2026 HAFS 미적분학Ⅱ — 2학기 중간 예상시험지 v4미반영 마킹 · 교재 변형 · §4.7~§6

\(u=\cos\theta\Rightarrow du=-\sin\theta\,d\theta\), 즉 \(\sin\theta\,d\theta=-du\).
\(\displaystyle\int\cos^3\theta\sin\theta\,d\theta=-\int u^3\,du=-\frac{u^4}{4}+C=-\frac{\cos^4\theta}{4}+C\). ① \(du=-\sin\theta\,d\theta\) 의 마이너스 누락 · ③ \(\int u^3du\) 에서 4 로 나누기 누락 · ④ \(\sin\theta\,d\theta\) 를 \(du\) 로 바꾸지 않고 \(\sin\theta\) 를 남김 · ⑤ 적분 대신 미분(곱의 법칙) 5.5 연습문제 #4(교재 p.425, \(\int\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta,\ u=\sin\theta\))의 sin·cos 역할과 지수를 바꿈(\(du\) 에 마이너스가 생기는 쪽) · 선생님 ○ + 파란 필기
원 문제: ∫ sin²θ cosθ dθ with u = sinθ. → 바꾼 것: sin²θ cosθ, u=sinθ → cos³θ sinθ, u=cosθ (negative du)

분수를 먼저 쪼갠다: \(\dfrac{4x^3+\sqrt x}{x}=4x^2+x^{-1/2}\).
\(g'(x)=2\cos x+4x^2+x^{-1/2}\).
Table 2 로 각 항의 역도함수: \(2\sin x\), \(\dfrac43x^3\), \(\dfrac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt x\).
\(g(x)=2\sin x+\dfrac43x^3+2\sqrt x+C\) (검산: 미분하면 \(g'\)). ① \(x^{-1/2}\) 를 적분하지 않고 미분함 · ② \(\cos x\) 의 역도함수를 \(-\sin x\) 로 (미분 공식과 혼동) · ③ \(x^{-1/2}\) 적분에서 \(\frac12\) 로 나누지 않고 곱함 · ④ 분수를 쪼개지 않고 분자만 적분 (\(x\) 로 나누기 누락) §4.9 본문 Example 2(교재 p.358–359, \(g'(x)=4\sin x+\frac{2x^5-\sqrt x}{x}\), ✓ 표시)의 함수를 바꾼 예제 변형 · v4 배정 s49-33 자리를 짝수 번호 본문 예제로 채움(규격 §1: v4 는 짝수 Example) · 1학기 기말에 본문 예제 그대로 출제 선례
원 문제: Example 2: find all g with g'(x)=4 sin x+(2x^5−√x)/x. → 바꾼 것: 4 sin x → 2 cos x, (2x^5−√x)/x → (4x^3+√x)/x

교점: \(9-x^2=0\Rightarrow x=\pm3\). \([-3,3]\) 에서 \(y\ge0\).
\(\displaystyle A=\int_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx=2\int_0^3(9-x^2)\,dx=2\Big[9x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^3=2(27-9)=36\) (우함수 대칭). ① 역도함수에서 \(\frac13\) 누락: \([9x-x^3]\) · ② 대칭으로 \([0,3]\) 만 계산하고 2배를 잊음 · ④ \(x^2\) 항을 빼먹고 직사각형 \(6\times9\) · ⑤ 이미 \([-3,3]\) 전체인데 대칭 2배를 또 곱함 5.3 연습문제 #57(교재 p.407, \(y=4-x^2,\ y=0\) → 32/3)의 함수를 \(9-x^2\) 로 바꿈 · 선생님 ○ + 파란 필기(even function)
원 문제: Sketch the region enclosed by y=4−x², y=0 and find its area. → 바꾼 것: 4−x² → 9−x²

