📐 미적분학Ⅱ 부교재 마킹 문제 풀이 — 2학기 중간

가로 $x$(칸막이에 수직인 변), 세로 $y$(칸막이와 평행). 칸막이 3개 + 양 끝 2개 = 세로 변 5개, 가로 변 2개: $2x+5y=300$.

$x=50,\ y=40$: 넓이 $2000$ / $x=75,\ y=30$: $2250$ / $x=100,\ y=20$: $2000$ → 최댓값이 있어 보이며 약 $2250\,\text{m}^2$ 로 추정.

전체 넓이 $A=xy$, 제약조건 $2x+5y=300$.

$y=\dfrac{300-2x}{5}$ → $A(x)=\dfrac{300x-2x^2}{5},\quad 0\le x\le 150$

$A'(x)=\dfrac{300-4x}{5}=0 \Rightarrow x=75$, $y=30$.

$A(0)=0,\ A(75)=2250,\ A(150)=0$ → 최댓값 $2250$ ($A''=-\tfrac45\lt 0$ 로도 확인). (a)의 추정과 일치.

잘라낸 정사각형 한 변 $x$: $x=0.25$ → $0.25\cdot2.5^2=1.5625$ / $x=0.5$ → $0.5\cdot2^2=2$ / $x=1$ → $1\cdot1^2=1$ → 최댓값은 약 $2\,\text{m}^3$ 로 추정.

높이 $x$, 밑면 한 변 $y$ → $V=xy^2$, 관계식 $y=3-2x$.

$V(x)=x(3-2x)^2,\quad 0\le x\le \tfrac32$

$V'(x)=(3-2x)^2-4x(3-2x)=(3-2x)(3-6x)=0 \Rightarrow x=\tfrac12$ 또는 $x=\tfrac32$(끝점).

$V(0)=0,\ V(\tfrac12)=\tfrac12\cdot2^2=2,\ V(\tfrac32)=0$ → 최댓값 $2$.

평행한 두 변 $x,\ 3x$, 아래 변(높이) $w$. 울타리 = $x+3x+w=400$ → $w=400-4x$.

$A=\dfrac{(x+3x)}{2}\,w=2x(400-4x)=800x-8x^2,\quad 0\le x\le 100$

$A'(x)=800-16x=0\Rightarrow x=50$, $w=200$.

$A(0)=0,\ A(50)=20000,\ A(100)=0$ → 최댓값 $20000$.

높이 $x$. 두 겹 옆면은 판지 $2x$ 를 쓰므로 세로 방향: $1-x-2x=1-3x$. 가로 방향: $2-2x$.

$V(x)=x(1-3x)(2-2x)=6x^3-8x^2+2x,\quad 0\le x\le\tfrac13$

$V'(x)=18x^2-16x+2=0 \Rightarrow 9x^2-8x+1=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt7}{9}$

$\dfrac{4+\sqrt7}{9}\approx0.738\gt\tfrac13$ 이므로 제외, $x=\dfrac{4-\sqrt7}{9}\approx0.1505$.

$V(0)=0,\ V(\tfrac13)=0,\ V\!\left(\dfrac{4-\sqrt7}{9}\right)=\dfrac{28\sqrt7-40}{243}\approx0.1403$ → 최댓값.

담장~벽 부분: $\ell_1=\dfrac{1}{\cos\theta}=\sec\theta$, 땅~담장 부분: $\ell_2=\dfrac{2}{\sin\theta}=2\csc\theta$.

$L(\theta)=\sec\theta+2\csc\theta,\quad 0\lt\theta\lt\tfrac{\pi}{2}$

$L'(\theta)=\sec\theta\tan\theta-2\csc\theta\cot\theta=0 \Rightarrow \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{2\cos\theta}{\sin^2\theta} \Rightarrow \tan^3\theta=2$, $\tan\theta=\sqrt[3]{2}$.

$\theta\to0^+$, $\theta\to\tfrac{\pi}{2}^-$ 에서 $L\to\infty$ 이고 임계점이 하나뿐 → 절대 최솟값.

$\tan\theta=2^{1/3}$ 이면 $\sec\theta=\sqrt{1+2^{2/3}}$, $\csc\theta=\dfrac{\sqrt{1+2^{2/3}}}{2^{1/3}}$.

$L=\sqrt{1+2^{2/3}}\,(1+2^{2/3})=(1+2^{2/3})^{3/2}\approx4.16$

담장 꼭대기 위쪽 벽 높이를 $y$, 사다리 발에서 담장까지 $x$ 라 하면 닮음에서 $\dfrac{y}{1}=\dfrac{2}{x}$, 즉 $xy=2$.

$L^2=(x+1)^2+(2+y)^2=(x+1)^2+\left(2+\dfrac2x\right)^2$ 를 최소화 → $x=2^{2/3}$ (즉 $\tan\theta=2/x=2^{1/3}$) 에서 같은 값 $(1+2^{2/3})^{3/2}$.

원판 반지름 $R$ = 원뿔의 모선(상수). 원뿔 밑면 반지름 $r$, 높이 $h$ 이면 $r^2+h^2=R^2$.

