2026 HAFS 미적분학Ⅱ — 2학기 중간 예상시험지 v2교재·마킹 직접 변형 · §4.7~§6

단위 맞추기: \(\rho\) 와 \(x\) 가 cm 기준이므로 길이 \(0.64\ \text{m}=64\ \text{cm}\).
\(m=\displaystyle\int_0^{64}3x^{-1/2}\,dx=\Big[6\sqrt x\Big]_0^{64}=6\cdot8=48\ \text{g}\). ① \(\tfrac{3}{\sqrt x}\) 대신 \(3\sqrt x\) 를 적분 (\(2x^{3/2}\big|_0^{64}=1024\)) · ② \(x^{-1/2}\) 의 역도함수에서 계수 2 를 빠뜨림 (\(3\sqrt x\big|_0^{64}\)) · ④ 역도함수를 \(\tfrac12x^{1/2}\) 로 씀 (지수의 역수를 곱하지 않고 나눔) · ⑤ m→cm 변환 없이 \(\int_0^{0.64}\) 로 계산 (\(6\sqrt{0.64}=4.8\)) 4.9 연습문제 #78(교재 p.363, 길이 1 m, \(\rho=1/\sqrt x\) g/cm)의 밀도를 \(3/\sqrt x\), 길이를 0.64 m 로 바꿈 — m→cm 단위 함정 유지 · 선생님 🔥 메모 "이것도 기본 · 밀도함수? 질량?" · 2025 Q9(막대 질량) 계열
원 문제: Linear density ρ(x)=1/√x g/cm of a rod of length 1 m (x in cm); find the mass. → 바꾼 것: density → 3/√x g/cm, length 1 m → 0.64 m (unit trap kept)

전개: \(f'(t)=\sec^2t-2\sec t\tan t\).
공식표: \(\int\sec^2t\,dt=\tan t\), \(\int\sec t\tan t\,dt=\sec t\) 이므로 \(f(t)=\tan t-2\sec t+C\).
\(f(\tfrac{\pi}{3})=\sqrt3-2\cdot2+C=\sqrt3\Rightarrow C=4\).
\(f(\tfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{\sqrt3}-\dfrac{4}{\sqrt3}+4=4-\sqrt3\). ② \(\sec^2t\to\sec t\), \(\sec t\tan t\to\tan t\) 로 역도함수를 서로 바꿈 (\(f=\sec t-2\tan t+C\)) · ③ \(-2\sec t\tan t\) 의 역도함수 부호를 \(+2\sec t\) 로 씀 · ④ 적분상수 \(C\) 를 빠뜨림 (\(C=0\)) · ⑤ \(C\) 를 구할 때 이항 부호 실수로 \(C=-4\) 4.9 연습문제 #43(교재 p.362, \(f'(t)=\sec t(\sec t+\tan t)\), \(f(\pi/4)=-1\))의 괄호 안 식을 \(\sec t-2\tan t\), 초기조건을 \(f(\pi/3)=\sqrt3\) 으로 바꾸고 \(f(\pi/6)\) 을 묻게 함 · 선생님 파란 ○ · §4.9 역도함수 공식표(Table 2) 이용
원 문제: f'(t)=sec t (sec t + tan t), −π/2<t<π/2, f(π/4)=−1; find f. → 바꾼 것: integrand → sec t (sec t − 2 tan t), condition → f(π/3)=√3, asks for f(π/6)

순변화 정리: \(\displaystyle\int_0^{9}n'(t)\,dt=n(9)-n(0)\) 은 처음 9주 동안의 증가량이다.
\(\displaystyle\int_0^{9}12t^{1/2}\,dt=\left[8t^{3/2}\right]_0^{9}=8\cdot27=216\).
여기에 처음 개체수 \(n(0)=200\) 을 더하면 \(200+216=416=n(9)\), 즉 9주 후의 꿀벌 수이다. ① 초기값 200 을 더하지 않고 증가량 216 만 답함(값과 의미가 어긋남) · ③ 값은 맞지만 의미를 '증가량'으로 읽음 — 증가량은 적분 부분 216 뿐이고 200 을 더하면 '총 개체수' · ④ 적분 대신 순간 변화율 \(n'(9)=36\) 을 더함 · ⑤ 변화율이 일정하다고 보고 \(n'(9)\times9=324\) 를 더함 5.4 연습문제 #62(교재 p.416, '100+∫₀¹⁵n′(t)dt 는 무엇을 나타내는가')의 해석 질문을 초기값 100→200, 구체적 변화율 n′(t)=12√t·구간 15→9주로 바꾸어 값+의미 선택형으로 만듦 · 선생님 신호: 59–65 파란 괄호 "중요." · 2025 Q8(5.4 #73 순변화·질량) 계열
원 문제: A honeybee population starts with 100 bees and increases at a rate of n'(t) bees per week. What does 100+∫_0^15 n'(t)dt represent? → 바꾼 것: 초기값 100→200, n′(t)=12√t 로 구체화, 구간 [0,15]→[0,9] — 해석 + 값 계산

