2026 HAFS 미적분학Ⅱ — 2학기 중간 예상시험지예상 · §4.7~§6.5

\((\sinh x)'=\cosh x\) 이므로 \(\displaystyle\int\cosh x\,dx=\sinh x+C\).
🔴 삼각함수와 달리 쌍곡선함수는 마이너스가 붙지 않는다 — \(\int\sin x\,dx=-\cos x+C\) 의 부호 습관을 가져오면 ②. ② 삼각함수의 부호 습관을 쌍곡선에 적용 · ③ 원함수를 그대로 적음(적분 안 함) · ④ ③에 부호 습관까지 · ⑤ \(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\) 는 \(\operatorname{arcsinh}x\) 의 도함수 — 공식표 행 혼동 2025 Q4 (\(\int\sinh x\,dx\)) 변형 · §5.4 Table 1 부정적분표 괄호 + 선생님 메모 "기본"

분수는 먼저 쪼갠다: \(\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac1x\).
\(\displaystyle\int\left(x+\frac1x\right)dx=\frac{x^2}{2}+\ln|x|+C\).
🔴 \(\ln|x|\) 의 절댓값을 빼먹지 말 것 (\(x\lt 0\) 에서도 정의되어야 한다).
검산: \(\left(\frac{x^2}{2}+\ln|x|\right)'=x+\frac1x\) ✔ ② \(\frac1x\) 의 적분을 \(-\frac1{x^2}\)(= \(\frac1x\) 의 도함수)로 착각 · ③ 분모 \(x\) 만 적분하고 분자를 상수 취급 · ④ 분자·분모를 따로 적분해서 나눔 · ⑤ 적분 대신 \(x+\frac1x\) 를 미분 §4.9 Table 2 ✓ 여백 "\(\frac1x\to\ln|x|\) 절댓값 주의" · §4.9 Example 1(b) (\(C_1,C_2\) 동그라미) · s49-42 [ ] (카드: 분수 정리 후 역미분) · 2025 Q1–Q4 "공식 확인" 슬롯

일반 역도함수: \(f(x)=e^x+2\arctan x+C\).
초기조건: \(f(0)=e^0+2\arctan 0+C=1+C=3\Rightarrow C=2\).
\(f(1)=e+2\cdot\dfrac{\pi}{4}+2=e+\dfrac{\pi}{2}+2\). ① 계수 2 를 빠뜨림 (\(\arctan 1\) 만) · ② \(e^0=1\) 을 빼지 않고 \(C=3\) · ③ \(\arctan 1=\frac\pi2\) 로 착각 · ⑤ \(C=3+1\) 부호 실수 §4.9 Example 3 ✓ (\(f'=e^x+20(1+x^2)^{-1},\ f(0)=-2\)) 변형 · s49-29~54 전체 대괄호(초기조건 문항군) · §4.9 Table 2 여백 ☆ arctan 유도

리만합 \(\sum\frac{b-a}{n}f\!\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)\) 로 읽는다. \(x_i=1+\frac{3i}{n}\) → \(a=1,\ b-a=3\), \(f(x)=\sqrt x\).
그런데 곱해진 폭은 \(\frac{3}{n}\) 이 아니라 \(\frac1n\) — 폭이 \(\frac13\) 이다: \(\frac1n=\frac13\cdot\frac3n\).
\(\Rightarrow \dfrac13\displaystyle\int_1^4\sqrt x\,dx=\dfrac13\cdot\dfrac{14}{3}=\dfrac{14}{9}\).
🔴 선생님 메모: "evaluate 까지 하는 문제는 X, express(정적분으로 나타내기)까지만" — 그래서 선택지가 적분식이다. ② 구간만 맞추고 폭 계수 \(\frac13\) 을 놓침 (2025 Q7 ③과 같은 함정) · ④ 계수를 거꾸로 곱함 · ① \(f\) 만 보고 구간을 \([0,1]\) 로 · ⑤ 시작점 \(a=1\) 을 빠뜨려 \([0,3]\) §5.1 #20–23 선생님 메모 "기본문제로 출제 가능" (#22: \(b-a=3,\ f=\sqrt x\)) · §5.2 Ex3 메모 "express 까지만" · §5.2 #83 필기 "\(\frac1n\) 앞에 빼고 생각" · 2025 Q7 변형