$V=\dfrac{\pi r^2h}{3}=\dfrac{\pi}{3}(R^2-h^2)h=\dfrac{\pi}{3}(R^2h-h^3),\quad 0\lt h\lt R$

$V'(h)=\dfrac{\pi}{3}(R^2-3h^2)=0 \Rightarrow h=\dfrac{R}{\sqrt3}$

$V''(h)=\dfrac{\pi}{3}(-6h)\lt 0$ (위로 볼록) → 극대이자 유일한 임계점 → 절대 최댓값.

$r^2=R^2-\dfrac{R^2}{3}=\dfrac{2R^2}{3}$ → $V=\dfrac{\pi}{3}\cdot\dfrac{2R^2}{3}\cdot\dfrac{R}{\sqrt3}=\dfrac{2\pi R^3}{9\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3\,\pi R^3}{27}$

음함수 미분: $\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2yy'}{b^2}=0 \Rightarrow y'=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$. 점 $(p,q)$ 에서 접선:

$y-q=-\dfrac{b^2p}{a^2q}(x-p) \;\Rightarrow\; \dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=\dfrac{p^2}{a^2}+\dfrac{q^2}{b^2}=1$

$y=0$ → $x=\dfrac{a^2}{p}$, $x=0$ → $y=\dfrac{b^2}{q}$. ∎

$p=a\cos t,\ q=b\sin t\ (0\lt t\lt\tfrac{\pi}{2})$ 로 두면 절편은 $a\sec t,\ b\csc t$.

$L^2=a^2\sec^2t+b^2\csc^2t$

$\dfrac{d}{dt}L^2=2a^2\sec^2t\tan t-2b^2\csc^2t\cot t=0 \Rightarrow a^2\dfrac{\sin t}{\cos^3t}=b^2\dfrac{\cos t}{\sin^3t} \Rightarrow \tan^4t=\dfrac{b^2}{a^2}$, $\tan^2t=\dfrac{b}{a}$.

양 끝($t\to0^+,\ \tfrac{\pi}{2}^-$)에서 $L^2\to\infty$, 임계점 유일 → 최소.

$L^2=a^2(1+\tan^2t)+b^2(1+\cot^2t)=a^2\left(1+\tfrac ba\right)+b^2\left(1+\tfrac ab\right)=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

∴ 최소 길이 $a+b$. ∎

$S=\dfrac12\cdot\dfrac{a^2}{p}\cdot\dfrac{b^2}{q}=\dfrac{a^2b^2}{2pq}=\dfrac{ab}{2\sin t\cos t}=\dfrac{ab}{\sin2t}$

$\sin2t\le1$ 이고 $t=\tfrac{\pi}{4}$ (즉 $p=\tfrac{a}{\sqrt2},\ q=\tfrac{b}{\sqrt2}$)에서 등호 → 최소 넓이 $ab$. ∎

$T(x)=\dfrac{\overline{AC}}{v_1}+\dfrac{\overline{CB}}{v_2}=\dfrac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_1}+\dfrac{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}{v_2},\quad 0\le x\le d$

$T'(x)=\dfrac{x}{v_1\sqrt{a^2+x^2}}-\dfrac{d-x}{v_2\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$

그림에서 $\sin\theta_1=\dfrac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$, $\sin\theta_2=\dfrac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$ 이므로 $T'(x)=\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}-\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}$.

$T'(0)=-\dfrac{d}{v_2\sqrt{b^2+d^2}}\lt 0$, $T'(d)=\dfrac{d}{v_1\sqrt{a^2+d^2}}\gt 0$ → $(0,d)$ 안에 $T'=0$ 인 점이 있다.

$T''(x)=\dfrac{a^2}{v_1(a^2+x^2)^{3/2}}+\dfrac{b^2}{v_2(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}\gt 0$ → $T'$ 는 증가, 임계점은 유일하고 그곳이 절대 최소.

최소 시간 경로에서 $T'(x)=0$: $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}=\dfrac{\sin\theta_2}{v_2} \Rightarrow \dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\dfrac{v_1}{v_2}$. ∎

모퉁이를 돌 수 있는 최대 길이 = 안쪽 모서리에 닿으며 두 바깥 벽에 걸치는 선분 길이 $L(\theta)$ 의 최솟값.

$\theta$ 는 파이프와 왼쪽 벽 사이 각. 넓은 복도 부분 $\ell_1=\dfrac{3}{\sin\theta}$, 좁은 복도 부분 $\ell_2=\dfrac{2}{\cos\theta}$.

$L(\theta)=3\csc\theta+2\sec\theta,\quad 0\lt\theta\lt\tfrac{\pi}{2}$

$L'(\theta)=-3\csc\theta\cot\theta+2\sec\theta\tan\theta=0 \Rightarrow \dfrac{3\cos\theta}{\sin^2\theta}=\dfrac{2\sin\theta}{\cos^2\theta} \Rightarrow \tan^3\theta=\dfrac32$

양 끝에서 $L\to\infty$, 임계점 유일 → 절대 최솟값.