위끝이 아래끝보다 작아도 FTC2 를 그대로 쓴다: \(\displaystyle\int_{2\pi/3}^{0}\cos\theta\,d\theta=\Big[\sin\theta\Big]_{2\pi/3}^{0}=\sin0-\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}\).
(같은 값: \(-\displaystyle\int_0^{2\pi/3}\cos\theta\,d\theta\).) ② 끝 순서를 무시하고 \(\int_0^{2\pi/3}\) 으로 계산 · ③ 정적분을 넓이(절댓값)로 착각: \(1+(1-\frac{\sqrt3}2)\) · ④ ③ 에 끝 순서 부호만 붙임 · ⑤ 역도함수 대신 \(\cos\) 값을 대입: \(\cos0-\cos\frac{2\pi}3\) 5.3 연습문제 #33(교재 p.407, \(\int_{\pi/2}^{0}\cos\theta\,d\theta=-1\))의 아래끝을 \(2\pi/3\) 로 바꿈(구간에 \(\cos\lt0\) 부분이 생겨 넓이 착각 오답이 갈림) · 선생님 ○
원 문제: Evaluate ∫_{π/2}^{0} cos θ dθ. → 바꾼 것: lower limit π/2 → 2π/3

껍질 반지름 \(x\), 높이 \(\dfrac4x\): \(V=\displaystyle\int_1^3 2\pi x\cdot\frac4x\,dx=2\pi\int_1^3 4\,dx=2\pi\cdot8=16\pi\).
(높이가 \(\frac1x\) 꼴이라 \(x\cdot\frac4x\) 가 상수가 되는 것이 이 문제의 포인트.) ① \(2\pi\) 대신 \(\pi\) · ② \(x\)축 회전 원판 \(\pi\int_1^3(4/x)^2dx\) 로 계산 · ③ 껍질 반지름 \(x\) 를 빠뜨림 (\(2\pi\int_1^3\frac4x dx\)) · ⑤ 반지름을 \(x-1\)(왼쪽 경계에서 잰 거리)로 잡음 6.3 연습문제 #11(교재 p.465, \(y=\frac1x,\ y=0,\ x=1,\ x=4\) 의 \(y\)축 회전 → \(6\pi\))의 함수를 \(\frac4x\), 구간을 \([1,3]\) 으로 바꿈 · 선생님 ○
원 문제: Shells: region y=1/x, y=0, x=1, x=4 rotated about the y-axis. → 바꾼 것: 1/x → 4/x, x=4 → x=3

단위 맞추기: \(1\ \text{km/h}=\dfrac{1000}{3600}\ \text{m/s}\) → 속도(m/s) \(10,12,14,15,16,15,14\).
각 구간 \(\Delta t=4\) s, 오른쪽 끝(구간 끝 속도) 사용: \(4(12+14+15+16+15+14)=4\cdot86=344\) m.
(참고: 왼쪽 끝이면 \(4\cdot82=328\) m. 속도가 단조가 아니므로 이 둘이 꼭 하·상한은 아니다 — #9 처럼 증가함수일 때만 왼쪽=하한, 오른쪽=상한.) ① 구간의 처음 속도(왼쪽 끝)를 사용 · ② 왼쪽·오른쪽 추정의 평균(사다리꼴)을 냄 · ④ 7개 값 모두에 \(\Delta t\) 를 곱함(점 7개 = 구간 6개 혼동) · ⑤ km/h 를 m/s 로 바꾸지 않고 곱함 §5.1 본문 Example 4(교재 p.379–380, ✓: 5초 간격 속도표 km/h → m/s, 왼쪽 320 m · 오른쪽 335 m)의 표 값·간격을 바꾼 예제 변형 · v4 배정 s51-9(속도표 상·하 추정) 자리를 같은 절 짝수 예제로 채움 — 표 추정이라는 #9 의 핵심도 함께 담김
원 문제: Example 4: speeds every 5 s for 30 s in km/h; estimate distance with left (320 m) and right (335 m) endpoints. → 바꾼 것: interval 5 s → 4 s over 24 s, new km/h readings (convert exactly to 10,12,14,15,16,15,14 m/s); asks the right-endpoint estimate only

