2026 HAFS 미적분학Ⅱ — 2학기 중간 예상시험지 v3미반영 마킹 · 교재 변형 · §4.7~§6

\(\sqrt x=x^{1/2}\) 의 역도함수는 \(\dfrac23x^{3/2}\).
\(\displaystyle\int_4^{16}\sqrt x\,dx=\dfrac23\left[x^{3/2}\right]_4^{16}=\dfrac23(64-8)=\dfrac{112}{3}\). ① 역도함수 대신 도함수 \(\tfrac12x^{-1/2}\) 에 대입 (\(\tfrac12(\tfrac14-\tfrac12)\)) · ② 적분하지 않고 \(\sqrt{16}-\sqrt4\) · ④ 아래끝 \(4\) 을 대입하지 않음 (\(\tfrac23\cdot64\)) · ⑤ 계수를 \(\tfrac32\) 로 뒤집음 (\(\tfrac32(64-8)\)) 5.3 연습문제 #29(교재 p.407, \(\int_1^9\sqrt x\,dx\))의 구간을 \([4,16]\) 으로 바꿈 · 빨간 ○ · 2025 기본 정적분 슬롯
원 문제: Evaluate ∫_1^9 √x dx. → 바꾼 것: interval [1,9] → [4,16]

한 번 역미분: \(f'(x)=4x^3-3x^2+C\).
두 번 역미분: \(f(x)=x^4-x^3+Cx+D\) (\(C,D\) 임의 상수).
①은 \(C=7,\ D=-2\) 인 경우이므로 \(f''(x)=12x^2-6x\) 를 만족한다. (확인: \((x^4-x^3+7x-2)''=12x^2-6x\).) ② 한 번만 역미분한 \(f'\) 꼴 (\(f''=24x-6\)) · ③ 두 번째 역미분에서 \(-3x^2\to -3x^3\) (지수만 올리고 3 으로 나누지 않음, \(f''=12x^2-18x\)) · ④ 일차항 \(Cx\) 대신 \(Cx^2\) 을 붙임 (\(f''=12x^2-6x+14\)) · ⑤ 두 단계의 나눗셈을 한 번만 함 (\(f''=24x^2-12x\)) 4.9 연습문제 #29(교재 p.362, \(f''(x)=24x\) 에서 \(f\) 구하기)의 \(f''\) 를 \(12x^2-6x\) 로 바꾸고 일반해 \(Cx+D\) 의 의미를 선택형으로 확인 · 29–54 대괄호 묶음
원 문제: Find f if f''(x)=24x. → 바꾼 것: f''=24x → 12x^2−6x; asked as 'which function satisfies' (general solution Cx+D)

\(u=\dfrac{\pi t}{3}\), \(du=\dfrac{\pi}{3}dt\), 구간 \(t:0\to1\ \Rightarrow\ u:0\to\dfrac\pi3\).
\(\displaystyle\int_0^1\cos\frac{\pi t}{3}dt=\frac3\pi\int_0^{\pi/3}\cos u\,du=\frac3\pi\sin\frac\pi3=\frac{3\sqrt3}{2\pi}\). ② \(\tfrac3\pi\) 대신 \(\tfrac\pi3\) 을 곱함 (안쪽 미분을 나누지 않고 곱함) · ③ 안쪽 미분 보정 \(\tfrac3\pi\) 을 빠뜨림 · ④ \(\int\cos=-\sin\) 으로 부호 실수 · ⑤ 역도함수를 \(-\tfrac3\pi\cos\frac{\pi t}{3}\) 로 써서 \(-\tfrac3\pi(\tfrac12-1)\) 5.5 연습문제 #59(교재 p.426, \(\int_0^1\cos(\pi t/2)dt\))의 계수 \(\pi/2\to\pi/3\) · 빨간 ○ · 정리 6(구간도 \(u\) 로) ✓
원 문제: Evaluate ∫_0^1 cos(πt/2) dt. → 바꾼 것: πt/2 → πt/3