$\tan\theta=(3/2)^{1/3}$ 을 대입하면 $L=\left(3^{2/3}+2^{2/3}\right)^{3/2}\approx7.02$

느린 주자가 $S$ 에서 $x$ 만큼 갔을 때 빠른 주자는 $3x$. $P$ 에서 각 주자까지의 각(수선 $PS$ 기준)은 $\tan^{-1}x,\ \tan^{-1}3x$.

$\theta(x)=\tan^{-1}(3x)-\tan^{-1}x,\quad x\ge0$

$\theta'(x)=\dfrac{3}{1+9x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=0 \Rightarrow 3+3x^2=1+9x^2 \Rightarrow x^2=\tfrac13,\ x=\tfrac{1}{\sqrt3}$

$0\lt x\lt\tfrac1{\sqrt3}$ 에서 $\theta'\gt0$, $x\gt\tfrac1{\sqrt3}$ 에서 $\theta'\lt0$ → 절대극값 1계 판정법으로 절대 최대.

$\theta=\tan^{-1}\sqrt3-\tan^{-1}\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$

$\tan\theta=\dfrac{3x-x}{1+3x^2}=\dfrac{2x}{1+3x^2}$ 를 $x$ 로 미분: $\sec^2\theta\cdot\theta'=\dfrac{2(1+3x^2)-12x^2}{(1+3x^2)^2}=\dfrac{2-6x^2}{(1+3x^2)^2}$ → $\theta'=0 \Leftrightarrow x^2=\tfrac13$, $\tan\theta=\dfrac{2/\sqrt3}{2}=\dfrac1{\sqrt3}$ → $\theta=\dfrac{\pi}{6}$.

$\theta(x)=\tan^{-1}\dfrac{h+d}{x}-\tan^{-1}\dfrac{d}{x},\quad x\gt0$

$\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}\dfrac{k}{x}=\dfrac{1}{1+k^2/x^2}\cdot\left(-\dfrac{k}{x^2}\right)=-\dfrac{k}{x^2+k^2}$ 이므로

$\theta'(x)=-\dfrac{h+d}{x^2+(h+d)^2}+\dfrac{d}{x^2+d^2}$

$\theta'=0 \Rightarrow d\,[x^2+(h+d)^2]=(h+d)(x^2+d^2) \Rightarrow d(h+d)^2-(h+d)d^2=hx^2$

$\Rightarrow d(h+d)h=hx^2 \Rightarrow x^2=d(d+h)$, $x=\sqrt{d(d+h)}$

분자를 정리하면 $\theta'(x)=\dfrac{h\,[d(d+h)-x^2]}{(x^2+d^2)(x^2+(h+d)^2)}$ → $x\lt\sqrt{d(d+h)}$ 에서 $\theta'\gt0$, 그 뒤 $\theta'\lt0$ → 절대 최대.

$C$ 에서 주 혈관에 내린 수선의 발을 $D$ 라 하면 $\overline{BD}=b\cot\theta$, $\overline{BC}=\dfrac{b}{\sin\theta}=b\csc\theta$, $\overline{AB}=a-b\cot\theta$.

저항은 구간별 합: $R=C\dfrac{\overline{AB}}{r_1^4}+C\dfrac{\overline{BC}}{r_2^4}=C\left(\dfrac{a-b\cot\theta}{r_1^4}+\dfrac{b\csc\theta}{r_2^4}\right)$ ∎

$\dfrac{dR}{d\theta}=C\left(\dfrac{b\csc^2\theta}{r_1^4}-\dfrac{b\csc\theta\cot\theta}{r_2^4}\right)=Cb\csc^2\theta\left(\dfrac{1}{r_1^4}-\dfrac{\cos\theta}{r_2^4}\right)$

$=0 \Leftrightarrow \cos\theta=\dfrac{r_2^4}{r_1^4}$

$\cos\theta$ 는 $(0,\pi)$ 에서 감소하므로 임계각 $\theta_0$ 보다 작을 때 $\cos\theta\gt\dfrac{r_2^4}{r_1^4}$ → $R'\lt0$, 클 때 $R'\gt0$ → 절대극값 1계 판정법으로 절대 최소. ∎

$r_2=\tfrac23r_1$ → $\cos\theta=\left(\tfrac23\right)^4=\dfrac{16}{81}\approx0.1975$ → $\theta=\cos^{-1}\dfrac{16}{81}\approx78.6^\circ$

$x_2$ 는 점 $(x_1,f(x_1))$ 에서 그은 접선의 $x$절편이다. 접선이 수평이면($f'(x_1)=0$) $x$절편이 없어 $x_2$ 가 정의되지 않는다.

$f(0)\gt0$, $f'(0)\gt0$ 이므로 접선의 $x$절편 $x_2$ 는 $0$ 보다 왼쪽(음수). 그 왼쪽은 곡선이 양수이면서 점점 평평해져서 $x_3$ 은 더 왼쪽으로 간다 → 수열이 $-\infty$ 쪽으로 발산, 실패.

$x=1$ 은 극대점 → $f'(1)=0$, 접선이 수평이라 $x$축과 만나지 않는다. $x_2$ 를 구할 수 없어 실패.

$x=3$ 에서의 접선은 $x\approx1$ 부근에서 $x$축과 만난다 → $x_2\approx1$ 이 되어 (b) 와 같은 상황(수평 접선)에 빠진다. 실패.