잘라 내는 정사각형 한 변을 \(x\) 라 하면 밑면은 \((12-2x)\times(12-2x)\), 높이 \(x\): \(V(x)=x(12-2x)^2\), \(0\lt x\lt 6\).
\(V'(x)=(12-2x)^2-4x(12-2x)=(12-2x)(12-6x)=0\Rightarrow x=2\) (\(x=6\) 은 끝점, \(V=0\)).
\(V(0^+)=V(6)=0\) 이고 \((0,6)\) 의 임계점은 \(x=2\) 하나 → 절대최대(1계 판정법).
\(V(2)=2\cdot8^2=128\ \text{cm}^3\). ① 제곱을 빠뜨려 \(V=x(12-2x)\) 로 둠 (\(x=3\), \(18\)) · ② \(x=4\) (한 변의 1/3)에서 계산 (\(4\cdot4^2\)) · ③ \(x=3\) (한 변의 1/4)에서 계산 (\(3\cdot6^2\)) · ⑤ 양쪽 모서리를 하나만 빼서 밑변을 \(12-x\) 로 둠 (\(x(12-x)^2\), \(x=4\)) 4.7 연습문제 #12(교재 p.342–343, 한 변 3 m 정사각형 판지 → 최대 부피 2 m³)의 판지 크기를 12 cm 로 바꿈 · 선생님 ○ + p.343 상단 빨간 전개도 스케치
원 문제: Open-top box from a 3 m square of cardboard by cutting corner squares; find the largest volume. → 바꾼 것: square side 3 m → 12 cm (answer 2 m³ → 128 cm³)

정적분 = (\(x\)축 위 넓이) − (\(x\)축 아래 넓이).
\([0,3]\): 삼각형 \(\frac12\cdot3\cdot3=\frac92\) (위).
\([3,7]\): 반지름 2 의 아래 반원 \(\frac12\pi\cdot2^2=2\pi\) (아래 → 빼기).
\([7,9]\): 삼각형 \(\frac12\cdot2\cdot2=2\) (위).
\(\displaystyle\int_0^9g=\frac92-2\pi+2=\frac{13}{2}-2\pi\). ① 아래 반원을 넓이 그대로 더함(부호 무시) · ③ 반원이 아니라 원 전체 넓이 \(4\pi\) 를 뺌 · ④ 반원 넓이를 \(\frac12\pi r\) 로 (\(r^2\) 누락) · ⑤ 마지막 삼각형 \([7,9]\) 를 빠뜨림 5.2 연습문제 #36(교재 p.396, 직선 둘 + 반원 그래프의 정적분)의 그래프를 서술로 바꾸고 수치(삼각형 높이 3·2, 반원 중심 (5,0))를 바꿈 · 선생님 메모 '기하학으로 접근' · 2025 Q5 기하 넓이형
원 문제: Graph of g = two segments + a semicircle; evaluate ∫0^2, ∫2^6, ∫0^7 g by areas. → 바꾼 것: figure → verbal description; triangle 4→3 high on [0,3], semicircle on [3,7], final segment to (9,2); asks ∫0^9 only

순변화 정리: \(V(4)=V(0)+\displaystyle\int_0^4r(t)\,dt\).
중점법칙 \(n=4\): \(\Delta t=1\), 중점 \(0.5,1.5,2.5,3.5\) → \(\displaystyle\int_0^4r\,dt\approx1\cdot(1400+1600+600-800)=2800\).
\(V(4)\approx20000+2800=22800\) L. (물이 빠지는 구간 \(r\lt0\) 은 부호대로 뺀다.) ① 초기량 20000 L 를 더하지 않음(변화량만) · ② 오른쪽 끝 \(1700+1200+0-1500\) 사용 · ③ \(r\lt0\) 인 값을 양수로(절댓값) 더함 · ④ 왼쪽 끝 \(1000+1700+1200+0\) 사용 5.4 연습문제 #78(교재 p.417, 탱크 유출입률 그래프 + 중점법칙, 초기 25,000 L)의 그래프를 표로 바꾸고 값·초기량을 바꿈 · 선생님 ○ + 파란 필기
원 문제: Graph of r(t) (L/day); V(0)=25000 L; use the Midpoint Rule to estimate the volume four days later. → 바꾼 것: graph → table of r(t) at half-days, new values, V(0)=20000 L