\(u=x^3\) 로 두면 \(g(x)=\displaystyle\int_0^{u}\sin(t^2)\,dt\).
FTC1 + 연쇄법칙: \(g'(x)=\sin(u^2)\cdot\dfrac{du}{dx}=\sin\left((x^3)^2\right)\cdot3x^2\).
\((x^3)^2=x^6\) 이므로 \(g'(x)=3x^2\sin\left(x^6\right)\). (\(\sin(t^2)\) 은 초등함수로 적분되지 않으므로 적분을 먼저 계산하려 하지 않는다.) ① 속미분 \(3x^2\) 누락 — 위끝이 \(x\) 일 때처럼 처리 · ② \((x^3)^2\) 를 \(x^{3+2}=x^5\) 로 계산(지수 법칙 실수) · ④ 피적분 함수 \(\sin\) 을 한 번 더 미분해 \(\cos\) 로 바꿈 · ⑤ 위끝 \(x^3\) 대신 \(x\) 를 대입하고 속미분만 곱함 5장 Review #53(교재 p.430, g(x)=∫₀^{x⁴}cos(t²)dt 의 도함수)의 위끝 x⁴→x³, 피적분 cos(t²)→sin(t²) 로 바꿈 · 선생님 신호: 51–54 괄호 "☆ 반드시 출제" · 2025 Q12(∫₀^{x²} t/(1+t²)dt 의 도함수)의 출처 문항
원 문제: Find the derivative of g(x)=∫_0^{x^4} cos(t^2) dt. → 바꾼 것: 위끝 x⁴→x³, 피적분 cos(t²)→sin(t²)

원뿔의 꼭짓점이 아래 밑면 중심, 높이 3 에서 반지름 3 → 높이 \(y\) 에서 원뿔 단면 반지름 \(=y\).
\(S\) 의 단면 = 바깥 반지름 3, 안쪽 반지름 \(y\) 인 고리: \(A(y)=\pi(9-y^2)\).
반구의 높이 \(y\) 단면은 반지름 \(\sqrt{9-y^2}\) 인 원: \(\pi(9-y^2)\) — 모든 높이에서 같으므로 부피도 같다.
\(V=\pi\cdot3^2\cdot3-\tfrac13\pi\cdot3^2\cdot3=27\pi-9\pi=18\pi\) (검산: \(\int_0^3\pi(9-y^2)dy=18\pi\)). ① 단면은 맞지만 부피로 원뿔 부피 \(9\pi\) 를 씀(빼야 할 것을 답으로) · ② 고리 대신 원뿔 쪽 원을 단면으로, 부피도 원뿔 부피 · ④ 원뿔의 꼭짓점을 위로 착각해 안쪽 반지름을 \(3-y\) 로 — 반구 단면과 같지 않다 · ⑤ 반구가 아니라 구 전체 부피 \(\tfrac43\pi\cdot27=36\pi\) 6.2 연습문제 #79(카발리에리 원리로 반지름 r 반구 = 반지름 r·높이 r 원기둥 − 원뿔 · 교재 p459, 그림 서술로 대체) 의 '보여라' 를 반지름 3 의 단면·부피 선택형으로 · 선생님 메모 '기본' · 카발리에리 원리 박스(#78–79) 밑줄
원 문제: Use Cavalieri's Principle to show that a hemisphere of radius r has the volume of a cylinder of radius r and height r with a cone removed → 바꾼 것: proof -> multiple choice; r -> 3; asks cross-section A(y) of the cylinder-minus-cone and the volume

출발점에서 같이 출발하므로 위치는 \(s_A(t)=\int_0^t 4u\,du=2t^2\), \(s_B(t)=\int_0^t u^2\,du=\tfrac{t^3}{3}\).
Ⓐ \(t=2\): \(s_A=8\), \(s_B=\tfrac83\) → A 가 앞선다. 거짓.
Ⓑ \(0\lt t\lt4\) 에서 \(4t\gt t^2\) 이므로 넓이 \(=\displaystyle\int_0^4(4t-t^2)\,dt=32-\tfrac{64}{3}=\tfrac{32}{3}\) \(=s_A(4)-s_B(4)\) = \(t=4\) 에서 A 가 앞선 거리. 참.
Ⓒ \(2t^2=\tfrac{t^3}{3}\Rightarrow t=6\) (\(t\gt0\)). 참. (속도가 같아지는 \(t=4\) 는 두 차 사이가 가장 벌어지는 순간이지 다시 나란해지는 순간이 아니다.) ① Ⓐ 를 참으로 봄 — 속도 그래프의 위아래와 위치(앞뒤)를 혼동, Ⓑ·Ⓒ 판정 누락 · ③ Ⓐ 를 참, Ⓒ 를 거짓으로 봄 — 속도가 같아지는 t=4 를 '다시 나란해지는 시각'으로 착각 · ④ Ⓑ 의 넓이 의미(앞선 거리)를 놓침 · ⑤ Ⓐ 까지 참으로 봄 — t=2 에서 v_A=8 > v_B=4 인데도 B 가 앞선다고 판단 6.1 연습문제 #61(두 차 A·B 의 속도 그래프, (a) 1분 뒤 누가 앞서나 (b) 색칠한 넓이의 의미 (c) 2분 뒤 (d) 다시 나란해지는 시각 · 교재 p444) 의 그래프를 수식 v_A=4t, v_B=t² 로 바꾸고 (a)(b)(d) 를 참거짓 진술로 · 선생님 메모 '기본문제 · T/F'
원 문제: Cars A and B start side by side; from the velocity graphs decide who is ahead, the meaning of the shaded area, and when they are side by side again → 바꾼 것: graphs -> formulas v_A=4t, v_B=t^2 (m/s); questions -> 3 T/F statements (t=2, area on [0,4], t=6)