$x=4$ 는 극소점 → $f'(4)=0$, 수평 접선이라 실패.

$f(5)\lt0$, $f'(5)\gt0$ → 접선의 $x$절편 $x_2$ 는 근 $6$ 보다 조금 오른쪽. 이후 $x_3,x_4,\dots$ 는 오른쪽에서 $6$ 으로 다가간다 → 근 $r\approx6$ 에 수렴.

$0$ 가까이의 아래로 볼록한 부분에서 접선을 그으면 $x$절편이 $0$ 쪽으로 더 가까워진다. 이 과정이 반복되며 $x_n\to0$ → 수렴.

$c$ 는 기울기가 큰 지점이라 접선의 $x$절편이 $0$ 과 $b$ 사이 근처에 떨어진다 → 이후 $b$ 와 같은 경우로 수렴.

$d$ 에서는 곡선이 평평해 $f'(d)$ 가 작다. $x_2=d-\dfrac{f(d)}{f'(d)}$ 가 원점을 훨씬 지나 $a$ 보다 왼쪽의 평평한 부분에 떨어지고, 그곳의 접선은 다시 멀리 튄다 → 실패.

$f(x)=x^2-a$, $f'(x)=2x$ 이므로
$x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^2-a}{2x_n}=\dfrac{2x_n^2-x_n^2+a}{2x_n}=\dfrac{x_n^2+a}{2x_n}=\dfrac12\!\left(x_n+\dfrac{a}{x_n}\right)\;\blacksquare$

$x_2=\tfrac12(30+\tfrac{1000}{30})\approx31.666667$
$x_3\approx31.622807$
$x_4\approx31.622777$
$x_5\approx31.622777$ → 연속 두 값이 소수 6자리까지 일치

$f(x)=\dfrac1x-a$, $f'(x)=-\dfrac1{x^2}$
$x_{n+1}=x_n-\dfrac{1/x_n-a}{-1/x_n^2}=x_n+x_n^2\!\left(\dfrac1{x_n}-a\right)=x_n+x_n-ax_n^2=2x_n-ax_n^2\;\blacksquare$

$x_2=2(0.6)-1.6984(0.6)^2=0.588576$
$x_3\approx0.588789$
$x_4\approx0.588789$ → 소수 6자리 일치 (나눗셈 없이 곱셈·뺄셈만 사용)

$f(x)=x^3-3x+6$, $f'(x)=3x^2-3$ → $f'(1)=3-3=0$

$x_2=x_1-\dfrac{f(1)}{f'(1)}=1-\dfrac{4}{0}$ → 정의되지 않음. $x=1$ 은 극소점이라 접선 $y=4$ 가 수평이어서 $x$축과 만나지 않는다.

$f(x)=x^{1/3}$, $f'(x)=\tfrac13x^{-2/3}$
$x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^{1/3}}{\tfrac13x_n^{-2/3}}=x_n-3x_n=-2x_n$

$x_n=(-2)^{n-1}x_1$ → $|x_n|=2^{n-1}|x_1|\to\infty$. 매 단계 부호가 바뀌며 근 $0$ 에서 두 배씩 멀어진다.

$y=\sqrt[3]{x}$ 는 원점 근처에서 거의 수직으로 서 있고 멀어질수록 평평하다. $(x_1,\sqrt[3]{x_1})$ 에서의 접선은 원점 반대편 $-2x_1$ 에서 $x$축과 만나고, 거기서 다시 그은 접선은 $4x_1$ 에서 만난다 — 지그재그로 점점 멀어진다.

$f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ → $x_{n+1}=x_n-\dfrac{\sqrt{x_n}}{1/(2\sqrt{x_n})}=x_n-2x_n=-x_n$

$f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{-x}}$ → $x_{n+1}=x_n-\dfrac{-\sqrt{-x_n}}{1/(2\sqrt{-x_n})}=x_n+2(-x_n)=-x_n$

어느 경우든 $x_{n+1}=-x_n$ → $x_1,\,-x_1,\,x_1,\,-x_1,\dots$ 로 두 값 사이를 영원히 왕복한다. 그래프는 원점에 대해 대칭이라 $(x_1,\sqrt{x_1})$ 에서의 접선이 정확히 $-x_1$ 에서 $x$축과 만나고, $(-x_1,-\sqrt{x_1})$ 에서의 접선은 다시 $x_1$ 에서 만난다.

$\sec^2x\to\tan x$, $\quad\pi\cos x\to\pi\sin x$

$\sec^2x$ 는 $x=\tfrac\pi2+n\pi$ 에서 정의되지 않으므로, 역도함수는 각 구간 $\left(n\pi-\tfrac\pi2,\;n\pi+\tfrac\pi2\right)$ 마다 따로 성립하고 상수도 구간마다 다를 수 있다 (Example 1(b) 의 $C_1,C_2$ 와 같은 이유).