Ⓐ \(\frac1{x^2}\) 은 \(x=0\) 에서 무한 불연속 → \([-1,2]\) 에서 연속이 아니므로 FTC2 적용 불가. 실제로 적분은 발산한다. 게다가 양수 함수의 적분이 음수일 수 없다. 거짓.
Ⓑ 적분변수는 \(x\), \(e\) 는 상수 → \(e\cdot(2-(-2))=4e\). 참.
Ⓒ \(x^3\) 은 기함수(odd) → 0, 하지만 \(x^2\) 은 우함수(even) → \(2\displaystyle\int_0^1x^2dx=\frac23\). 합은 \(\frac23\ne0\). 거짓. ③ Ⓐ 를 공식대로 계산만 하고 연속성 확인을 건너뜀 · ④ \(x^3+x^2\) 전체를 기함수로 착각 · ⑤ 두 실수 모두 · ① Ⓑ 에서 \(e\) 를 적분변수로 오인 §5.3 Ex9 선생님 메모 "\(\int\frac1{\sqrt x},\int\frac1x,\int\frac1{x^2}\) 세 가지 경우 다 알기 → 불연속인지 서술·T/F 출제" · s53-34 필기 (\(\int_{-5}^{5}e\), dummy variable, odd function) · §5.5 정리 7 대칭함수 ✓ · 형식은 2025 Q14 박스형

아래끝이 \(x\) 이므로 뒤집어서 본다: \(g(x)=-\displaystyle\int_2^x\sqrt{1+t^3}\,dt\).
FTC1: \(g'(x)=-\sqrt{1+x^3}\) → \(g'(1)=-\sqrt{2}\).
적분을 계산할 필요가 없다 (\(\sqrt{1+t^3}\) 은 초등함수로 적분되지 않는다). ② 아래끝이 \(x\) 일 때의 부호 \(-\) 를 놓침 · ③ \(x\) 대신 위끝 2 를 대입 · ⑤ ③ + 부호 누락 · ④ FTC2 처럼 \(f(2)-f(1)\) Ch5 Review Ex 51–54 선생님 메모 "☆ 반드시 출제" (r5-52: 아래끝이 \(x\)) + 본문 메모 "위끝이 아니라 아래끝이면 부호 −" · §5.3 Ex2 "기본문제로 출제" · 2025 Q11 변형

\(f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\dfrac15\int_0^5(4x-x^2)\,dx=\dfrac15\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^5=\dfrac15\left(50-\frac{125}{3}\right)=\dfrac53\).
🔴 \([4,5]\) 에서 \(f\lt 0\) — 평균값은 부호 있는 적분이므로 그 부분은 빼진다(절댓값을 씌우지 않는다). ③ \(|f|\) 로 넓이를 구해 평균 (\(\frac{32/3+7/3}{5}\)) · ② 양수 부분 \([0,4]\) 만 적분 · ④ \(b-a=5\) 로 나누지 않음 · ① 양 끝값의 평균 \(\frac{f(0)+f(5)}{2}\) §6.5 평균값 정의 ☆ (분모 \(b-a\) 밑줄 "구간") · s65-15 선생님 메모 "\(x\)축 아래 → 음(−)" · 2025 Q8 (average) 계열

질량 \(=\displaystyle\int_0^9\rho(x)\,dx=\int_0^9\left(4+3x^{1/2}\right)dx=\left[4x+2x^{3/2}\right]_0^9=36+2\cdot27=90\).
단위 확인: (kg/m) × (m) = kg ✔ (선생님 메모 "단위 주의☆"). ① 길이 9 로 한 번 더 나눈 평균밀도 (2025 Q22 와 짝) · ② 적분하지 않고 \(\rho(9)\) 대입 · ③ 계수 3 누락 · ⑤ \(x^{3/2}\) 로 올리고 \(\frac32\) 로 나누지 않음 s49-78 🔥 (선밀도→질량) 선생님 메모 "이것도 기본 · 밀도함수? 질량?" · s54-73 (\(m'(x)=9+2\sqrt x\)) 변형 · §5.4 "단위 주의☆" · 2025 Q9

🔴 distance(이동거리) \(=\displaystyle\int|v|\,dt\). \(v=(t-3)(t+1)\) → \((0,3)\) 에서 \(v\lt 0\), \((3,4)\) 에서 \(v\gt 0\) — \(t=3\) 에서 끊는다.
\(F(t)=\frac{t^3}{3}-t^2-3t\): \(F(0)=0,\ F(3)=-9,\ F(4)=-\frac{20}{3}\).
\(|F(3)-F(0)|+|F(4)-F(3)|=9+\frac73=\dfrac{34}{3}\). ① 변위(displacement) \(\int_0^4 v\,dt\) · ③ 변위에 절댓값만 씌움 · ② \([3,4]\) 구간만 · ④ \([0,3]\) 구간만 §5.4 Example 6 ✓ (\(v=t^2-t-6\), 변위 vs 이동거리) + 필기 "변위 = 위치의 변화량", "절댓값" · 2025 Q10 변형