\(\int2^t\,dt=\dfrac{2^t}{\ln2}\), \(\int\dfrac2t\,dt=2\ln|t|\). 정의역이 \(t\gt0\), \(t\lt0\) 두 구간으로 갈라지므로 상수가 두 개:
\(f(t)=\dfrac{2^t}{\ln2}+2\ln|t|+C_1\ (t\gt0)\), \(f(t)=\dfrac{2^t}{\ln2}+2\ln|t|+C_2\ (t\lt0)\).
\(f(1)=\dfrac{2}{\ln2}+C_1=0\Rightarrow C_1=-\dfrac{2}{\ln2}\); \(f(-1)=\dfrac{1}{2\ln2}+C_2=0\Rightarrow C_2=-\dfrac{1}{2\ln2}\).
\(f(2)=\dfrac{4}{\ln2}+2\ln2-\dfrac{2}{\ln2}=\dfrac{2}{\ln2}+2\ln2\), \(f(-2)=\dfrac{1}{4\ln2}+2\ln2-\dfrac{1}{2\ln2}=-\dfrac{1}{4\ln2}+2\ln2\).
\(f(2)+f(-2)=\dfrac{7}{4\ln2}+4\ln2\). ① 상수를 하나만 써서 \(C_1=-\tfrac{2}{\ln2}\) 을 \(t\lt0\) 에도 적용 · ② \(\int2^t\,dt\) 를 \(2^t\ln2\)(= \(2^t\) 의 도함수)로 착각 · ③ \(\int\tfrac2t\,dt\) 의 계수 2 를 빠뜨려 \(\ln|t|\) 로 씀 · ④ 적분상수를 모두 빠뜨림 (\(C_1=C_2=0\)) 4.9 연습문제 #44(교재 p.362, \(f'(t)=3^t-3/t\), \(f(1)=2\), \(f(-1)=1\))의 함수를 \(2^t+2/t\), 초기조건을 \(f(1)=f(-1)=0\) 으로 바꾸고 \(f(2)+f(-2)\) 를 묻게 함 — 0 을 사이에 둔 두 구간·상수 두 개 구조 유지 · 선생님 파란 ○ · §4.9 Example 1(b) \(C_1,C_2\)
원 문제: f'(t)=3^t − 3/t, f(1)=2, f(−1)=1; find f (two constants on t>0 and t<0). → 바꾼 것: f'(t) → 2^t + 2/t, conditions → f(1)=0, f(−1)=0, asks for f(2)+f(−2)

접점: \(F(3)=\displaystyle\int_3^{3}\sqrt{t^2+16}\,dt=0\) → 점 \((3,\,0)\).
기울기: FTC1 로 \(F'(x)=\sqrt{x^2+16}\) → \(F'(3)=\sqrt{25}=5\).
접선: \(y-0=5(x-3)\), 즉 \(y=5x-15\).
\(x=0\) 을 넣으면 \(y\)절편은 \(-15\). ② 접선식 \(y=5(x-3)\) 에서 부호를 잘못 옮겨 \(+15\) · ③ \(F(3)\) 을 피적분 함수 값 \(f(3)=5\) 로 착각해 \(y-5=5(x-3)\) · ④ 기울기를 피적분 함수의 도함수 \(f'(3)=\frac35\) 로 잡음(FTC1 대신 한 번 더 미분) · ⑤ FTC2 처럼 \(F'(3)=f(3)-f(3)=0\) 으로 계산해 수평 접선 \(y=0\) 5.3 연습문제 #75(교재 p.408, F(x)=∫₂ˣe^{t²}dt 의 x=2 접선의 방정식)의 피적분·아래끝을 √(t²+16)·3 으로 바꾸고 질문을 '접선의 방정식'→'접선의 y절편'으로 바꿈 · 2025 Q13(∫₁ˣe^{−t²}dt, x=1 접선) 출처 문항 · 수업 필기 "(2, F(2)), 기울기 F′(2)"
원 문제: Let F(x)=∫_2^x e^{t^2} dt. Find an equation of the tangent line to y=F(x) at the point with x-coordinate 2. → 바꾼 것: 피적분 e^{t²}→√(t²+16), 아래끝·접점 2→3, 묻는 것: 접선의 방정식→y절편

\(2\pi x^3=2\pi\cdot x\cdot x^2\) 을 껍질법 \(2\pi\cdot(\text{반지름})\cdot(\text{높이})\) 로 읽는다: 반지름 \(x\) → 축은 \(y\)축, 높이 \(x^2\) → 곡선 \(y=x^2\) 아래, \(1\le x\le2\).
값: \(2\pi\left[\frac{x^4}{4}\right]_1^2=\frac{15\pi}{2}\).
다른 선택지의 부피 적분: ① \(2\pi\int_1^2x\cdot x^3dx=\frac{62\pi}{5}\) ② \(\pi\int_1^2x^4dx=\frac{31\pi}{5}\) ③ \(2\pi\int_1^2(x+1)x^2dx=\frac{73\pi}{6}\) ⑤ \(\pi\int_1^2x^6dx=\frac{127\pi}{7}\) — 모두 주어진 적분과 다르다. ① \(x^3\) 을 높이로 그대로 읽음(반지름 \(x\) 를 따로 떼어내지 않음) · ② \(2\pi\) 와 \(\pi\) 를 구분하지 못하고 원판법으로 읽음 (\(\pi\int x^4dx\)) · ③ 반지름이 \(x\) 가 아니라 \(x+1\) 인 경우 — 축까지의 거리 확인 누락 · ⑤ \(x^3\) 을 원판 반지름으로 읽음 (\(\pi\int (x^3)^2dx\)) 6.3 연습문제 #39(∫₀³ 2πx⁵dx 가 나타내는 입체를 설명 · 교재 p466) 의 적분을 ∫₁² 2πx³dx 로 바꾸고, 서술형 '설명하라' 를 회전 영역·축 설명 5개 중 고르는 선택형으로 · 파란 ○ s63-39 수업 필기(y=x⁴, 2πx·y 꼴) · 드릴 Q32(#40, 2πy ln y)와 다른 적분
원 문제: Describe the solid whose volume is the integral from 0 to 3 of 2*pi*x^5 dx → 바꾼 것: integral -> int_1^2 2 pi x^3 dx; free description -> choose among 5 region/axis descriptions