$\dfrac{d}{dx}(\tan x+\pi\sin x)=\sec^2x+\pi\cos x$ ✓

$f'(x)=12x^2+C$

$f(x)=4x^3+Cx+D$

$f'(t)=\dfrac{t^3}{3}-4t+C$

$f(t)=\dfrac{t^4}{12}-2t^2+Ct+D$

$f'(x)=x^4+12x^2-x+C$

$f(x)=\dfrac{x^5}{5}+4x^3-\dfrac{x^2}{2}+Cx+D$

$f'(x)=3x^2-\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{x^6}{2}+C$

$f(x)=x^3-\dfrac{x^6}{30}+\dfrac{x^7}{14}+Cx+D$

$f'(x)=x^2+3e^x+C$

$f(x)=\dfrac{x^3}{3}+3e^x+Cx+D$

$f'(x)=\displaystyle\int x^{-2}=-x^{-1}+C=-\dfrac1x+C$

$f(x)=-\ln x+Cx+D$

$f''(t)=12t-\cos t+C_1$

$f'(t)=6t^2-\sin t+C_1t+D$

$f(t)=2t^3+\cos t+\tfrac12C_1t^2+Dt+E$  ($C=\tfrac12C_1$ 로 다시 씀)

$f''(t)=\tfrac23t^{3/2}-2\sin t+C_1$

$f'(t)=\tfrac23\cdot\tfrac25t^{5/2}+2\cos t+C_1t+D=\tfrac4{15}t^{5/2}+2\cos t+C_1t+D$

$f(t)=\tfrac4{15}\cdot\tfrac27t^{7/2}+2\sin t+\tfrac12C_1t^2+Dt+E$

$f(x)=2x^4+\ln x+C$  ($x\gt0$)

$f(1)=2+0+C=-3\;\Rightarrow\;C=-5$

$f(x)=\tfrac23x^{3/2}-2x+C$

$f(9)=\tfrac23\cdot27-18+C=18-18+C=4\;\Rightarrow\;C=4$

$f(t)=4\tan^{-1}t+C$

$f(1)=4\cdot\tfrac\pi4+C=\pi+C=0\;\Rightarrow\;C=-\pi$

$f(t)=\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^{-2}}{-2}+C=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{1}{2t^2}+C$

$f(1)=\tfrac12-\tfrac12+C=6\;\Rightarrow\;C=6$

$f(x)=5\cdot\dfrac{x^{5/3}}{5/3}+C=3x^{5/3}+C$

$8^{5/3}=32$ 이므로 $f(8)=96+C=21\;\Rightarrow\;C=-75$

$f'(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}$

$f(x)=\tfrac23x^{3/2}+2x^{1/2}+C$

$f(1)=\tfrac23+2+C=5\;\Rightarrow\;C=\tfrac73$

$f'(t)=\sec^2t+\sec t\tan t$

$f(t)=\tan t+\sec t+C$  (구간 $-\tfrac\pi2\lt t\lt\tfrac\pi2$ 하나이므로 상수 1개)

$f(\tfrac\pi4)=1+\sqrt2+C=-1\;\Rightarrow\;C=-2-\sqrt2$

$f(t)=\dfrac{3^t}{\ln3}-3\ln|t|+\begin{cases}C_1 & t\gt0\\ C_2 & t\lt0\end{cases}$  (Example 1(b) 와 같은 구조)

$\dfrac{3}{\ln3}-0+C_1=2\;\Rightarrow\;C_1=2-\dfrac{3}{\ln3}$

$\dfrac{3^{-1}}{\ln3}-3\ln1+C_2=\dfrac{1}{3\ln3}+C_2=1\;\Rightarrow\;C_2=1-\dfrac{1}{3\ln3}$

$f'(x)=-2x+6x^2-4x^3+C$, $\;f'(0)=C=12$

$f(x)=-x^2+2x^3-x^4+12x+D$, $\;f(0)=D=4$

$f'(x)=2x^4+5x+C$, $\;2+5+C=8\Rightarrow C=1$

$f(x)=\tfrac25x^5+\tfrac52x^2+x+D$, $\;\tfrac25+\tfrac52+1+D=0\Rightarrow D=-\tfrac{39}{10}$

$f'(\theta)=-\cos\theta+\sin\theta+C$, $\;-1+C=4\Rightarrow C=5$

$f(\theta)=-\sin\theta-\cos\theta+5\theta+D$, $\;-1+D=3\Rightarrow D=4$

$f'(t)=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac1t+C$, $\;\tfrac13-1+C=2\Rightarrow C=\tfrac83$

$f(t)=\dfrac{t^4}{12}-\ln t+\tfrac83t+D$

$\tfrac{16}{12}-\ln2+\tfrac{16}{3}+D=3\;\Rightarrow\;D=3-\tfrac43-\tfrac{16}3+\ln2=-\tfrac{11}{3}+\ln2$

$f'(x)=4x+3x^2+8x^3+C$, $\;f(x)=2x^2+x^3+2x^4+Cx+D$

$f(0)=D=3$, $\;f(1)=2+1+2+C+3=10\Rightarrow C=2$

$f'(x)=\dfrac{x^4}{4}+\cosh x+C$, $\;f(x)=\dfrac{x^5}{20}+\sinh x+Cx+D$

$0+\sinh0+D=1\Rightarrow D=1$

$\tfrac{32}{20}+\sinh2+2C+1=2.6\;\Rightarrow\;1.6+1+\sinh2+2C=2.6\;\Rightarrow\;C=-\tfrac12\sinh2$

