3-x^4)dx
=2\pi\left[\frac{3x^4}{4}-\frac{x^5}{5}\right]_0^3\)
\(=2\pi\left(\frac{243}{4}-\frac{243}{5}\right)=2\pi\cdot\frac{243}{20}=\dfrac{243\pi}{10}\).
정답: ④ \(\dfrac{243\pi}{10}\)
Q21.work5점
An open tank has the shape of a solid generated by rotating the region bounded by
\(y=x^2\) and \(y=4\) about the \(y\)-axis. The tank is full of water. Find the work (centimeter-gram)
done in emptying the tank by pumping the water over the top edge. (The units for the \(x\) and \(y\) axes
are in centimeters. Assume that the water weighs \(1\) gram per cubic centimeter.)
① \(\dfrac{32\pi}{3}\)
② \(\dfrac{64\pi}{3}\)
③ \(\dfrac{256\pi}{5}\)
④ \(\dfrac{512\pi}{15}\)
⑤ \(\dfrac{2048\pi}{15}\)
풀이
가로로 얇은 원판을 쌓아 올린다. 높이 \(y\) 에서 \(x^2=y\Rightarrow\) 반지름 \(\sqrt y\).
원판 부피 \(\pi(\sqrt y)^2dy=\pi y\,dy\), 무게 = 부피 (밀도 \(1\)).
🔴 들어올리는 거리는 \(y\) 가 아니라 \(4-y\) — 꼭대기 \(y=4\) 로 퍼내기 때문이다.
\(W=\pi\displaystyle\int_0^4 y(4-y)\,dy=\pi\left[2y^2-\frac{y^3}{3}\right]_0^4
=\pi\left(32-\frac{64}{3}\right)=\dfrac{32\pi}{3}\).
정답: ① \(\dfrac{32\pi}{3}\)
Q22.average5.1점
The linear density in a rod \(8\,m\) long is \(12\sqrt{1+x}\ kg/m\),
where \(x\) is measured in meters from one end of the rod. Find the average density \((kg/m)\) of the rod.
① \(22\)
② \(23\)
③ \(24\)
④ \(25\)
⑤ \(26\)
풀이
평균밀도 \(=\dfrac{\text{총질량}}{\text{길이}}=\dfrac{1}{8}\displaystyle\int_0^8 12\sqrt{1+x}\,dx\).
\(\displaystyle\int_0^8 12(1+x)^{1/2}dx=12\cdot\frac23\left[(1+x)^{3/2}\right]_0^8=8(27-1)=208\).
\(\dfrac{208}{8}=26\).
9번(총질량)과 같은 구조다 — 선밀도를 길이로 적분하면 질량, 거기서 길이로 한 번 더 나누면 평균밀도. 다만 식과 구간은 서로 다르다(9번 \(\int_0^4 6\sqrt x=32\) · 22번 \(\int_0^8 12\sqrt{1+x}=208\)).
정답: ⑤ \(26\)
정답표
🔴 이 문제지는 공개용이라 답지가 없다. 아래 정답은 우리가 직접 풀고
22문항 전부 sympy 로 재검산한 것이다 — 22/22 에서 일치하는 선택지가 정확히 하나였다
(답이 둘이거나 없는 문항 0건). 검산 스크립트는 세션 로그에 남아 있다.
번호
배점
유형
정답
1
4.2
indefinite integral
⑤ \(\dfrac{x^3}{3}+C\)
2
4.2
indefinite integral
④ \(\dfrac{2^x}{\ln 2}+C\)
3
4.2
indefinite integral
③ \(\arctan x+C\)
4
4.3
indefinite integral
① \(\cosh x+C\)
5
4.3
definite integral
③ \(\pi\)
6
4.3
definite integral
② \(\dfrac{e^4-1}{2}\)
7
4.4
definite integral
⑤ \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_1^3 x^2dx\)
8
4.4
average
① \(1.5\)
9
4.4
linear density
② \(32\)
10
4.5
velocity
⑤ \(\dfrac{91}{12}\)
11
4.5
fundamental theorem of calculus
③ \(\sqrt2\)
12
4.5
fundamental theorem of calculus
④ \(\dfrac{2x^3}{1+x^4}\)
13
4.6
fundamental theorem of calculus
② \(y=\dfrac{x-1}{e}\)
14
4.6
substitution rule
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
15
4.6
substitution rule
① \(\dfrac{1}{5}\)
16
4.7
substitution rule
③ \(\ln\!\left(\dfrac{2\sqrt5}{3}\right)\)
17
4.7
Fundamental Theorem of Calculus
④ \(136e^{16}\)
18
4.8
area between curves
② \(\dfrac12\)
19
4.8
volume - disk
③ \(\dfrac{\pi}{14}\)
20
4.9
volume - shell
④ \(\dfrac{243\pi}{10}\)
21
5
work
① \(\dfrac{32\pi}{3}\)
22
5.1
average
⑤ \(26\)
출제 패턴 핵심 요약
① 앞 4문항은 공식 확인, 뒤로 갈수록 "한 겹"이 더 붙는다.