FTC1: \(F'(x)=\dfrac{x}{1+x^3}\).
몫의 미분: \(F''(x)=\dfrac{1\cdot(1+x^3)-x\cdot3x^2}{(1+x^3)^2}=\dfrac{1-2x^3}{(1+x^3)^2}\).
\(F''(1)=\dfrac{1-2}{2^2}=-\dfrac14\). ① \(F'(1)=\frac12\) 에서 멈춤(한 번만 미분) · ② 몫의 미분에서 분자 순서를 거꾸로(\(uv'-u'v\)) 써서 부호가 바뀜 · ③ 분모를 제곱하지 않음: \(\frac{1-2}{2}\) · ⑤ 분자에서 \(u'v=1\cdot(1+x^3)\) 항을 빠뜨림: \(-\frac{3}{4}\) 5장 Review #51(교재 p.430, F(x)=∫₀ˣ t²/(1+t³)dt 의 도함수)의 피적분을 t/(1+t³) 로 바꾸고, 도함수 식 대신 F″(1) 값을 묻도록 바꿈(FTC1 → 몫의 미분) · 선생님 신호: 51–54 괄호 "☆ 반드시 출제"
원 문제: Find the derivative of F(x)=∫_0^x t^2/(1+t^3) dt. → 바꾼 것: 피적분 t²/(1+t³)→t/(1+t³), 묻는 것: F′(x)→F″(1) 값

교점: \(\sin x=\sin 2x=2\sin x\cos x\Rightarrow \sin x(1-2\cos x)=0\Rightarrow x=0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \pi\).
\(0\lt x\lt\frac{\pi}{3}\) 에서 \(\sin 2x\gt\sin x\), \(\frac{\pi}{3}\lt x\lt\pi\) 에서 \(\sin x\gt\sin 2x\) → 구간을 나눠 위−아래.
\(\displaystyle\int_0^{\pi/3}(\sin 2x-\sin x)\,dx=\left[-\tfrac12\cos 2x+\cos x\right]_0^{\pi/3}=\tfrac34-\tfrac12=\tfrac14\).
\(\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi}(\sin x-\sin 2x)\,dx=\left[-\cos x+\tfrac12\cos 2x\right]_{\pi/3}^{\pi}=\tfrac32-\left(-\tfrac34\right)=\tfrac94\).
넓이 \(=\tfrac14+\tfrac94=\tfrac52\). ① \(\left[0,\frac{\pi}{3}\right]\) 조각만 계산 · ② 절댓값을 무시하고 \(\int_0^{\pi}(\sin x-\sin 2x)dx=2\) (음수 조각이 상쇄됨) · ③ \(\left[\frac{\pi}{3},\pi\right]\) 조각만 계산 · ⑤ \(\sin 2x\) 의 부정적분을 \(-\cos 2x\) 로 (안쪽 미분 \(\frac12\) 누락) 6.1 연습문제 #27(y=cos x, y=sin 2x, 0≤x≤π/2 넓이 · 교재 p443) 과 #43(∫₀^{π/2}|sin x − cos 2x|dx 를 넓이로 해석 · p443) 을 합쳐, 곡선을 sin x·sin 2x 로, 구간을 [0, π] 로 바꿈 · 마킹 s61-27·s61-43 · 2025 Q18 의 출처(같은 적분 꼴)
원 문제: #27: area between y=cos x and y=sin 2x on [0, pi/2]; #43: evaluate the integral of |sin x - cos 2x| on [0, pi/2] and interpret it as an area → 바꾼 것: curves -> y=sin x, y=sin 2x; interval -> [0, pi] (intersection at pi/3, two pieces 1/4 and 9/4)

폭 \(\dfrac1n\) 을 앞으로 뺀다: \(\dfrac{i^3}{n^4}+\dfrac{3i^2}{n^3}=\dfrac1n\left[\left(\dfrac in\right)^3+3\left(\dfrac in\right)^2\right]\).
\(x_i=\dfrac in\), \(\Delta x=\dfrac1n\) on \([0,1]\) 이므로 극한 \(=\displaystyle\int_0^1\left(x^3+3x^2\right)dx\).
\(=\left[\dfrac{x^4}{4}+x^3\right]_0^1=\dfrac14+1=\dfrac54\). ① 계수 3 을 빠뜨림: \(\frac14+\frac13\) · ② \(\frac{i^3}{n^4}\) 를 \(x^4\) 로 읽음(n 의 지수를 그대로 x 의 지수로): \(\frac15+1\) · ③ \(\frac{3i^2}{n^3}\) 도 \(3x^3\) 으로 읽음: \(\int_0^1 4x^3dx=1\) · ④ \(3x^2\) 의 역도함수를 \(6x\)(미분)로 착각: \(\frac14+3\) 5.3 연습문제 #85(교재 p.408, lim Σ(i⁴/n⁵+i/n²))의 두 항을 i³/n⁴, 3i²/n³ 로 바꿈(같은 '1/n 빼고 [0,1] 정적분' 구조) · 선생님 신호: 파란 ☆ + 판서 공식 Σ(b−a)/n·f(a+(b−a)i/n)
원 문제: Evaluate lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (i^4/n^5 + i/n^2) by recognizing a Riemann sum on [0,1]. → 바꾼 것: 항 i⁴/n⁵ + i/n² → i³/n⁴ + 3i²/n³ (피적분 x⁴+x → x³+3x²)