$f'(x)=e^x+2\cos x+C$, $\;f(x)=e^x+2\sin x+Cx+D$

$1+0+D=3\Rightarrow D=2$

$e^{\pi/2}+2+\tfrac\pi2C+2=0\;\Rightarrow\;C=-\dfrac{2\left(e^{\pi/2}+4\right)}{\pi}$

$f'(t)=\tfrac34t^{4/3}-\sin t+C$, $\;f(t)=\tfrac34\cdot\tfrac37t^{7/3}+\cos t+Ct+D=\tfrac{9}{28}t^{7/3}+\cos t+Ct+D$

$0+1+D=2\Rightarrow D=1$

$\tfrac9{28}+\cos1+C+1=2\;\Rightarrow\;C=\tfrac{19}{28}-\cos1$

$f'(x)=-\dfrac1x+C$, $\;f(x)=-\ln x+Cx+D$ ($x\gt0$)

$f(1)=C+D=0$, $\;f(2)=-\ln2+2C+D=0$ → 빼면 $C=\ln2$, $D=-\ln2$

$f''(x)=\sin x+C$, $\;C=3$ → $f''(x)=\sin x+3$

$f'(x)=-\cos x+3x+D$, $\;-1+D=2\Rightarrow D=3$

$f(x)=-\sin x+\tfrac32x^2+3x+E$, $\;E=1$

$f(x)=\begin{cases}2x+C_1 & 0\le x\le1\\ x+C_2 & 1\le x\le2\\ -x+C_3 & 2\le x\le3\end{cases}$

$C_1=-1$ → $f(1)=1$. $\;1+C_2=1\Rightarrow C_2=0$ → $f(2)=2$. $\;-2+C_3=2\Rightarrow C_3=4$ → $f(3)=1$

점 $(0,-1)\to(1,1)\to(2,2)\to(3,1)$ 을 잇는 꺾은선: 기울기 $2$ → $1$ → $-1$. $x=1,2$ 에서 꺾이므로 미분불가(모서리), 하지만 연속.

$v'(t)=a$ (상수) → $v(t)=at+C$. $\;v(0)=v_0$ 이므로 $C=v_0$ → $v(t)=at+v_0$

$s'(t)=at+v_0$ → $s(t)=\tfrac12at^2+v_0t+D$. $\;s(0)=s_0$ 이므로 $D=s_0$

끝에서 $x$ cm 까지의 질량을 $m(x)$ 라 하면 선밀도는 질량의 변화율: $m'(x)=\rho(x)=x^{-1/2}$

$m(x)=2x^{1/2}+C$, 길이 $0$ 이면 질량 $0$: $m(0)=0\Rightarrow C=0$ → $m(x)=2\sqrt x$

1 m $=100$ cm → $m(100)=2\sqrt{100}=20$

경사면은 직선 $y=(\tan\alpha)x$. 포물선과 연립하면 ($x\ne0$)

$$\tan\theta-\dfrac{g x}{2v^2\cos^2\theta}=\tan\alpha\;\Rightarrow\;x=\dfrac{2v^2\cos^2\theta\,(\tan\theta-\tan\alpha)}{g}$$

$\tan\theta-\tan\alpha=\dfrac{\sin\theta\cos\alpha-\cos\theta\sin\alpha}{\cos\theta\cos\alpha}=\dfrac{\sin(\theta-\alpha)}{\cos\theta\cos\alpha}$ 이므로 $x=\dfrac{2v^2\cos\theta\sin(\theta-\alpha)}{g\cos\alpha}$.

경사면 위 거리는 $R=\dfrac{x}{\cos\alpha}=\dfrac{2v^2\cos\theta\,\sin(\theta-\alpha)}{g\cos^2\alpha}$ ∎

$\dfrac{d}{d\theta}\big[\cos\theta\sin(\theta-\alpha)\big]=-\sin\theta\sin(\theta-\alpha)+\cos\theta\cos(\theta-\alpha)=\cos(2\theta-\alpha)$

$\cos(2\theta-\alpha)=0 \Rightarrow 2\theta-\alpha=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}$. 이 점 전후로 $\cos(2\theta-\alpha)$ 가 $+\to-$ 이므로 최대.

최댓값: $\cos\theta\sin(\theta-\alpha)=\tfrac12[\sin(2\theta-\alpha)-\sin\alpha]=\tfrac12(1-\sin\alpha)$ → $R_{\max}=\dfrac{v^2(1-\sin\alpha)}{g\cos^2\alpha}=\dfrac{v^2}{g(1+\sin\alpha)}$

경사면이 $y=-(\tan\alpha)x$ 이므로 (a)에서 $\alpha$ 를 $-\alpha$ 로 바꾸면 된다.

$$R(\theta)=\dfrac{2v^2\cos\theta\,\sin(\theta+\alpha)}{g\cos^2\alpha}$$

도함수 $\propto\cos(2\theta+\alpha)=0 \Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}$, 최댓값 $R_{\max}=\dfrac{v^2(1+\sin\alpha)}{g\cos^2\alpha}=\dfrac{v^2}{g(1-\sin\alpha)}$

$I=\dfrac{k\cos\theta}{d^2}$, $d=\sqrt{h^2+400}$, $\cos\theta=\dfrac{h}{d}$ 이므로

$$I(h)=\dfrac{kh}{(h^2+400)^{3/2}}$$

$I'(h)=k\,\dfrac{(h^2+400)-3h^2}{(h^2+400)^{5/2}}=k\,\dfrac{400-2h^2}{(h^2+400)^{5/2}}=0 \Rightarrow h^2=200$

$h=10\sqrt2$ 전후로 $I'$ 가 $+\to-$ → 절대최대.