\(u=1-9x^2\Rightarrow du=-18x\,dx\Rightarrow x\,dx=-\tfrac1{18}du\).
\(\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-9x^2}}dx=-\frac1{18}\int u^{-1/2}du=-\frac1{18}\cdot2u^{1/2}+C=-\frac19\sqrt{1-9x^2}+C\).
확인: \(\left(-\tfrac19(1-9x^2)^{1/2}\right)'=-\tfrac19\cdot\tfrac12(1-9x^2)^{-1/2}\cdot(-18x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-9x^2}}\). ② \(\int u^{-1/2}du=2u^{1/2}\) 의 \(2\) 를 빠뜨림 · ③ \(du=-18x\,dx\) 의 부호(−)를 놓침 · ④ \(\int u^{-1/2}du\) 를 \(\tfrac12u^{1/2}\) 로 계산 (지수로 나누지 않고 곱함) · ⑤ \(du=-9x\,dx\) 로 안쪽 미분에서 \(2\) 를 빠뜨림 §5.5 본문 Example 3(교재 \(\int\frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}dx=-\tfrac14\sqrt{1-4x^2}+C\), ✓ 마킹)의 \(4\to9\) 변형을 연습문제 #1–8 형식(치환 \(u\) 를 주는 형식, s55-1 ○)으로 출제 · 1학기 기말에 본문 예제가 그대로 3문항 출제된 선례
원 문제: Example 3: Find ∫ x/√(1−4x^2) dx. → 바꾼 것: 4 → 9; substitution u=1−9x^2 given in the stem (Exercises 1–8 format)

\(F(x)=\displaystyle\int_3^{x}\sqrt{t^3-2}\,dt\) 로 두면 \(F(3)=0\) 이고 구하는 극한은 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{F(3+h)-F(3)}{h}=F'(3)\).
FTC1: \(F'(x)=\sqrt{x^3-2}\) → \(F'(3)=\sqrt{27-2}=5\). ① 적분 구간 길이가 0 으로 가므로 극한도 0 이라고 오판 (\(\tfrac1h\) 무시) · ② 피적분함수를 한 번 더 미분한 값 \(\dfrac{3t^2}{2\sqrt{t^3-2}}\Big|_{t=3}\) · ③ 근호 안의 \(-2\) 를 빠뜨림 (\(\sqrt{27}\)) · ⑤ 근호를 빠뜨림 (\(27-2\)) Chapter 5 Review 연습문제 #76(교재 p.431, \(\lim_{h\to0}\frac1h\int_2^{2+h}\sqrt{1+t^3}dt\))의 피적분함수·기준점을 바꿈 · 빨간 ○ + 필기(정의·FTC1) · 2025 FTC 슬롯
원 문제: Find lim_{h→0} (1/h)∫_2^{2+h} √(1+t^3) dt. → 바꾼 것: √(1+t^3), base 2 → √(t^3−2), base 3

흘러나간 양 = 유출률의 적분 (순변화 정리).
\(\displaystyle\int_0^{10}(240-6t)\,dt=\left[240t-3t^2\right]_0^{10}=2400-300=2100\) L. ① 10분 시점의 유출률 \(r(10)\) 을 양으로 착각 · ③ \(r(10)\times10\) (또는 \(-6t\) 의 역미분에서 \(\tfrac12\) 누락: \(2400-600\)) · ④ 처음 유출률이 계속된다고 보고 \(r(0)\times10\) · ⑤ 구간을 \(0\le t\le40\) 전체로 적분 (탱크가 빌 때까지의 총량) 5.4 연습문제 #74(교재 p.417, \(r(t)=200-4t\) L/min, \(0\le t\le50\), 처음 10분)의 유출률 식과 정의역을 바꿈 · 빨간 ○ + 'first 10 minutes' 밑줄
원 문제: Water flows from a tank at r(t)=200−4t L/min, 0≤t≤50. Find the amount that flows during the first 10 minutes. → 바꾼 것: r(t)=200−4t, 0≤t≤50 → 240−6t, 0≤t≤40

\(f'(x)=6x+3x^2-4x^3+C\), \(f'(0)=C=-2\).
\(f(x)=3x^2+x^3-x^4-2x+D\), \(f(0)=D=3\).
\(f(x)=3x^2+x^3-x^4-2x+3\).
\(f(2)=12+8-16-4+3=3\). ① \(f(2)\) 대신 \(f'(2)=12+12-32-2=-10\) 을 답함 · ③ \(f(0)=3\) 을 반영하지 않음 (\(D=0\)) · ④ \(f'(0)=-2\) 를 반영하지 않음 (\(C=0\)) · ⑤ 두 조건을 바꿔 넣음 (\(C=3,\ D=-2\)) 4.9 연습문제 #45(교재 p.362, \(f''=-2+12x-12x^2,\ f(0)=4,\ f'(0)=12\))의 \(f''\) 와 초기조건 값을 바꾸고 \(f(2)\) 를 묻는 선택형으로 · 29–54 대괄호
원 문제: Find f if f''(x)=−2+12x−12x^2, f(0)=4, f'(0)=12. → 바꾼 것: f''→6+6x−12x^2, f(0)=4→3, f'(0)=12→−2; ask f(2)