FTC1 + 연쇄법칙: \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{u(x)}f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)\).
\(g'(x)=f(2x)\cdot 2\Rightarrow g'(2)=2f(4)=10\).
\(h'(x)=f(x^2)\cdot 2x\Rightarrow h'(2)=4f(4)=20\).
합 \(=30\). ① 두 쪽 모두 속미분 누락 (\(5+5\)) · ③ \(h\) 쪽만 누락 (\(10+5\)) · ④ \(g\) 쪽만 누락 (\(5+20\)) · ⑤ \(f(u(x))\) 대신 \(f(x)\) 대입 (\(2f(2)+4f(2)=18\)) §5.3 Example 4 선생님 메모 "☆☆☆ 반드시 출제 · chain rule" + "\(\int_1^{x}\) 와 \(\int_1^{2x}\) 인 경우를 비교하는 문제 출제 — 속미분 2 잊지 말 것" · 2025 Q12

\(u=\ln x,\ du=\frac1x\,dx\). 구간도 \(u\) 로: \(x=1\to u=0,\ x=e^3\to u=3\).
\(\displaystyle\int_0^3 u\,du=\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^3=\frac92\). ① 원래 예제(위끝 \(e\))의 답 \(\frac12\) 을 외움 · ③ \(\int du\) 만 계산 (피적분 \(u\) 누락) · ④ \(\frac12\) 누락 · ⑤ 구간을 \(u\) 로 바꾸지 않고 \(\left[\frac{u^2}{2}\right]_1^{e^3}\) §5.5 Example 9 선생님 메모 "☆☆☆ 반드시 출제 · 실전문제 시험" (\(\int_1^e\frac{\ln x}{x}dx\)) 변형 · 정리 6 ✓ (구간도 \(u\) 로)

\(e^{2x}=(e^x)^2\) 을 보고 \(u=e^x,\ du=e^x\,dx\). 구간: \(x=0\to u=1,\ x=\ln\sqrt3\to u=\sqrt3\).
\(\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\frac{du}{1+u^2}=\arctan\sqrt3-\arctan1=\frac\pi3-\frac\pi4=\frac{\pi}{12}\).
선생님이 구분하라고 한 세 적분: \(\int\frac{1}{1+x^2}\to\arctan\), \(\int\frac{2x}{1+x^2}\to\ln(1+x^2)\), \(\int\frac{2x}{1+x^4}\to u=x^2\) 로 arctan 형. ③ 아래끝을 \(x=0\to u=0\) 으로 두어 \(\arctan 0=0\) (구간 변환 실수) · ② \(\frac12\) 을 덧붙임 (\(u=x^2\) 형의 계수와 혼동) · ④ \(\ln\) 형으로 착각 · ⑤ \(u=e^{2x}\) 로 잘못 치환 §5.5 #66 ☆☆ (\(e^x\) 치환 → arctan 형 정적분, "50과 비슷") + #50 ☆☆ "출제 가능성 큼 — 비슷한 세 적분을 구분하라" · §5.4 Table 1 메모 "\(\tan^{-1}\) 출제 가능" · 2025 Q3 (arctan) 계열

상수 0 을 끼워 두 적분으로 나눈다: \(g(x)=-\displaystyle\int_0^{1-x}e^{t^2}dt+\int_0^{1+x}e^{t^2}dt\).
\(g'(x)=-e^{(1-x)^2}\cdot(1-x)'+e^{(1+x)^2}\cdot(1+x)'=-e^{(1-x)^2}\cdot(-1)+e^{(1+x)^2}\).
\(\Rightarrow g'(x)=e^{(1+x)^2}+e^{(1-x)^2}\).
🔴 \(e^{t^2}\) 은 초등함수로 적분되지 않는다 — FTC1 만이 길이다. ① 아래끝의 속미분 \((1-x)'=-1\) 을 빠뜨림 — 선생님 메모 "minus 가 없으면 합성함수에서는 plus?" 가 바로 이 지점 · ⑤ 위·아래끝 역할을 뒤집고 속미분도 누락 · ③ 아래끝 무시 · ④ 피적분함수를 한 번 더 미분 §5.3 #68·#69 선생님 메모 "(68·69) 반드시 출제" (위끝·아래끝 모두 함수, #69 는 \(e^{t^2}\)) + 필기 "상수 \(c\) 를 끼워 넣어 두 적분으로 나누기" · 2025 Q12 확장