기둥 밑에서 여성까지의 거리 $x(t)$, $\dfrac{dx}{dt}=1$. 조명과 등의 점 사이 수직 거리는 $h-1$ 이므로

$$I=\dfrac{k\cos\theta}{d^2}=\dfrac{k(h-1)}{\big[(h-1)^2+x^2\big]^{3/2}}$$

$\dfrac{dI}{dt}=-\dfrac{3k(h-1)\,x}{\big[(h-1)^2+x^2\big]^{5/2}}\cdot\dfrac{dx}{dt}$

가장자리 $x=20$, $\dfrac{dx}{dt}=1$ 대입: $\dfrac{dI}{dt}=-\dfrac{60k(h-1)}{\big[(h-1)^2+400\big]^{5/2}}$

(a)의 최적 높이 $h=10\sqrt2$ 를 쓰면 $\dfrac{dI}{dt}\approx-1.00\times10^{-4}\,k$ (단위/s)

곡선이 $y$축 대칭이므로 꼭짓점을 $(\pm x,\,e^{-x^2})$, $x\gt0$ 로 두면 $A(x)=2x\,e^{-x^2}$.

$A'(x)=2e^{-x^2}+2x\cdot e^{-x^2}(-2x)=2e^{-x^2}(1-2x^2)=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt2}$

$0\lt x\lt\frac{1}{\sqrt2}$ 에서 $A'\gt0$, $x\gt\frac1{\sqrt2}$ 에서 $A'\lt0$ → 절대최대. 최대 넓이 $A=\sqrt2\,e^{-1/2}$.

$y'=-2xe^{-x^2}$, $y''=(4x^2-2)e^{-x^2}=0 \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}$ 이고 이 점에서 $y''$ 의 부호가 바뀐다 → 변곡점.

최대 넓이의 꼭짓점 $x=\pm\frac1{\sqrt2}$ 와 정확히 일치. ∎

접점 $(a,\,1-a^2)$, $0\lt a\lt1$. 기울기 $-2a$ → $y=-2ax+1+a^2$.

$x$절편 $\dfrac{1+a^2}{2a}$, $y$절편 $1+a^2$.

$T(a)=\dfrac12\cdot\dfrac{1+a^2}{2a}\cdot(1+a^2)=\dfrac{(1+a^2)^2}{4a}$

$T'(a)=\dfrac{4a(1+a^2)\cdot 4a-4(1+a^2)^2}{16a^2}=\dfrac{(1+a^2)(3a^2-1)}{4a^2}=0 \Rightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt3}$

$a\lt\frac1{\sqrt3}$ 에서 $T'\lt0$, $a\gt\frac1{\sqrt3}$ 에서 $T'\gt0$ → 절대최소. $T_{\min}=\dfrac{(4/3)^2}{4/\sqrt3}=\dfrac{4\sqrt3}{9}$.

$2x+y+x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$

$\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow y=-2x$. 곡선에 대입: $x^2-2x^2+4x^2=3x^2=12 \Rightarrow x=\pm2$

$x=2 \to y=-4$, $x=-2 \to y=4$ (부호가 반대로 짝지어짐에 주의). 두 점에서 $x+2y\ne0$ 이므로 도함수가 정의된다.

$x$ 에 대한 이차식 $x^2+yx+(y^2-12)=0$ 이 실근을 가져야 하므로 $D=y^2-4(y^2-12)=48-3y^2\ge0 \Rightarrow -4\le y\le4$. 곡선(타원)은 닫힌 곡선이라 최고·최저가 존재하고, 끝값 $y=\pm4$ 가 위 결과와 일치.

접선 기울기 $2a$ → 법선 기울기 $-\dfrac{1}{2a}$: $y-a^2=-\dfrac{1}{2a}(x-a)$.

$y=x^2$ 과 연립: $(x-a)(x+a)=-\dfrac{x-a}{2a} \Rightarrow x=-a-\dfrac{1}{2a}$ ($x\ne a$).