\((3,4)\)–\((6,-2)\) 선분의 기울기 \(-2\) → \(x=5\) 에서 \(x\)축과 만남.
\([0,2]\): 사다리꼴 \(\tfrac{2+4}{2}\cdot2=6\) · \([2,3]\): 직사각형 \(4\) · \([3,5]\): 삼각형 \(\tfrac12\cdot2\cdot4=4\).
\([5,6]\): 삼각형(아래) \(-\tfrac12\cdot1\cdot2=-1\) · \([6,8]\): 사다리꼴(아래) \(-\tfrac{2+1}{2}\cdot2=-3\).
\(\displaystyle\int_0^8f\,dx=6+4+4-1-3=10\). ② \([6,8]\) 의 사다리꼴을 삼각형 \(\tfrac12\cdot2\cdot2\) 로 계산 (\(-2\)) · ③ \(x\)축 위 넓이만 더함 (아래 부분 무시) · ④ \([3,6]\) 을 \(x\)축과의 교점 없이 높이 \(4\)·\(2\) 사다리꼴(\(9\))로 보고 부호도 무시 · ⑤ 아래 넓이까지 모두 양수로 더함 — \(\int_0^8|f(x)|dx\) 의 값 5.2 연습문제 #35(교재 p.395, 꺾은선 그래프 — 꼭짓점 (0,1),(2,3),(3,3),(7,−3),(9,−2) 판독)의 꼭짓점을 바꾸고 그림 대신 꼭짓점 좌표로 서술 · 빨간 ○ + (e)(f) 필기 · 2025 Q5·Q8(넓이 해석) 계열
원 문제: The graph of f (polygonal) is shown. Evaluate integrals (a)–(f) by interpreting them in terms of areas. → 바꾼 것: vertices changed; figure replaced by vertex list; one integral over the whole interval with sign changes

\(\Delta x=\dfrac{2-0}{4}=\dfrac12\), 중점 \(\dfrac14,\ \dfrac34,\ \dfrac54,\ \dfrac74\).
\(f\!\left(\tfrac14\right)=\tfrac{23}{16},\ f\!\left(\tfrac34\right)=\tfrac{31}{16},\ f\!\left(\tfrac54\right)=\tfrac{31}{16},\ f\!\left(\tfrac74\right)=\tfrac{23}{16}\), 합 \(=\tfrac{108}{16}=\tfrac{27}{4}\).
\(M_4=\dfrac12\cdot\dfrac{27}{4}=\dfrac{27}{8}\). ① 폭을 \(\Delta x=\tfrac14\) 로 잘못 잡음 · ② 오른쪽 끝점 \(R_4\) (\(\tfrac12(\tfrac74+2+\tfrac74+1)\)) — 이 함수는 \(L_4\) 도 같은 값 · ③ 어림이 아니라 정확한 정적분 \(\int_0^2(1+2x-x^2)dx\) 를 계산 · ⑤ 높이의 합만 구하고 폭 \(\Delta x=\tfrac12\) 을 곱하지 않음 5.1 연습문제 #6(교재 p.381, \(f(x)=e^{x-x^2},\ 0\le x\le2\), 직사각형 4개·오른쪽 끝점/중점)의 함수를 같은 '봉우리' 모양의 다항식으로 바꿔 계산기 없이 정확값이 나오게 함(구간·\(n\)·중점 그대로) · 빨간 ○
원 문제: Estimate the area under f(x)=e^{x−x^2}, 0≤x≤2, with four rectangles using right endpoints and midpoints. → 바꾼 것: f(x)=e^{x−x^2} → 1+2x−x^2 (exact values); ask the midpoint estimate M4