Ⓐ \(u=2x,\ du=2\,dx\) → \(\displaystyle\int_0^2 f(2x)\,dx=\frac12\int_0^4 f(u)\,du\). 계수는 \(2\) 가 아니라 \(\frac12\) (가로 압축 → 넓이 절반). 거짓.
Ⓑ \(u=x^2,\ du=2x\,dx\), \(x:0\to2\Rightarrow u:0\to4\) → \(\frac12\displaystyle\int_0^4 f(u)\,du\). 참.
Ⓒ \(u=-x,\ du=-dx\), \(x:-3\to-1\Rightarrow u:3\to1\) → \(\displaystyle\int_3^1 f(u)(-du)=\int_1^3 f(u)\,du\) (reflection). 참.
sympy 로 \(f=e^x,\ x^3+2x+1,\ \cos x,\ \frac{1}{1+x^2}\) 네 함수에 대입해 참·거짓이 모두 같게 나옴을 확인했다. ⑤ Ⓐ 의 계수 방향(\(\frac12\) vs \(2\))을 뒤집음 — 2025 Q14 가 "셋 다 참"이었다고 또 전부 참으로 찍으면 틀린다 · ③ Ⓐ 오판 + Ⓑ 에서 \(x\,dx=\frac12du\) 의 \(\frac12\) 을 놓쳐 거짓 처리 · ①② 일부만 판정 §5.5 #93 (\(f(2x)\), 필기 "dilation") · #94 (\(xf(x^2)\), 메모 "\(u=x^2,\ du=2x\,dx\)") · #95 선생님 메모 "T/F 주요"(판독 추정, reflection) · 95–97 괄호 "T/F" · 2025 Q14 변형

Ⓐ \(x_2=3-\dfrac{9-10}{2\cdot3}=3+\dfrac16=\dfrac{19}{6}\). 참 (\(\sqrt{10}\approx3.1623\) 에 가까워짐).
Ⓑ \(f'(x)=\frac13x^{-2/3}\) → \(\dfrac{f(x)}{f'(x)}=\dfrac{x^{1/3}}{\frac13x^{-2/3}}=3x\) → \(x_2=x_1-3x_1=-2x_1\). \(|x_n|\) 이 매번 두 배가 되며 부호가 번갈아 → 발산. 참 (교재 #33).
Ⓒ \(f'(x_1)=0\) 이면 접선이 수평 → \(x\)축과 만나지 않으므로 \(x_2\) 는 정의되지 않는다. 거짓 (교재 #31). ⑤·④ Ⓒ 를 참으로 (분모 0 을 "그대로 머문다"로 오해) · ① Ⓑ 의 \(-2x_1\) 을 "근 쪽으로 간다"로 오판 · ② Ⓐ 에서 \(f(3)=-1\) 의 부호를 놓쳐 \(x_2=\frac{17}{6}\) 로 계산 §4.8 #31·#33 선생님 메모 "T/F 후보" · #29 메모 "거듭제곱근 → 정수(로 떨어지는 값) 출제" · Example 2 메모 "계산기 없이 풀 수 있는 예시만 출제" · 공식 2 ☆ · 2025 중간 0문항 → 신규 배정

목적함수(objective): 옆면 단가를 \(k\) 라 하면 \(C=3k\cdot\pi r^2+k\cdot2\pi rh\). 제약조건(constraint): \(\pi r^2h=V\).
풀이 1 (소거) \(h=\dfrac{V}{\pi r^2}\) → \(\dfrac Ck=3\pi r^2+\dfrac{2V}{r}\) → \(6\pi r-\dfrac{2V}{r^2}=0\Rightarrow V=3\pi r^3\) → \(h=\dfrac{V}{\pi r^2}=3r\).
풀이 2 (음함수 미분 — 선생님 방식) \(r\) 로 미분: \(6\pi r+2\pi h+2\pi r h'=0\), \(2rh+r^2h'=0\Rightarrow h'=-\dfrac{2h}{r}\) → \(6\pi r+2\pi h-4\pi h=0\Rightarrow h=3r\).
\(r\gt 0\) 에서 임계점이 하나이고 \(C'\) 이 음→양 → 절대 최솟값. \(\dfrac hr=3\). ③ 교과서 Example 2 (뚜껑 있는 같은 단가 캔, \(h=2r\))를 외움 · ① 단가 3배를 무시 (뚜껑 없는 같은 단가 캔) · ② \(3\pi r^2\) 미분에서 2 누락 (\(3\pi r-\frac{2V}{r^2}=0\)) · ⑤ 없는 뚜껑을 붙임 (\(4\pi r^2\)) §4.7 Example 2 ✓ (1 L 캔, \(h=2r\)) + Note 2 ☆ 선생님 메모 "ratio(비례식)로 변환" · Example 1 메모 "☆ 음함수 미분 ← 이거 많이 나옴" · 2025 중간 0문항 → 신규 배정