Ⓐ 순변화 정리: \(\displaystyle\int_{1000}^{3000}R'(x)\,dx=R(3000)-R(1000)\) = 판매량이 1000 → 3000 으로 늘 때 수입의 증가량. 참.
Ⓑ 단위 = (\(R'\) 의 단위: 달러/개) × (\(dx\) 의 단위: 개) = 달러. 거짓.
Ⓒ \(\Big[50x-0.002x^2\Big]_{1000}^{3000}=(150000-18000)-(50000-2000)=132000-48000=84000\). 참. ① Ⓒ 에서 \(0.004x\) 의 역도함수를 \(0.004x^2\) 로(\(\frac12\) 누락) 계산해 68000 으로 판단 · ② Ⓑ 피적분함수 단위(달러/개)를 그대로 적분값 단위로 착각 + Ⓒ 계산 실수 · ③ Ⓐ 를 '3000개째 판매 수입' 으로 오해하고 Ⓑ 단위 착각 · ⑤ Ⓑ 단위 착각 5.4 연습문제 #63(교재 p.416, 한계수입 \(R'(x)\) 의 \(\int_{1000}^{5000}R'(x)\,dx\) 해석)을 참·거짓 비교형으로 바꾸고 구간을 \([1000,3000]\), 계산용 \(R'(x)=50-0.004x\) 를 추가 · 선생님 ○ · 1학기 기말 Q17·Q18 참거짓 비교형 선례
원 문제: If R'(x) is marginal revenue (x = units sold), what does ∫_{1000}^{5000} R'(x) dx represent? → 바꾼 것: interpretation question → 3 T/F statements (meaning, units, value with R'(x)=50−0.004x on [1000,3000])

\(u=\dfrac1x\Rightarrow du=-\dfrac1{x^2}dx\). 끝: \(x=\frac12\to u=2\), \(x=1\to u=1\) (구간이 뒤집힘).
\(\displaystyle\int_{1/2}^{1}\frac{e^{1/x}}{x^2}dx=-\int_{2}^{1}e^u\,du=\int_1^2e^u\,du=e^2-e\). ② \(du\) 의 마이너스를 빠뜨림 · ③ \(u\) 로 바꾼 뒤에도 \(x\) 의 끝(\(\frac12,1\))을 그대로 사용: \(-\int_{1/2}^{1}e^u\,du=-(e-e^{1/2})\) · ④ 원 문제(#65, 구간 \([1,2]\))의 답 \(e-\sqrt e\) 를 그대로 씀 (구간이 바뀐 것을 반영하지 않음) · ⑤ 아래끝 값 \(e^1\) 을 빼지 않음 5.5 연습문제 #65(교재 p.426, \(\int_1^2 e^{1/x}/x^2\,dx=e-\sqrt e\))의 구간을 \([\frac12,1]\) 로 바꿈 · 선생님 ○ + 빨간 메모 'limits of integration'(구간 뒤집힘)
원 문제: Evaluate ∫_1^2 e^{1/x}/x² dx. → 바꾼 것: interval [1,2] → [1/2,1] (u-limits 2 → 1)

\(u=x^2+a^2,\ du=2x\,dx\). 끝: \(x=0\to u=a^2\), \(x=\sqrt3a\to u=4a^2\).
\(\displaystyle\int_0^{\sqrt3a}x\sqrt{x^2+a^2}\,dx=\frac12\int_{a^2}^{4a^2}u^{1/2}du=\frac12\cdot\frac23\Big[u^{3/2}\Big]_{a^2}^{4a^2}=\frac13(8a^3-a^3)=\frac{7a^3}{3}\) (\(a\gt0\) 이므로 \((a^2)^{3/2}=a^3\)). ① 아래끝 \(u=a^2\) 을 0 으로 두어 \(a^3\) 을 빼지 않음 · ② \(du=2x\,dx\) 의 \(\frac12\) 누락 · ④ \(\sqrt{x^2+a^2}\) 를 \(x\) 로 보고(\(a^2\) 무시) \(\int_0^{\sqrt3a}x^2dx\) 로 계산 · ⑤ \(u^{1/2}\) 적분에서 \(\frac23\) 누락 5.5 연습문제 #71(교재 p.426, \(\int_0^a x\sqrt{x^2+a^2}\,dx=\frac{2\sqrt2-1}{3}a^3\))의 위끝을 \(\sqrt3a\) 로 바꿈 · 선생님 ○ + 빨간 치환 메모
원 문제: Evaluate ∫_0^a x√(x²+a²) dx (a>0). → 바꾼 것: upper limit a → √3·a