Ⓐ 순변화 정리: \(\int_4^9w'(t)dt=w(9)-w(4)\) → \(w(9)=16+13=29\). 참.
Ⓑ \(v=(t-1)(t-3)\): \([0,1]\) 에서 \(v\ge0\), \([1,3]\) 에서 \(v\le0\). \(\int_0^1v\,dt=\tfrac43\), \(\int_1^3v\,dt=-\tfrac43\) → 변위 \(0\), 이동거리 \(\tfrac43+\tfrac43=\tfrac83\). 참.
Ⓒ 단위 = \(\rho\) 의 단위 × \(x\) 의 단위 = (kg/m)·m = kg (질량). 거짓.
정답: Ⓐ와 Ⓑ. ① Ⓑ 에서 변위가 0 이면 이동거리도 0 이라고 오판 · ② Ⓐ·Ⓑ 를 모두 거짓으로 보고(Ⓐ 에서 처음 몸무게 \(w(4)=16\) 을 더하지 않음 · Ⓑ 에서 변위 0 이면 이동거리도 0 이라고 혼동) Ⓒ 의 단위 함정(\(dx\) 의 단위 m 를 곱하지 않음)에 걸림 · ④ Ⓒ 에서 적분해도 단위가 피적분함수와 같다고 오판 (\(dx\) 의 단위 m 를 곱하지 않음), Ⓑ 놓침 · ⑤ Ⓒ 의 단위 함정 — 선생님 메모 "단위 주의☆" 5.4 연습문제 #59(교재 p.416, \(\int_5^{10}w'(t)dt\) 는 무엇을 나타내나)를 수치를 넣은 진술 Ⓐ 로 바꾸고, 같은 괄호(59–67)의 단위 문항(#66·67)과 §5.4 변위·이동거리(식 2·3)를 Ⓑ·Ⓒ 로 묶은 참·거짓 비교형 · 빨간 ○ · Net Change Theorem ✓ "단위 주의☆" · §5.4 "T/F로 나올 수 있음"
원 문제: If w'(t) is the rate of growth of a child in kilograms per year, what does ∫_5^{10} w'(t) dt represent? → 바꾼 것: interpretation turned into a numerical statement (ages 4→9, w(4)=16) plus two companion statements (displacement vs distance, units)

\(u=a^2-x^2\), \(du=-2x\,dx\). \(x=0\to u=a^2\), \(x=a\to u=0\).
\(\displaystyle\int_0^ax(a^2-x^2)^{3/2}dx=-\frac12\int_{a^2}^{0}u^{3/2}du=\frac12\int_0^{a^2}u^{3/2}du=\frac12\cdot\frac25\left(a^2\right)^{5/2}=\frac{a^5}{5}\). ① 원 문제(#70, 지수 \(\tfrac12\))의 답 \(\tfrac{a^3}{3}\) 을 외워 씀 · ② \(\int u^{3/2}du\) 를 \(\tfrac{u^{5/2}}{5}\) 로 (\(\tfrac52\) 대신 \(5\) 로 나눔) · ③ 구간을 바꾼 뒤 \(-\) 부호와 위아래 끝 교환을 함께 처리하지 못함 · ④ \(du=-2x\,dx\) 의 \(\tfrac12\) 을 빠뜨림 5.5 연습문제 #70(교재 p.426, \(\int_0^ax\sqrt{a^2-x^2}dx\), 문자 상수)의 지수 \(\tfrac12\to\tfrac32\) · 빨간 ○ + 필기(치환·구간 변환)
원 문제: Evaluate ∫_0^a x√(a^2−x^2) dx. → 바꾼 것: exponent 1/2 → 3/2

\(f'(x)=3x^2+\cosh x+C\), \(f(x)=x^3+\sinh x+Cx+D\).
\(f(0)=0+\sinh0+D=D=2\).
\(f(1)=1+\sinh1+C+2=4+\sinh1\Rightarrow C=1\).
\(f'(0)=0+\cosh0+C=1+1=2\). ① \(6x\) 를 \(3x^3\) 으로 역미분 (\(f=3x^3+\cdots\Rightarrow C=-1\)) → \(1+(-1)=0\) · ② \(\cosh 0=1\) 을 빠뜨리고 \(C\) 만 답함 · ④ \(D=2\) 를 \(f(1)\) 식에 넣지 않음 (\(C=3\)) → \(1+3\) · ⑤ \(\sinh\) 의 역미분을 한 단계 더 밀어 \(f=x^3+\cosh x+Cx+D\) 로 둠 (\(D=1,\ C=2-e^{-1}\), \(f'(0)=\sinh0+C\)) 4.9 연습문제 #50(교재 p.362, \(f''=x^3+\sinh x,\ f(0)=1,\ f(2)=2.6\), 두 점 경계조건)의 \(f''\) 와 조건을 바꿔 정확값이 나오게 함 · 29–54 대괄호 · 쌍곡선함수 역미분(2025 Q4 \(\int\sinh x\,dx\) 계열)
원 문제: Find f if f''(x)=x^3+sinh x, f(0)=1, f(2)=2.6. → 바꾼 것: f''→6x+sinh x, conditions f(0)=2, f(1)=4+sinh 1 (exact); ask f'(0)