양변을 \(x\) 로 미분. 좌변(곱의 법칙): \((x^2e^{x-2})'=(2x+x^2)e^{x-2}\). 우변(FTC1+연쇄법칙): \(f(x^2)\cdot2x\).
\(\Rightarrow f(x^2)=\left(1+\dfrac x2\right)e^{x-2}\).
🔴 \(f(4)\) 는 \(x^2=4\), 즉 \(x=2\) 를 넣는다 (\(x=4\) 가 아니다): \(f(4)=(1+1)e^0=2\).
(검산: \(f(u)=e^{\sqrt u-2}\left(1+\frac{\sqrt u}{2}\right)\) 는 \(u=0\) 에서도 연속이며, \(x=1.5\) 에서 양변이 수치적으로 일치.) ⑤ \(x=4\) 를 대입 (2025 Q17 의 핵심 함정) · ④ 연쇄법칙 \(2x\) 누락 · ③ \(2x\) 대신 \(2\) 로만 나눔 · ① 곱의 법칙 누락 (\((x^2e^{x-2})'\) 을 \(2xe^{x-2}\) 로) Ch5 Problems Plus #1 필기 "product rule · chain rule → 양쪽 미분", \(f(4)\) 동그라미 · 2025 Q17 변형

교점: \(y^2=y+2\Rightarrow y=-1,\ 2\). 경계를 \(x\) 에 대해 쓰면 오른쪽 \(x_R=y+2\), 왼쪽 \(x_L=y^2\) — 한 식으로 끝난다.
\(A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(y+2-y^2\right)dy=\left[\frac{y^2}{2}+2y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2}=\frac{10}{3}+\frac76=\frac92\).
\(x\) 로 적분하면 아래 경계가 \([0,1]\) 에서 \(y=-\sqrt x\), \([1,4]\) 에서 \(y=x-2\) 로 바뀌어 둘로 나눠야 한다: \(\frac43+\frac{19}{6}=\frac92\) (같은 값). ③ \(x\) 로 적분하며 영역을 나누지 않고 \(\int_0^4(\sqrt x-(x-2))dx\) · ④ 오른쪽·왼쪽을 바꿈 · ① \(y\in[-1,0]\) 부분만 · ② \(y\in[0,2]\) 부분만 §6.1 Example 5 형광펜 + NOTE 선생님 메모 "주의" (\(x\) 로 하면 아래 경계가 두 곡선) · 정의 3 메모 "양수, 음수 구간 나눠서" · s54-57·58 필기 "\(dy\to\) base, 6.1 내용" · 2025 Q18 계열

교점 \(x=0,1\). \(0\lt x\lt 1\) 에서 \(x\gt x^2\) → 축 \(y=-1\) 에서 먼 쪽이 \(y=x\).
바깥 반지름 \(R=x+1\), 안쪽 반지름 \(r=x^2+1\) (축이 \(y=-1\) 이라 1 을 더한다).
\(V=\pi\displaystyle\int_0^1\left[(1+x)^2-(1+x^2)^2\right]dx=\pi\int_0^1\left(2x-x^2-x^4\right)dx=\pi\left(1-\frac13-\frac15\right)=\frac{7\pi}{15}\).
검산(껍질법): \(2\pi\displaystyle\int_0^1(y+1)(\sqrt y-y)\,dy=\frac{7\pi}{15}\) ✔ ③ 반지름을 제곱하지 않음 (\(\pi\int(R-r)\)) · ① \(\pi\int(R-r)^2\) 로 계산 · ② 축 이동을 무시하고 \(x\)축 회전 · ⑤ 교과서 Ex5 (축 \(y=2\)) 값 \(\frac{8\pi}{15}\) 을 외움 §6.2 Example 5 선생님 메모 "제곱 잊지 말기" · Example 3 "꼭 주의☆ 축에 따라 방법 달라짐" · Example 4 "☆ 2가지 방법" · 2025 Q19 (volume - disk) 계열