\(y=x(x-2)^2\ge0\) 이고 \(x=0,2\) 에서 0 → 영역은 \(0\le x\le2\). (와셔로 하려면 \(y=x(x-2)^2\) 를 \(x\) 에 대해 풀어야 해서 불편 → 껍질.)
반지름 \(x\), 높이 \(x(x-2)^2\): \(V=2\pi\displaystyle\int_0^2 x\cdot x(x-2)^2\,dx=2\pi\int_0^2(x^4-4x^3+4x^2)\,dx\).
\(=2\pi\left(\tfrac{32}{5}-16+\tfrac{32}{3}\right)=2\pi\cdot\tfrac{16}{15}=\tfrac{32\pi}{15}\). ① \(x\)축 회전 원판법 \(\pi\int_0^2 x^2(x-2)^4dx\) 으로 계산 · ② \(2\pi\) 대신 \(\pi\) · ③ 반지름 \(x\) 를 빠뜨림 \(2\pi\int_0^2 x(x-2)^2dx\) · ④ 반지름을 \(2-x\) 로 (축을 \(x=2\) 로 착각) 6.3 연습문제 #1(y=x(x−1)² 영역을 y축 회전, 와셔가 불편한 이유·껍질로 V · 교재 p464, 그림을 서술로 대체) 의 함수를 x(x−2)² 로 교체 · 마킹 s63-1 수업 필기 · 2025 Q20(y=x²(3−x) y축 회전) 의 출처 — v1 Q20(45π/2)·드릴 Q20 과 다른 함수
원 문제: Rotate the region under y=x(x-1)^2, 0<=x<=1, about the y-axis; explain why washers are awkward; use shells → 바꾼 것: function -> y=x(x-2)^2 on [0,2] (double root at x=2 kept)

\(AB=x\), \(DC=2x\), \(BC=y\) 로 둔다. 울타리: \(x+2x+y=360\Rightarrow y=360-3x\) (강 쪽 \(AD\) 는 제외).
넓이(사다리꼴) \(A=\dfrac{x+2x}{2}\,y=\dfrac{3x}{2}(360-3x)=540x-\dfrac92x^2\), \(0\lt x\lt 120\).
(선생님 방식: \(2x\) 를 \(x\) 와 \(x\) 로 나눠 직사각형 \(xy\) + 직각삼각형 \(\tfrac12 xy\) 로 보아도 \(A=\tfrac32xy\).)
\(A'(x)=540-9x=0\Rightarrow x=60\), \(A''=-9\lt0\) 이므로 최대. 이때 \(y=180\).
\(A_{\max}=\dfrac{3\cdot60}{2}\cdot180=16200\ \text{m}^2\). ① 직사각형 부분 \(xy=60\cdot180\) 만 계산하고 삼각형 \(\tfrac12xy\) 를 빠뜨림 · ③ 넓이를 긴 변 기준 직사각형 \(2x\cdot y\) 로 잡음 (\(2x(360-3x)\), \(x=60\)) · ④ 울타리 식에서 짧은 변 \(x\) 를 빠뜨려 \(y=360-2x\) 로 둠 (\(x=90\), \(135\cdot180\)) · ⑤ 사다리꼴 넓이 공식에서 \(\tfrac12\) 을 빠뜨림 (\(3x\cdot y\)) 4.7 연습문제 #14(교재 p.343, 울타리 400 m·평행변 3배)의 울타리 길이를 360 m, 평행변 비를 2배로 바꿈 · 선생님 메모 "전년도 기출"(정연 확인: 재작년 이전 기출) + 그림 위 3x→2x+x 분할 메모(직사각형+삼각형 풀이) · 그림 대신 직각사다리꼴 조건을 서술로 명시
원 문제: 400 m of fencing, trapezoidal field along a river, one parallel side three times the other; find the largest area. → 바꾼 것: fencing 400→360 m, ratio of parallel sides 3→2 (figure replaced by verbal description)

FTC1 + 연쇄법칙(아래끝은 상수라 영향 없음): \(g'(x)=\dfrac{\sin^2x}{1+\sin^4x}\cdot\cos x\).
\(x=\dfrac\pi3\): \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\), \(\sin^2x=\dfrac34\), \(\sin^4x=\dfrac{9}{16}\), \(\cos x=\dfrac12\).
\(\dfrac{3/4}{25/16}=\dfrac{12}{25}\) 이므로 \(g'\!\left(\dfrac\pi3\right)=\dfrac{12}{25}\cdot\dfrac12=\dfrac{6}{25}\). ① 속미분 \(\cos x\) 누락 · ② 속미분을 \(\cos x\) 대신 \(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\) 로 곱함 · ③ FTC2 처럼 아래끝 값 \(f(1)=\frac12\) 을 빼고 \(\cos x\) 를 곱함: \((\frac{12}{25}-\frac12)\cdot\frac12\) · ④ 피적분 함수에 \(\sin x\) 대신 \(\cos x=\frac12\) 를 대입: \(\frac{4}{17}\cdot\frac12\) 5장 Review #54(교재 p.430, g(x)=∫₁^{sin x}(1−t²)/(1+t⁴)dt 의 도함수)의 위끝 sin x·아래끝 상수 1 은 그대로 두고 피적분을 t²/(1+t⁴) 로 바꾸고 x=π/3 에서의 값을 묻도록 함 · 선생님 신호: 51–54 괄호 "☆ 반드시 출제"
원 문제: Find the derivative of g(x)=∫_1^{sin x} (1−t^2)/(1+t^4) dt. → 바꾼 것: 피적분 (1−t²)/(1+t⁴)→t²/(1+t⁴), 도함수 식 → g′(π/3) 값