원판법(\(x\)축 회전): \(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx\). \(\cos^2x=(\cos x)^2\) 이므로 반지름 \(f(x)=\cos x\), \(0\le x\le\frac\pi4\), \(x\)축 회전 → ②.
나머지의 부피 식: ① \(\pi\int\cos^4x\,dx\) · ③ \(2\pi\int x\cos x\,dx\) · ④ \(\pi\int(1-\cos^2x)dx\) · ⑤ \(\pi\int\left[1-(1-\cos x)^2\right]dx\) — 모두 값이 다름(검증 스크립트). ① 피적분함수 \(\cos^2x\) 를 곡선 자체로 착각 (원판법의 '제곱' 놓침 — Example 5 "제곱 잊지 말기") · ③ 회전축 혼동 (\(y\)축 회전이면 껍질 \(2\pi x f(x)\)) · ④ 와셔의 바깥·안쪽을 바꿔 생각 (\(\pi\int(1^2-\cos^2x)dx\)) · ⑤ 축 \(y=1\) 회전은 반지름이 \(1-\cos x\) 로 바뀜을 놓침 6.2 연습문제 #49(교재 p.457, \(\pi\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx\) 가 나타내는 회전체 설명)의 \(\sin\to\cos\), 구간 \(\pi/2\to\pi/4\) · 빨간 ○(49–54 괄호) · Example 5 "제곱 잊지 말기"
원 문제: π∫_0^{π/2} sin^2 x dx represents the volume of a solid. Describe the solid. → 바꾼 것: sin^2 x on [0,π/2] → cos^2 x on [0,π/4]; description chosen from five options

밑면 \(x^2+y^2\le4\), 지름을 \(x\)축으로. 위치 \(x\) 의 단면: 한 변 \(s=2y=2\sqrt{4-x^2}\) 인 정삼각형.
\(A(x)=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot4(4-x^2)=\sqrt3(4-x^2)\).
\(\displaystyle V=\int_{-2}^{2}\sqrt3(4-x^2)dx=2\sqrt3\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_0^2=2\sqrt3\cdot\frac{16}{3}=\frac{32\sqrt3}{3}\). ① 한 변을 \(y\) (반현)로 잡음 → \(A=\tfrac{\sqrt3}{4}(4-x^2)\) · ② 빗변이 밑면에 놓인 직각이등변삼각형 단면(r6-25 형)으로 계산 → \(A=4-x^2\) · ③ \(-2\le x\le0\) 쪽을 빠뜨려 반만 적분 · ⑤ 정삼각형 넓이를 \(\tfrac{\sqrt3}{2}s^2\) 로 씀 §6.2 본문 Example 7(교재: 반지름 1 원판 밑면·정삼각형 단면, \(V=\tfrac{4\sqrt3}{3}\), ✓ 마킹)의 반지름 \(1\to2\) · Chapter 6 Review #25(○, 반지름 3·직각이등변삼각형 단면)와 같은 '단면적 적분' 유형이라 그 자리에 배치 · 1학기 기말 본문 예제 출제 선례
원 문제: Example 7: base is a circular disk of radius 1; cross-sections perpendicular to the base are equilateral triangles. Find the volume. → 바꾼 것: radius 1 → 2

가로 \(x\)(칸막이와 수직인 변), 세로 \(y\)(칸막이와 평행)로 두면 세 칸이 되려면 칸막이 2개 → 길이 \(y\) 인 울타리가 \(4\)개, 길이 \(x\) 인 울타리가 \(2\)개.
제약: \(2x+4y=480\Rightarrow x=240-2y\).
\(A=xy=(240-2y)y=240y-2y^2\), \(0\lt y\lt120\).
\(A'(y)=240-4y=0\Rightarrow y=60\), \(A''=-4\lt0\) 이므로 최대. 이때 \(x=120\).
\(A_{\max}=120\cdot60=7200\ \text{m}^2\). ① 칸을 4개로 착각해 \(2x+5y=480\) (원 문제 #11 의 식을 그대로 씀) → \(x=120,\ y=48\) · ② 세 칸을 정사각형으로 가정 (\(x=3s,\ y=s\Rightarrow 10s=480\)) — 최적화 없이 모양을 고정 · ③ 칸막이를 빠뜨려 \(2x+2y=480\) (정사각형 \(120\times120\)) · ④ 칸막이를 1개만 세어 \(2x+3y=480\) → \(x=120,\ y=80\) 4.7 연습문제 #11(교재 p.342, 울타리 300 m·네 칸)의 울타리 길이를 480 m, 칸 수를 3개로 바꿈 · 빨간 ○ + 여백 필기(넓이 식·제약식·A'=0) · 1학기 기말 A등급 변형 방식
원 문제: Farmer with 300 m of fencing encloses a rectangle and divides it into four pens with fencing parallel to one side; largest total area. → 바꾼 것: 300 m → 480 m, four pens → three pens (parts (a)–(f) merged into one multiple-choice question)