\(f_{\text{avg}}=\dfrac1{b-0}\displaystyle\int_0^b(1+8x-3x^2)dx=\frac1b\big(b+4b^2-b^3\big)=1+4b-b^2\).
\(1+4b-b^2=4\Rightarrow b^2-4b+3=0\Rightarrow(b-1)(b-3)=0\Rightarrow b=1\) 또는 \(b=3\) (둘 다 양수 → 둘 다 답). ① 식을 정리할 때 이항 부호 실수: \(1+4b-b^2=4\) 를 \(b^2-4b-3=0\) 으로 써서 \(b=2\pm\sqrt7\), 양수 \(2+\sqrt7\) 만 남김 · ② \(\int8x\,dx\) 를 \(8x^2\) 로(2 로 나누기 누락) 적분: \(1+8b-b^2=4\Rightarrow b=4\pm\sqrt{13}\) · ④ 구간 길이 \(b\) 로 나누지 않음 (\(b+4b^2-b^3=4\)) · ⑤ 평균 대신 함숫값 \(f(b)=4\) 로 둠 6.5 연습문제 #14(교재 p.475, \(f(x)=2+6x-3x^2\) 의 \([0,b]\) 평균이 3 인 \(b\))의 함수·목표값을 바꿈 · 마킹 없음(1학기 기말에 마킹 없는 문제 출제 선례) · v1(#15)·드릴(Ex2·#24·#25)·2025(Q8·Q22)·v3(#20) 와 겹치지 않는 6.5 문항
원 문제: Find the numbers b such that the average value of f(x)=2+6x−3x² on [0,b] is equal to 3. → 바꾼 것: f → 1+8x−3x², target 3 → 4 (roots b=1, 3 instead of (3±√5)/2)

\(f(x)=\dfrac1x-7\), \(f'(x)=-\dfrac1{x^2}\).
\(x_{n+1}=x_n-\dfrac{1/x_n-7}{-1/x_n^2}=x_n+x_n^2\left(\dfrac1{x_n}-7\right)=2x_n-7x_n^2\) (나눗셈이 없는 역수 알고리즘).
\(x_2=2(0.1)-7(0.01)=0.13\).
\(x_3=2(0.13)-7(0.0169)=0.26-0.1183=0.1417\) (참값 \(\tfrac17=0.142857\cdots\) 에 접근). ① 알고리즘을 \(x_{n+1}=x_n-7x_n^2\) 로 잘못 정리 (\(2x_n\) 의 2 누락: \(0.03\to0.0237\)) · ③ 한 번만 반복한 \(x_2\) · ④ \(f'(x)=+\dfrac1{x^2}\) 로 부호를 틀려 \(x_{n+1}=7x_n^2\) (\(0.07\to0.0343\)) · ⑤ 근 자체(참값)를 고름 — \(x_3\) 은 근삿값이다 4.8 연습문제 #30(교재 p.355, \(1/x-a=0\) 에서 \(x_{n+1}=2x_n-ax_n^2\) 유도 후 \(1/1.6984\) 계산)의 \(a\) 를 7 로, 계산기 필요한 (b) 를 \(x_1=0.1\) 에서 두 번 반복으로 바꿈 · 선생님 ○ · §4.8 Ex2 '계산기 X 예시만' 메모에 맞춰 정확한 소수로 떨어지게 함
원 문제: (a) Derive x_{n+1}=2x_n−a x_n^2 from Newton on 1/x−a=0. (b) Compute 1/1.6984 to six decimals. → 바꾼 것: a=1.6984 → 7, x1=0.1, ask exact x3 (two iterations, no calculator)

\(f'(t)=4t^{3/2}+\pi\cos(\pi t)+C\) (\(-\pi^2\sin(\pi t)\) 의 역도함수는 \(\pi\cos(\pi t)\)).
\(f'(0)=0+\pi\cdot1+C=2\Rightarrow C=2-\pi\).
\(f(t)=\dfrac85t^{5/2}+\sin(\pi t)+(2-\pi)t+D\), \(f(0)=D=1\).
\(f(1)=\dfrac85+0+2-\pi+1=\dfrac{23}{5}-\pi\). ② \(f'(0)\) 에서 \(\pi\cos0=\pi\) 를 빠뜨려 \(C=2\) · ③ \(-\pi^2\sin(\pi t)\) 의 역도함수 부호를 틀려 \(-\pi\cos(\pi t)\) (\(C=2+\pi\)) · ④ 안쪽 미분 \(\pi\) 로 나누지 않아 \(\pi^2\cos(\pi t)\), \(\pi^2\sin(\pi t)\) 로 둠 · ⑤ \(\int 4t^{3/2}dt\) 에서 \(\frac52\) 로 나누지 않고 곱함 (\(10t^{5/2}\)) 4.9 연습문제 #47(교재 p.362, \(f''(\theta)=\sin\theta+\cos\theta,\ f(0)=3,\ f'(0)=4\))의 초기조건 구조(0 에서 \(f,f'\))를 유지하고 함수를 #52 형(근호+삼각)으로 바꿈 · 29–54 대괄호 · 다음 문항(#52 변형)과 같은 \(f''\) 의 연속 쌍
원 문제: 4.9 #47: f''(θ)=sinθ+cosθ, f(0)=3, f'(0)=4; find f. → 바꾼 것: f'' → 6√t − π² sin(πt); conditions f(0)=1, f'(0)=2; asks the value f(1)