Q1~4 는 기본 적분 공식을 그대로 묻는다(배점 4.2~4.3). 반면 Q17·Q21 같은 뒤쪽은
공식을 아는 것만으로는 안 되고 한 단계를 더 읽어야 풀린다. 배점이 4.2에서 5.1로
오르는 것이 난이도 곡선과 정확히 같이 간다.
② 오답 선택지가 "흔한 실수"를 정확히 겨냥한다.
Q2 ②는 미분과 적분을 뒤집은 값, Q6 ①은 안쪽 미분 2로 나누기를 빠뜨린 값,
Q12 ②는 연쇄법칙을 빠뜨린 값, Q7 ③은 구간은 맞지만 폭 계수를 놓친 값이다.
계산을 틀려서가 아니라 절차를 한 칸 건너뛰면 반드시 선택지에 그 답이 있다.
③ 절댓값·부호 전환이 세 번 나온다 — 이 시험의 최대 감점 지점.
Q8(\(|x-1|\)), Q10(distance 는 \(\int|v|\)), Q18(\(|\cos x-\sin 2x|\)).
셋 다 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 끊지 않으면 틀린다.
특히 Q10 은 distance 와 displacement 를 구분하는지를 묻고, Q18 은 절댓값을 무시하면 0 이 나온다.
④ 기본정리는 "계산하지 마라"는 신호다.
Q11·Q13 은 피적분함수가 \(\sqrt{1+t^2}\), \(e^{-t^2}\) 라
적분할 이유가 없거나 아예 적분되지 않는다. Q17 은 한술 더 떠 피적분함수가 미지의 연속함수 \(f\) 라
적분 자체가 불가능하고, 양변을 미분해야 풀린다. 적분을 시도하는 순간 시간을 잃는다.
Q13 의 \(e^{-t^2}\) 은 애초에 초등함수로 적분되지 않는다.
⑤ 회전체는 방법 선택이 곧 정답이다.
Q19 는 \(x\)축 회전이라 와셔, Q20 은 \(y\)축 회전인데 \(y=f(x)\) 꼴이라 원통껍질,
Q21 은 물을 퍼올리는 일이라 가로 원판이다. 세 문제가 서로 다른 방법을 하나씩 요구한다.
Q19 는 \(0<x<1\) 에서 \(x^{1/2}>x^{2/3}\) 라는 것을, Q21 은 거리가 \(4-y\) 라는 것을 놓치면 끝난다.
⑥ 짝을 이루는 문항이 있다.
Q9(총질량)와 Q22(평균밀도)는 선밀도를 적분한 뒤 길이로 한 번 더 나누느냐의 차이다(식과 구간은 서로 다르다).
Q11·Q12 도 같은 기본정리를 묻되 위끝이 \(x\)냐 \(x^2\)이냐에서 갈린다(묻는 것도 값 \(g'(1)\) 과 함수 \(g'(x)\) 로 다르다). 한 개념을 두 번 각도를 달리해 묻는다.
이 자료의 출처와 한계
원본: data/hafs/exams/2025/2025-2학년-2학기-미적분학Ⅱ-1차지필_(공개용).pdf (8쪽).
🔴 원본 PDF 는 텍스트 레이어에서 수식이 전부 소실된다(선택지가 빈칸으로 추출됨).
그래서 8쪽 전부를 170dpi 이미지로 렌더해 눈으로 읽어 옮겼다. 텍스트 추출본은 쓰지 않았다.
저작권은 용인한국외국어대학교부설고등학교에 있으며, 이 분석은 개인 학습용이다.