\(4^x-2^x=2^x(2^x-1)\): \(x\ge0\) 이면 \(\ge0\), \(x\le0\) 이면 \(\le0\).
\(\displaystyle\int_0^1(4^x-2^x)dx=\frac{3}{\ln4}-\frac{1}{\ln2}=\frac{1}{2\ln2}\).
\(\displaystyle\int_{-1}^0(2^x-4^x)dx=\frac{1/2}{\ln2}-\frac{3/4}{\ln4}=\frac{1}{8\ln2}\).
합 \(=\dfrac{1}{2\ln2}+\dfrac1{8\ln2}=\dfrac{5}{8\ln2}\). ① 절댓값을 무시하고 \(\int_{-1}^1(4^x-2^x)dx\) · ② \(\ln4=2\ln2\) 로 정리한 뒤 마지막 \(\tfrac1{\ln2}\) 을 빠뜨림 · ③ 마지막 \(\tfrac1{\ln2}\) 을 \(\ln2\) 로 곱해 버림 (\(\int a^xdx=\tfrac{a^x}{\ln a}\) 혼동) · ④ \(x\ge0\) 쪽만 계산 6.1 연습문제 #44(교재 p.443, \(\int_{-1}^1|3^x-2^x|dx\) 를 넓이로 해석)의 \(3^x\to4^x\) · 빨간 ○ + 필기 · 정의 2 메모 "양수, 음수 구간 나눠서"
원 문제: Evaluate ∫_{-1}^{1} |3^x − 2^x| dx and interpret it as the area of a region. → 바꾼 것: 3^x → 4^x

최대 속도: \(r=0\) 일 때 \(v_{\max}=kR^2\) (\(v\) 는 \(r\) 의 이차함수, 축에서 최대).
구간 길이는 \(\dfrac R2-0=\dfrac R2\).
\(\displaystyle v_{\text{avg}}=\frac{1}{R/2}\int_0^{R/2}k(R^2-r^2)\,dr=\frac{2k}{R}\left(\frac{R^3}{2}-\frac{R^3}{24}\right)=\frac{2k}{R}\cdot\frac{11R^3}{24}=\frac{11}{12}kR^2\).
비율 \(=\dfrac{11}{12}\). ① 적분값을 구간 길이 \(\tfrac R2\) 대신 \(R\) 로 나눔 (분모 \(b-a\) 실수) · ② 교재 #20(구간 \(0\le r\le R\))의 결과 \(\tfrac23\) 을 외워 씀 · ③ 평균 대신 구간 끝 \(r=\tfrac R2\) 의 속도 \(v(\tfrac R2)=\tfrac34kR^2\) 를 씀 · ④ 양 끝값의 평균 \(\tfrac{v(0)+v(R/2)}{2}=\tfrac78kR^2\) 으로 계산 6.5 연습문제 #20(교재 p.476, 혈류 \(v(r)=\frac{P}{4\eta l}(R^2-r^2)\), 구간 \(0\le r\le R\) 의 평균 속도와 최대 속도 비교 — 답 \(\tfrac23\))의 구간을 \(0\le r\le R/2\) 로 바꿈(선생님 메모가 짚은 이차함수 \(R^2-r^2\) 구조는 그대로) · 빨간 ○ + 메모 · §6.5 평균값 정의 ☆ + 분모 \(b-a\) "구간" · 2025 Q8 (average)
원 문제: Blood velocity v(r)=P/(4ηl)(R^2−r^2); find the average velocity over 0≤r≤R and compare with the maximum velocity. → 바꾼 것: interval 0≤r≤R → 0≤r≤R/2 (same quadratic model; constant written as k)