\(f'(t)=4t^{3/2}+\pi\cos(\pi t)+C\), \(f(t)=\dfrac85t^{5/2}+\sin(\pi t)+Ct+D\).
\(f(0)=0+0+0+D=1\Rightarrow D=1\).
\(f(1)=\dfrac85+\sin\pi+C+1=3\Rightarrow C=\dfrac25\).
\(f'(1)=4+\pi\cos\pi+\dfrac25=\dfrac{22}{5}-\pi\). ① 상수 \(C\) 만 구하고 멈춤 · ② \(\cos\pi=1\) 로 착각 · ③ \(f(0)=1\) 을 쓰지 않고 \(D=0\) 으로 둠 (\(C=\frac75\)) · ④ \(f'(1)\) 에 상수 \(C\) 를 빠뜨림 4.9 연습문제 #52(교재 p.362, \(f''(t)=\sqrt[3]{t}-\cos t,\ f(0)=2,\ f(1)=2\))의 두 점 경계조건 구조 유지, 함수를 \(6\sqrt t-\pi^2\sin(\pi t)\) 로 바꾸고 \(f'(1)\) 을 물음 · 앞 문항과 같은 \(f''\)(연속 쌍, 앞 문항 답 없이 풀림)
원 문제: 4.9 #52: f''(t)=∛t − cos t, f(0)=2, f(1)=2; find f. → 바꾼 것: f'' → 6√t − π² sin(πt) (same as previous item); conditions f(0)=1, f(1)=3; asks f'(1)

교점: \(2x=\frac x2\) 는 원점, \(\frac2x=2x\Rightarrow x=1\), \(\frac2x=\frac x2\Rightarrow x=2\). 아래 경계는 \(y=\frac x2\), 위 경계가 \(x=1\) 에서 바뀐다.
\(\displaystyle\int_0^1\Big(2x-\frac x2\Big)dx=\frac34\), \(\displaystyle\int_1^2\Big(\frac2x-\frac x2\Big)dx=2\ln2-\frac34\).
합: \(2\ln2\). ① \(\int\frac2x dx\) 에서 계수 2 를 빠뜨림 (\(\ln2+\frac34-\frac34\)) · ③ \([0,1]\) 조각만 · ④ \([1,2]\) 조각만 · ⑤ 위 경계를 \(2x\) 하나로 보고 \(\int_0^2(2x-\frac x2)dx\) 6.1 연습문제 #35(교재 p.443, \(y=\frac1x,\ y=x,\ y=\frac14x\) → \(\ln2\))의 세 곡선을 \(\frac2x,\ 2x,\ \frac x2\) 로 바꿈(위 경계가 둘인 구조 유지) · 선생님 ○
원 문제: Area of region enclosed by y=1/x, y=x, y=x/4, x>0. → 바꾼 것: 1/x, x, x/4 → 2/x, 2x, x/2 (breakpoints x=1, x=2)