세팅: 원판의 반지름 \(R=3\sqrt3\) 이 원뿔의 모선이 된다(상수). 원뿔 밑면 반지름 \(r\), 높이 \(h\) 이면 \(r^2+h^2=R^2=27\).
\(V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac{\pi}{3}(27-h^2)h=\dfrac{\pi}{3}(27h-h^3)\), \(0\lt h\lt 3\sqrt3\).
\(V'(h)=\dfrac{\pi}{3}(27-3h^2)=0\Rightarrow h=3\) (즉 \(h=R/\sqrt3\)), \(V''=-2\pi h\lt0\) 이므로 최대.
\(r^2=27-9=18\), \(V_{\max}=\dfrac{\pi}{3}\cdot18\cdot3=18\pi\ \text{cm}^3\). ① \(r\) 과 \(h\) 를 바꿔 \(r=R/\sqrt3=3\) 으로 둠 (\(h=3\sqrt2\), \(V=9\sqrt2\pi\)) · ② \(h=R/3=\sqrt3\) 으로 잘못 놓음 (\(r^2=24\), \(V=8\sqrt3\pi\)) · ③ \(r=h\) (즉 \(h=R/\sqrt2\)) 일 때 최대라고 착각 · ⑤ 원뿔 부피의 \(\tfrac13\) 을 빠뜨림 (\(\pi r^2h=54\pi\)) 4.7 연습문제 #47(교재 p.344, 반지름 \(R\) 문자 그대로, 그림의 A·B 는 발문에서 서술로 대체 최대 용량)의 반지름을 \(3\sqrt3\) cm 로 구체화 · 선생님 🔥☆(파랑) · 메모 "각도의 양함수 미분", 수업 필기 "세팅 중요, \(R\to\) constant" — 모선 \(=R\) 세팅이 핵심
원 문제: Cone cup made from a circular paper of radius R by cutting out a sector; find the maximum capacity. → 바꾼 것: radius R (symbolic) → 3√3 cm so the answer is the exact number 18π

교점: \(\dfrac{2}{1+x^2}=x\Rightarrow x^3+x-2=0\Rightarrow(x-1)(x^2+x+2)=0\Rightarrow x=1\). \(0\le x\le1\) 에서 위 \(\frac{2}{1+x^2}\), 아래 \(x\).
와셔(\(dy\))는 \(y=1\) 위아래로 경계가 바뀌고 \(x=\sqrt{\frac2y-1}\) 이 필요 → 껍질(\(dx\))이 자연스럽다.
\(V=2\pi\displaystyle\int_0^1 x\left(\frac{2}{1+x^2}-x\right)dx=2\pi\left[\ln(1+x^2)-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=2\pi\left(\ln2-\frac13\right)\). ① \(2\pi\) 대신 \(\pi\) · ③ 뒤 항에서 반지름 \(x\) 를 빠뜨림: \(\int_0^2\frac x2\,dx\) 대신 \(\int_0^2\frac12dx=1\) 로 계산 · ④ \(\int_0^2\frac{5x}{1+x^2}dx\) 를 \(5\ln5\) 로 (치환 \(u=1+x^2\), \(du=2x\,dx\) 의 \(\tfrac12\) 을 빠뜨림) · ⑤ 반지름 \(x\) 를 통째로 빠뜨림: \(2\pi\int_0^2\left(\frac{5}{1+x^2}-\frac x2\right)dx\) 6.3 연습문제 #47(y=1/(1+x²), y=x/2, y축으로 둘러싸인 그림 영역을 y축 회전 · 교재 p466) 의 곡선을 5/(1+x²)·y=x/2 (교점 x=2)로 바꾸고 그림 없이 서술로 영역을 정의 · 같은 묶음 47–52 '아무 방법' 중 와셔 대신 껍질이 쉬운 경우를 고르는 구조(#49 의 y축 회전 변형) · 파란 ○ s63-47·s63-49
원 문제: #47: rotate the region bounded by y=1/(1+x^2), y=x/2 and the y-axis about the y-axis; #49: rotate the region under y=sqrt(sin x), 0<=x<=pi, about the x-axis (any method) → 바꾼 것: curves -> y=5/(1+x^2), y=x/2 (intersection x=2); region given in words; y-axis rotation by shells