교점: \(2\sqrt[3]x=\tfrac x2\Rightarrow 8x=\tfrac{x^3}{8}\Rightarrow x(x^2-64)=0\Rightarrow x=0,\ \pm8\).
\(0\le x\le8\) 에서 \(2\sqrt[3]x\ge\tfrac x2\): \(\displaystyle\int_0^8\left(2x^{1/3}-\frac x2\right)dx=\left[\frac32x^{4/3}-\frac{x^2}{4}\right]_0^8=24-16=8\).
두 함수 모두 홀함수라 \(-8\le x\le0\) 쪽도 넓이 \(8\) (위아래가 바뀜).
전체 넓이 \(=8+8=16\). ① \(\int_{-8}^{8}(2x^{1/3}-\tfrac x2)dx\) 를 한 번에 계산 — 홀함수라 상쇄 (위아래 교대를 무시) · ③ 제1사분면 쪽 영역만 계산 · ④ \(\int_0^8 2x^{1/3}dx\) 만 계산 (아래 곡선 빼기 누락) · ⑤ \(24\) 를 두 배 함 (아래 곡선 누락 + 대칭) 6.1 연습문제 #23(교재 p.443, \(y=\sqrt[3]{2x},\ y=\tfrac12x\), 교점 \(\pm4\)·대칭)의 곡선을 \(y=2\sqrt[3]x,\ y=\tfrac x2\) (교점 \(\pm8\))로 바꿈 · 빨간 ○ · 정의 2 메모 "양수, 음수 구간 나눠서" · 1학기 기말 연속 쌍(Q21·Q22 같은 곡선) 방식의 앞 문항
원 문제: Sketch the region enclosed by y=∛(2x) and y=x/2 and find its area. → 바꾼 것: curves → y=2∛x and y=x/2 (intersections ±8)

껍질: 반지름 \(x\), 높이 \(2x^{1/3}-\tfrac x2\), 두께 \(dx\), \(0\le x\le8\).
\(\displaystyle V=\int_0^8 2\pi x\left(2x^{1/3}-\frac x2\right)dx=2\pi\left[\frac67x^{7/3}-\frac{x^3}{6}\right]_0^8\).
\(8^{7/3}=128\): \(=2\pi\left(\dfrac{768}{7}-\dfrac{256}{3}\right)=2\pi\cdot\dfrac{512}{21}=\dfrac{1024\pi}{21}\). ① \(2\pi\) 를 통째로 빠뜨림 · ② 껍질 둘레를 \(\pi x\) 로 (2 누락) · ④ \(x\)축 회전(와셔) \(\pi\int_0^8\left(4x^{2/3}-\tfrac{x^2}{4}\right)dx\) 를 계산 — 축 혼동 · ⑤ 앞 문항처럼 제3사분면 쪽도 포함해 두 배로 계산 (\(\mathcal R\) 은 제1사분면만) 6.3 연습문제 #9–14 대괄호 묶음(교재 p.465, \(y\)축 회전 껍질법; #9 \(y=\sqrt x,\ y=0,\ x=4\))과 같은 유형을 앞 문항(6.1 #23 변형)의 같은 곡선으로 출제 — 1학기 기말 Q21·Q22(같은 곡선 연속 두 문항) 방식 · 앞 문항 답을 몰라도 풀 수 있음
원 문제: Use cylindrical shells to find the volume generated by rotating the region bounded by y=√x, y=0, x=4 about the y-axis. → 바꾼 것: region → between y=2∛x and y=x/2 in the first quadrant (same curves as the preceding item)

\(f'(x)=\dfrac{2x(1+x^2)-x^2\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}\) 이므로 \(\dfrac{f(x)}{f'(x)}=\dfrac{x^2}{1+x^2}\cdot\dfrac{(1+x^2)^2}{2x}=\dfrac{x(1+x^2)}{2}\).
따라서 \(x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n+x_n^3}{2}=\dfrac{x_n-x_n^3}{2}\).
Ⓐ \(x_2=\dfrac{1-1}{2}=0\). 참.
Ⓑ \(x_2=\dfrac{\frac12-\frac18}{2}=\dfrac{3}{16}\). \(\dfrac38\) 은 2로 나누지 않은 값. 거짓.
Ⓒ \(x_2=\dfrac{\sqrt3-3\sqrt3}{2}=-\sqrt3\), \(x_3=\dfrac{-\sqrt3+3\sqrt3}{2}=\sqrt3\) → 두 값을 영원히 오감(근에 가지 않음). 참.
정답: Ⓐ와 Ⓒ. ① Ⓒ 에서 \(x_2=-\sqrt3\) 만 보고 "부호가 바뀌었으니 0 에 다가간다"고 오판 · ② Ⓐ 에서 \(f'(1)=\tfrac12\) 을 \(f'(1)=1\) 로 잘못 계산해 \(x_2=\tfrac12\) 로 봄 · ③ Ⓑ 의 \(\tfrac38\)(반복식의 \(\div2\) 누락)을 맞다고 보고 Ⓒ 를 놓침 · ⑤ Ⓑ 의 계산 실수(\(\div 2\) 누락)를 확인하지 않음 4.8 연습문제 #5(교재 p.355, 그래프의 초기값 a·b·c·d 중 어느 것에서 수렴하는가)를 그래프 없이 식으로 명시해 참·거짓 비교형으로 바꿈 · 원 그래프와 같은 모양(원점에서 x축에 접하고 양쪽으로 증가 후 평평) · 빨간 ○ + 여백 메모(수렴 여부) · §4.8 Figure 4 비수렴 ✓ · 1학기 기말 Q17·Q18 참거짓형
원 문제: For which of the initial approximations x1=a, b, c, d (from a graph) will Newton's method work and lead to the root of f(x)=0? → 바꾼 것: graph replaced by f(x)=x^2/(1+x^2); asked as three true/false statements with exact iterates