Ⓐ 높이 \(y\) 에서의 수평 단면은 항상 반지름 3 인 원: \(A(y)=9\pi\). \(V=\displaystyle\int_0^4 9\pi\,dy=36\pi\) — 같은 단면의 직원기둥과 같다. 참.
Ⓑ 꼭짓점이 어디 있든 높이 \(y\) 의 단면은 반지름 \(3\left(1-\frac y4\right)\) 인 원: \(V=\displaystyle\int_0^4\pi\cdot9\Big(1-\frac y4\Big)^2dy=12\pi\). 참.
Ⓒ 부피에 쓰는 것은 수직 높이 4 이지 옆선 길이 5 가 아니다(\(9\pi\cdot5=45\pi\) 는 틀림). 거짓. ① Ⓑ 에서 기울어진 원뿔은 공식 \(\frac13\pi r^2h\) 가 안 맞는다고 판단 · ② 부피에 옆선 길이를 쓰는 착각(Ⓐ 거짓·Ⓒ 참으로 판단) · ④ 옆선 길이 착각 + Ⓐ 를 거짓으로 · ⑤ Ⓐ 와 Ⓒ 가 서로 모순임을 놓침 6.2 연습문제 #78(교재 p.459, 카발리에리 원리 증명 + 기울어진 원기둥 부피)의 증명·그림 문항을 참거짓 비교형으로 바꾸고 반지름 3·높이 4·옆선 5 수치를 넣음 · 선생님 ○ · 1학기 기말 Q17·Q18 참거짓 선례
원 문제: (a) Prove Cavalieri's Principle. (b) Use it to find the volume of the oblique cylinder in the figure (radius r, height h). → 바꾼 것: proof/figure → 3 T/F statements with r=3, h=4, slant 5; adds an oblique cone

교점: \(\sin x=1-\sin x\Rightarrow\sin x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi6\). 위아래가 바뀌므로 나눈다.
\([0,\frac\pi6]\): 위가 \(1-\sin x\): \(\displaystyle\int_0^{\pi/6}(1-2\sin x)dx=\Big[x+2\cos x\Big]_0^{\pi/6}=\frac\pi6+\sqrt3-2\).
\([\frac\pi6,\frac\pi2]\): 위가 \(\sin x\): \(\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2}(2\sin x-1)dx=\Big[-2\cos x-x\Big]_{\pi/6}^{\pi/2}=\sqrt3-\frac\pi3\).
합: \(2\sqrt3-2-\dfrac\pi6\). ② 구간을 나누지 않고 \(\int_0^{\pi/2}(2\sin x-1)dx\) · ③ 두 번째 조각만 계산 · ④ 교점을 \(\sin x=\frac12\Rightarrow x=\frac\pi3\) 로 잘못 잡음 · ⑤ 마지막 합산에서 \(\frac\pi6-\frac\pi3\) 를 \(+\frac\pi6\) 로 계산(부호 실수) 6.1 연습문제 #28(교재 p.443, \(y=\cos x,\ y=1-\cos x,\ 0\le x\le\pi\) → \(2\sqrt3+\pi/3\))의 cos 를 sin 으로, 구간을 \([0,\pi/2]\) 로 바꿈(교점 \(\pi/6\) 에서 분할하는 구조 유지) · 선생님 ○
원 문제: Area enclosed by y=cos x and y=1−cos x, 0≤x≤π. → 바꾼 것: cos x → sin x, interval [0,π] → [0,π/2] (intersection π/3 → π/6)

\(dy\) 로 적분 → \(y\) 에 수직인 원판, 즉 회전축은 \(y\)축(수직축). 반지름 \(=4-y^2\) = 곡선 \(x=4-y^2\) 에서 \(y\)축(\(x=0\))까지 거리. 구간 \(-2\le y\le2\) 는 \(x=4-y^2\) 와 \(y\)축의 교점 전체.
→ \(x=4-y^2\) 과 \(x=0\) 사이 영역을 \(y\)축 둘레로 회전. 부피 \(=2\pi\displaystyle\int_0^2(16-8y^2+y^4)dy=\frac{512\pi}{15}\).
다른 서술의 부피: ①·② \(8\pi\), ④ \(\frac{256\pi}{15}\), ③ \(\pi\displaystyle\int_{-2}^{2}\big(16-y^4\big)dy=\frac{256\pi}{5}\) — 모두 \(\frac{512\pi}{15}\) 가 아니다. ① \(dy\) 원판인데 회전축을 \(x\)축으로 봄(원판 축과 적분변수 방향 혼동) · ② 식의 \(y\) 를 \(x\) 로 읽어 \(y=4-x^2\) 로 바꾸고 축까지 바꿈 · ③ 반지름 \(4-y^2\) 를 직선 \(x=4\) 까지의 거리로 착각(와셔가 됨) · ④ 구간 \([-2,2]\) 를 보지 않고 1사분면만(부피 절반) 6.2 연습문제 #52(교재 p.457, \(\pi\int_{-1}^{1}(1-y^2)^2dy\) → \(x=1-y^2\) 영역의 \(y\)축 회전)의 수치를 \(4-y^2\), \([-2,2]\) 로 바꾸고 서술형 '입체를 설명하라' 를 선택형으로 · 선생님 ○(49–54 '출제(?)' 묶음) · §6.2 Ex3 'y축 회전 꼭 주의☆'
원 문제: Each integral represents the volume of a solid of revolution; describe the solid: π∫_{−1}^{1}(1−y²)² dy. → 바꾼 것: 1−y² on [−1,1] → 4−y² on [−2,2]; free description → choose among 5 region/axis descriptions