분모·분자를 \(n^2\) 으로 나눈다: \(\dfrac{\sqrt3\,n}{n^2+3i^2}=\dfrac{\sqrt3}{n}\cdot\dfrac{1}{1+\left(\frac{\sqrt3\,i}{n}\right)^2}\).
\(\Delta x=\dfrac{\sqrt3}{n}\), \(x_i=\dfrac{\sqrt3\,i}{n}\) (\(a=0,\ b=\sqrt3\)) 인 \(f(x)=\dfrac1{1+x^2}\) 의 오른쪽 끝점 리만합이다.
극한 \(=\displaystyle\int_0^{\sqrt3}\frac{dx}{1+x^2}=\left[\tan^{-1}x\right]_0^{\sqrt3}=\frac{\pi}{3}\). ① 원 문제처럼 구간을 \([0,1]\) 로 읽음: \(\tan^{-1}1=\frac\pi4\) · ② \(x_i=\frac in\) 로 두고 분자의 \(\sqrt3\) 을 빠뜨림: \(\int_0^1\frac{dx}{1+3x^2}=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac\pi3\) · ④ 폭 \(\sqrt3\) 을 구간 길이에도 반영하고 앞에 한 번 더 곱함: \(\sqrt3\int_0^{\sqrt3}\) · ⑤ \(\tan^{-1}\sqrt3\) 을 \(\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt3}=\frac\pi6\) 과 혼동 5.2 연습문제 #84(교재 p.397, lim (1/n)Σ1/(1+(i/n)²) 를 정적분으로 표현 → ∫₀¹1/(1+x²)dx)의 구간을 [0,1]→[0,√3] 로 바꾸고 합의 식을 √3n/(n²+3i²) 로 정리해 '1/n 빼고 읽기'를 요구, 값(π/3)까지 계산 · 선생님 신호: 파란 ☆ · 2025 Q7(리만합→정적분) 계열 · §5.4 Table 1 "tan⁻¹ 출제 가능" · 원문은 '정적분으로 표현'이므로 표현+값 계산을 함께 묻는 것으로 해석(선생님 메모 'express 까지만' 가능성은 정리 문서 참고)
원 문제: Express lim_{n→∞} (1/n) Σ_{i=1}^n 1/(1+(i/n)^2) as a definite integral. → 바꾼 것: 구간 [0,1]→[0,√3] (합을 √3n/(n²+3i²) 로 표기), 표현 → 값 계산

적분 변수는 \(t\) 이므로 \(x^2\) 은 적분에 대해 상수 → 밖으로 뺀다: \(f(x)=x^2\displaystyle\int_0^{x}\frac{dt}{1+t^2}\).
곱의 미분 + FTC1: \(f'(x)=2x\displaystyle\int_0^{x}\frac{dt}{1+t^2}+x^2\cdot\frac{1}{1+x^2}\).
\(\displaystyle\int_0^{1}\frac{dt}{1+t^2}=\tan^{-1}1=\frac\pi4\) 이므로 \(f'(1)=2\cdot\dfrac\pi4+\dfrac12=\dfrac\pi2+\dfrac12\). ① \(x^2\) 을 빼지 않고 FTC1 을 그대로 적용해 \(f'(x)=\frac{x^2}{1+x^2}\) — 선생님이 '주의 요망'한 바로 그 실수 · ② 곱의 미분에서 \(x^2\cdot\frac{1}{1+x^2}\) 항을 빠뜨림 · ③ \((x^2)'=2x\) 대신 \(x\) 로 미분(또는 2 누락): \(1\cdot\frac\pi4+\frac12\) · ⑤ \(\tan^{-1}1=\frac\pi2\) 로 착각 5장 Problems Plus #6(교재 p.433, f(x)=∫₀ˣ x²sin(t²)dt 의 f′(x))의 피적분 sin(t²)→1/(1+t²) 로 바꾸고 f′(1) 값을 묻도록 함(같은 'x² 밖으로 → 곱의 미분 + FTC1' 구조) · 선생님 필기: x² 'constant', '→ product', 번호 옆 "주의 요망"(판독 추정)
원 문제: If f(x)=∫_0^x x^2 sin(t^2) dt, find f'(x). → 바꾼 것: 피적분 sin(t²)→1/(1+t²), f′(x) 식 → f′(1) 값

꼭짓점 \((1,1),(4,1),(1,4)\). 축 \(y=5\) 가 수평 → 가로 띠(\(dy\))를 돌리는 껍질: \(1\le y\le4\), 띠의 길이 \(\dfrac4y-1\), 반지름 \(5-y\).
\(V=2\pi\displaystyle\int_1^4(5-y)\left(\frac4y-1\right)dy=2\pi\int_1^4\left(\frac{20}{y}-9+y\right)dy\).
\(=2\pi\left[20\ln y-9y+\tfrac{y^2}{2}\right]_1^4=2\pi\left(40\ln2-27+\tfrac{15}{2}\right)=\pi(80\ln2-39)\).
검산(와셔, \(dx\)): 바깥 반지름 \(5-1=4\), 안쪽 \(5-\frac4x\): \(\pi\displaystyle\int_1^4\left[16-\left(5-\frac4x\right)^2\right]dx=\pi(80\ln2-39)\) ✔ ② 반지름을 \(y\) 로 (\(x\)축 회전으로 착각): \(2\pi\int_1^4 y\left(\frac4y-1\right)dy=9\pi\) · ③ 띠 길이에서 \(x=1\) 경계(−1)를 빠뜨림: \(2\pi\int_1^4(5-y)\frac4y\,dy\) · ④ 반지름을 \(5+y\) 로 (축까지 거리 부호 실수) · ⑤ \(2\pi\) 대신 \(\pi\) 6.3 연습문제 #36(x²−y²=7, x=4 로 둘러싸인 영역을 y=5 회전 · 교재 p465) 의 쌍곡선을 xy=4, 경계를 y=1·x=1 로 바꿔 계산기 없이 정확값이 나오게 함 (원 문제는 #31–36 계산기 묶음) · 파란 ○ s63-36 · 수업 필기의 가로 띠 2π(5−y)(…)dy 구조 유지
원 문제: Rotate the region bounded by x^2 - y^2 = 7 and x = 4 about y = 5 (shells, horizontal strips) → 바꾼 것: hyperbola -> xy=4 with lines y=1, x=1; axis y=5 kept; exact answer with ln 2