축 \(x=-1\) 은 \(y\)축에 평행, 경계는 \(y=f(x)\) 꼴 → 세로 직사각형을 돌리는 원통껍질법.
반지름 \(=x-(-1)=x+1\), 높이 \(=3x-x^2\), \(0\le x\le3\).
\(V=2\pi\displaystyle\int_0^3(x+1)(3x-x^2)\,dx=2\pi\left(\frac{27}{4}+\frac92\right)=\frac{45\pi}{2}\). ④ 반지름을 \(x\) 로 (\(y\)축 회전) · ② 반지름을 \(x-1\) 로 (축 방향 부호 실수) · ③ \(2\pi\) 대신 \(\pi\) · ① \(x\)축 원판법으로 계산 §6.3 Example 5 ✓ (\(x=-1\) 축 — 껍질 = 와셔 \(\frac{16\pi}{3}\)) · 선택 기준 메모 (회전축과 평행 → 껍질) · 2025 Q20 (volume - shell) 변형

구의 중심을 원점으로. 높이 \(y\ (-2\le y\le2)\) 의 얇은 원판: 반지름\(^2=4-y^2\), 무게 \(=\pi(4-y^2)\,dy\) (밀도 1).
🔴 들어올리는 거리 = 배출구 높이 \(2+3=5\) 까지 → \(5-y\).
\(W=\pi\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-y^2)(5-y)\,dy=5\pi\int_{-2}^{2}(4-y^2)dy-\pi\int_{-2}^{2}y(4-y^2)dy=5\cdot\frac{32\pi}{3}-0=\frac{160\pi}{3}\).
무게중심 검산: 전체 무게 \(\frac43\pi\cdot8=\frac{32\pi}{3}\) × (구의 중심 → 배출구 거리 5) \(=\frac{160\pi}{3}\) ✔ ② 배출구 3 cm 를 무시 (꼭대기까지만, 거리 \(2-y\)) · ① 거리를 곱하지 않음 (무게만) · ④ 모든 물을 지름 4 만큼 들어올림 · ⑤ 지름 4 + 3 s64-24 🔥 선생님 메모 "☆ 점수 주는 문제 · sphere 의 무게중심 = 구의 중심" (원형: 반지름 3 m, 주둥이 1 m 위 → 반지름 2, 주둥이 3 위로 수치 변형) · §6.4 Ex5 필기 "전체 무게 × 무게중심 이동 거리" · 2025 Q21 (work, cm·g 단위 계승)

느린 주자가 \(S\) 에서 \(x\) 만큼 가면 빠른 주자는 \(4x\). \(\theta=\arctan 4x-\arctan x\ (x\gt 0)\).
풀이 1 (arctan → 양함수 미분) \(\theta'=\dfrac{4}{1+16x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=0\Rightarrow 4+4x^2=1+16x^2\Rightarrow x=\dfrac12\).
\(x\lt\frac12\) 에서 \(\theta'\gt0\), \(x\gt\frac12\) 에서 \(\theta'\lt0\) → 절대 최댓값 (절대극값 1계 판정).
\(\theta=\arctan2-\arctan\frac12\), \(\tan\theta=\dfrac{2-\frac12}{1+2\cdot\frac12}=\dfrac34\Rightarrow\theta=\arctan\dfrac34\).
풀이 2 (tan → 음함수 미분) \(\tan\theta=\dfrac{4x-x}{1+4x^2}=\dfrac{3x}{1+4x^2}\) → \(\sec^2\theta\,\theta'=\dfrac{3-12x^2}{(1+4x^2)^2}=0\Rightarrow x=\dfrac12\). ① 교과서 원형(3배)의 답 \(\frac\pi6\) 을 외움 · ④ tan 뺄셈공식에서 분모 \(1+\tan\alpha\tan\beta\) 누락 (\(2-\frac12=\frac32\)) · ⑤ 빠른 주자의 각 \(\arctan 2\) 에서 멈춤 · ② 느린 주자의 각 \(\arctan\frac12\) §4.7 #81 🔥 ☆ 선생님 메모 "시야각 · arctan → 양함수 미분 / tan → 음함수 미분 ← 너무 사랑하심(자주 냄)" (원형 3배 → 4배 변형) · #84 (같은 구조) · 절대극값 1계 판정 ☆ · 2025 중간 0문항 → 신규 배정