구의 중심을 원점으로 \(y\)축을 위로: 높이 \(y\) (\(-3\le y\le3\)) 의 얇은 층 부피 \(\pi(9-y^2)\Delta y\), 지면에서 높이 \(15+y\) 까지 들어 올린다.
\(W=\displaystyle\int_{-3}^{3}9800\pi(9-y^2)(15+y)\,dy=9800\pi\Big[15\cdot36+\int_{-3}^{3}y(9-y^2)dy\Big]=9800\pi\cdot540\) J (둘째 적분은 기함수 → 0; = 무게 × 중심 높이 15).
시간 \(=\dfrac{9800\pi\cdot540}{9800\pi}=540\) s (= 9 분). ① 무게(\(\rho g\)) 대신 질량(\(\rho\))만 곱함 · ③ 높이를 탑 꼭대기 12 m 까지만 · ④ 높이를 구의 꼭대기 18 m 로 잡음 · ⑤ 반지름 대신 지름 6 을 반지름으로(그리고 꼭대기 높이 18) 6.4 연습문제 #22(교재 p.471, 지름 7 m 구형 탱크가 18 m 탑 위, 아래 호스로 채우기 + 1.5 마력 펌프 시간)의 수치를 반지름 3 m·탑 12 m·펌프 일률 \(9800\pi\) J/s 로 바꿔 정확한 값이 나오게 함 · 선생님 ○ · s64-24 '구의 무게중심 = 중심' 메모
원 문제: Spherical tank (diameter 7 m) atop an 18 m tower, filled from the ground through a hose at the bottom; time with a 1.5-hp pump. → 바꾼 것: diameter 7 → radius 3 m, tower 18 → 12 m, pump 1.5 hp → 9800π J/s; exact time

껍질 반지름 \(x\), 높이 \(2\sqrt{4-(x-5)^2}\) (\(3\le x\le7\)): \(V=\displaystyle\int_3^7 2\pi x\cdot2\sqrt{4-(x-5)^2}\,dx\).
\(u=x-5\): \(V=4\pi\displaystyle\int_{-2}^{2}(u+5)\sqrt{4-u^2}\,du=4\pi\int_{-2}^{2}u\sqrt{4-u^2}\,du+20\pi\int_{-2}^{2}\sqrt{4-u^2}\,du\).
첫 적분은 기함수 → 0, 둘째는 반지름 2 인 반원 넓이 \(2\pi\).
\(V=20\pi\cdot2\pi=40\pi^2\) (일반식 \(2\pi^2r^2R\), \(r=2,R=5\)). ① 높이를 위 반원 \(\sqrt{4-(x-5)^2}\) 하나로만 잡음 · ② \(\int_{-2}^{2}\sqrt{4-u^2}du\) 를 넓이 \(2\pi\) 가 아니라 2 로 둠 · ③ 반원 넓이 대신 원 전체 넓이 \(4\pi\) · ⑤ \(r\) 과 \(R\) 을 바꿔 \(2\pi^2\cdot5^2\cdot2\) 6.3 연습문제 #62(교재 p.467, 6.2 #75 의 토러스(반지름 r 원, 중심거리 R)를 껍질법으로 → \(2\pi^2r^2R\))를 \(r=2,\ R=5\) 의 수치형으로 바꿈 · 선생님 ○ + 파란 필기 '기함수 → 0, 반원 넓이'
원 문제: Use shells to find the volume of the torus (circle radius r, center at distance R from the axis). → 바꾼 것: symbolic r, R → r=2, R=5 (disk (x−5)²+y²≤4)