(A) 제약식 \(a\tan\theta_1+b\tan\theta_2=d\) 를 \(\theta_1\) 로 음함수 미분: \(a\sec^2\theta_1+b\sec^2\theta_2\,\dfrac{d\theta_2}{d\theta_1}=0\Rightarrow\dfrac{d\theta_2}{d\theta_1}=-\dfrac{a\sec^2\theta_1}{b\sec^2\theta_2}\).
(B) \(\dfrac{dT}{d\theta_1}=\dfrac{a\sec\theta_1\tan\theta_1}{v_1}+\dfrac{b\sec\theta_2\tan\theta_2}{v_2}\cdot\dfrac{d\theta_2}{d\theta_1}=\dfrac{a\sec\theta_1\tan\theta_1}{v_1}-\dfrac{a\sec^2\theta_1\tan\theta_2}{v_2\sec\theta_2}\).
\(\sec\theta\tan\theta=\sec^2\theta\sin\theta\), \(\dfrac{\tan\theta_2}{\sec\theta_2}=\sin\theta_2\) 이므로 \(\dfrac{dT}{d\theta_1}=a\sec^2\theta_1\left(\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}-\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}\right)\).
\(a\sec^2\theta_1\gt0\) 이므로 \(=0\iff\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}=\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}\iff\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{v_1}{v_2}\) (스넬의 법칙). ① 음함수 미분에서 이항할 때 부호 \(-\) 를 빠뜨림 (그러면 \(dT/d\theta_1\) 이 두 양수의 합이 되어 0 이 될 수 없음) · ② \(\sin\theta_1/v_1=\sin\theta_2/v_2\) 를 비로 옮기면서 속도비를 거꾸로 씀 · ④ \(\tan\theta\) 의 도함수를 \(\sec\theta\tan\theta\)(= \(\sec\theta\) 의 도함수)로 혼동 · ⑤ \(\tan\theta_2/\sec\theta_2\) 를 \(\cos\theta_2\) 로 잘못 정리해 \(\cos\) 비가 나옴 4.7 연습문제 #77(교재 p.347, 페르마 원리로 스넬의 법칙 증명)을 선택형 빈칸 완성으로 변환 · 선생님 메모 "재작년 서술형 빈칸 기출", "각도로 음함수 미분 ☆ ← rare case" → 각도 \(\theta_1\) 을 변수로 두고 \(\theta_2\) 를 음함수 미분하는 풀이의 핵심 두 칸을 묻는다 · 수업 필기 "C점의 위치에 따라 \(\theta_1,\theta_2\) 가 달라짐" · 그림 대신 \(a,b,d\) 로 위치를 서술
원 문제: Show that sin θ1 / sin θ2 = v1 / v2 for the path ACB of minimum time (Fermat's principle, Snell's law). → 바꾼 것: proof → fill-in-the-blank multiple choice on the angle-parametrized implicit differentiation step (dθ2/dθ1 and the resulting ratio)

높이 \(y\) 의 얇은 물 원판: 반지름\(^2=x^2=3y\), 부피 \(\pi\cdot3y\,\Delta y\), 무게 \(9800\cdot3\pi y\,\Delta y\) N.
꼭대기(높이 3)까지 들어올리는 거리 \(3-y\). 물은 \(0\le y\le2\) 에만 있다.
\(W=\displaystyle\int_0^2 9800\cdot3\pi y\,(3-y)\,dy=29400\pi\left[\tfrac{3y^2}{2}-\tfrac{y^3}{3}\right]_0^2=29400\pi\left(6-\tfrac83\right)=29400\pi\cdot\tfrac{10}{3}=98000\pi\) J. ① 들어올리는 거리를 \(3-y\) 대신 \(y\) 로 · ② 꼭대기가 아니라 수면(높이 2)까지만 올림: 거리 \(2-y\) · ④ 물 깊이 2 m 를 무시하고 탱크가 가득 찬 것으로 \(\int_0^3\) · ⑤ 모양 상수 3 을 빠뜨려 단면적을 \(\pi y\) 로 (\(x^2=3y\) 대신 \(x^2=y\)) 6장 Review 연습문제 #31(높이 1.2 m·윗면 반지름 1.2 m 회전포물면 탱크, 가득 찬 물을 꼭대기로 퍼내는 일 · 교재 p480, 그림을 서술로 대체) 의 치수를 높이 3 m·반지름 3 m 로, 물을 가득 → 깊이 2 m 로 바꿈 · 마킹 r6-31 · 2025 Q21(y=x², y=4 회전 탱크 cm·g) 의 출처 — v1 Q21(구형 160π/3)·드릴 Q21(구형) 과 다른 탱크·값
원 문제: Paraboloid tank (height 1.2 m, top radius 1.2 m) full of water; find the work to pump the water out of the tank → 바꾼 것: height/radius -> 3 m / 3 m (y=x^2/3); water depth 2 m instead of full; rho=1000, g=9.8 numeric