\(x\ge0\) 쪽 반만 돌리면 된다. 껍질: 반지름 \(x\), 높이 \(2y=2\cdot\tfrac34\sqrt{16-x^2}=\tfrac32\sqrt{16-x^2}\), \(0\le x\le4\).
\(\displaystyle V=\int_0^4 2\pi x\cdot\frac32\sqrt{16-x^2}\,dx=3\pi\int_0^4x\sqrt{16-x^2}\,dx\).
\(u=16-x^2\): \(\displaystyle\int_0^4x\sqrt{16-x^2}dx=\frac12\int_0^{16}u^{1/2}du=\frac13\cdot64=\frac{64}{3}\).
\(V=3\pi\cdot\dfrac{64}{3}=64\pi\) (\(=\tfrac43\pi\cdot4^2\cdot3\)). ① 껍질 높이를 위쪽 \(y\) 하나로만 잡음 (\(2y\) 의 2 누락) · ③ \(x\)축 회전체 \(\tfrac43\pi\cdot3^2\cdot4\) 과 혼동 · ④ 반지름 4 인 구로 착각 · ⑤ \(x\) 를 \(-4\) 부터 \(4\) 까지 적분해 같은 입체를 두 번 셈 6.3 연습문제 #61(교재 p.466, 껍질법으로 반지름 \(r\) 인 구의 부피)의 원을 타원 \(\tfrac{x^2}{16}+\tfrac{y^2}{9}=1\) 로 바꿈(풀이 구조: 반쪽 껍질 + \(u=r^2-x^2\) 치환 동일) · 빨간 ○ + 필기
원 문제: Use cylindrical shells to find the volume of a sphere of radius r. → 바꾼 것: circle of radius r → ellipse x^2/16 + y^2/9 = 1 rotated about the y-axis

바닥 꼭짓점에서 위로 높이 \(y\ (0\le y\le2)\). 그 높이의 수면 폭 \(=4\cdot\tfrac y2=2y\).
얇은 판 부피 \(=6\cdot2y\,dy=12y\,dy\), 무게 \(=9800\cdot12y\,dy\).
올려야 할 거리 \(=(2-y)+1=3-y\).
\(\displaystyle W=\int_0^2 9800\cdot12y(3-y)\,dy=117600\left[\frac{3y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^2=117600\cdot\frac{10}{3}=392000\) J. ① \(g=9.8\) 을 곱하지 않음 (질량×거리) · ② 주둥이 1 m 를 빠뜨려 거리를 \(2-y\) 로 둠 · ③ 단면을 폭 4 의 직사각형으로 보고 폭을 상수 4 로 둠 · ④ 거리를 바닥 기준 \(y+1\) 로 잘못 잡음 6.4 연습문제 #23(교재 p.471, 그림: 삼각기둥 탱크 위폭 3 m·깊이 3 m·길이 8 m·주둥이 2 m)의 치수를 위폭 4·깊이 2·길이 6·주둥이 1 m 로 바꾸고 그림을 서술로 대체 · 빨간 ○ · §6.4 Example 5(탱크 펌핑) ✓
원 문제: A triangular-prism tank (top width 3 m, depth 3 m, length 8 m) full of water; find the work to pump the water out of a spout 2 m above the top. → 바꾼 것: dimensions → top 4 m, depth 2 m, length 6 m, spout 1 m; figure replaced by description