$Q\left(-a-\dfrac1{2a},\;a^2+1+\dfrac{1}{4a^2}\right)$

$y_Q(a)=a^2+1+\dfrac{1}{4a^2}$, $\;y_Q'(a)=2a-\dfrac{1}{2a^3}=0 \Rightarrow a^4=\dfrac14 \Rightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt2}$

$y_Q''=2+\dfrac{3}{2a^4}\gt0$ → 최소 (최솟값 $y_Q=2$). ∎

$x_P-x_Q=2a+\dfrac1{2a}=\dfrac{4a^2+1}{2a}$, $\;y_Q-y_P=1+\dfrac1{4a^2}=\dfrac{4a^2+1}{4a^2}$

$$|PQ|^2=\dfrac{(4a^2+1)^2}{4a^2}+\dfrac{(4a^2+1)^2}{16a^4}=\dfrac{(4a^2+1)^3}{16a^4}$$

$f(a)=\ln|PQ|^2=3\ln(4a^2+1)-4\ln a-\ln16$, $\;f'(a)=\dfrac{24a}{4a^2+1}-\dfrac4a=0 \Rightarrow 24a^2=16a^2+4 \Rightarrow a^2=\dfrac12$

$a\lt\frac1{\sqrt2}$ 에서 $f'\lt0$, $a\gt\frac1{\sqrt2}$ 에서 $f'\gt0$ → 최소. 이때 $|PQ|^2=\dfrac{27}{4}$, $|PQ|=\dfrac{3\sqrt3}{2}$. ∎

원의 중심은 원점, 밑변은 직선 $y=-1$ (원에 접함). 꼭짓점 $(0,a)$, $a\gt1$ 에서 원에 그은 접선이 $y$축과 이루는 반각을 $\varphi$ 라 하면, 원점에서 접점까지(반지름 1)가 접선에 수직이므로 $\sin\varphi=\dfrac1a$.

꼭짓점에서 밑변까지 높이 $a+1$ → 등변 $L=\dfrac{a+1}{\cos\varphi}=\dfrac{a+1}{\sqrt{1-1/a^2}}=a\sqrt{\dfrac{a+1}{a-1}}$

$\ln L^2=2\ln a+\ln(a+1)-\ln(a-1)$, $\;\dfrac{d}{da}=\dfrac2a+\dfrac1{a+1}-\dfrac1{a-1}=\dfrac2a-\dfrac{2}{a^2-1}=0$

$\Rightarrow a^2-1=a \Rightarrow a^2-a-1=0 \Rightarrow a=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ (황금비)

$a\to1^+$ 이면 $L\to\infty$, $a\to\infty$ 이면 $L\to\infty$ 이고 임계점이 하나뿐 → 절대최소.

$a^2=a+1$, $a-1=\frac1a$ 이므로 $L_{\min}=a\sqrt{a^3}=a^{5/2}\approx3.330$. 정삼각형($a=2$)이면 $L=2\sqrt3\approx3.464$ 로 더 길다.

$AB$ 는 고정이므로 넓이 최대 ⇔ $P(p,p^2)$ 에서 직선 $mx-y+b=0$ 까지의 거리 최대.

점과 직선 사이 거리: $\dfrac{|mp-p^2+b|}{\sqrt{m^2+1}}$. 호 $AOB$ 위에서는 $x_A\le p\le x_B$ 이므로 $mp+b-p^2\ge0$.

$g(p)=mp+b-p^2$, $\;g'(p)=m-2p=0 \Rightarrow p=\dfrac m2$, $g''=-2\lt0$ → 최대.

의미: $P$ 에서의 접선 기울기 $2p$ 가 직선 $AB$ 의 기울기 $m$ 과 같다 (평행한 접선).

$x_B-x_A=\sqrt{m^2+4b}$, $g(m/2)=\dfrac{m^2+4b}{4}$ → 넓이 $=\dfrac12(x_B-x_A)\,g\!\left(\frac m2\right)=\dfrac{(m^2+4b)^{3/2}}{8}$

$T_1=\dfrac{D}{c_1}$ (지표 경로)

$PR=SQ=\dfrac{h}{\cos\theta}$, $RS=D-2h\tan\theta$ → $T_2=\dfrac{2h}{c_1\cos\theta}+\dfrac{D-2h\tan\theta}{c_2}$

$PO=OQ=\sqrt{h^2+D^2/4}$ → $T_3=\dfrac{2\sqrt{h^2+D^2/4}}{c_1}=\dfrac{\sqrt{4h^2+D^2}}{c_1}$

$\dfrac{dT_2}{d\theta}=\dfrac{2h\sin\theta}{c_1\cos^2\theta}-\dfrac{2h}{c_2\cos^2\theta}=\dfrac{2h\,(c_2\sin\theta-c_1)}{c_1c_2\cos^2\theta}$

$=0 \Leftrightarrow \sin\theta=\dfrac{c_1}{c_2}$ (가능한 이유: $c_1\lt c_2$). 이보다 작은 $\theta$ 에서 음, 큰 $\theta$ 에서 양 → 최소. ∎

$c_1=\dfrac{D}{T_1}=\dfrac{1}{0.26}\approx3.846$ km/s

$T_3$: $4h^2+1=(0.34\,c_1)^2=\left(\dfrac{17}{13}\right)^2 \Rightarrow 4h^2=\dfrac{120}{169} \Rightarrow h=\dfrac{\sqrt{30}}{13}\approx0.421$ km

실제 두 번째 신호는 최소 시간 경로이므로 $\sin\theta=c_1/c_2$. 이를 $T_2$ 에 넣고 정리하면

$$T_2=\dfrac{D}{c_2}+\dfrac{2h\cos\theta}{c_1}=\dfrac{1}{c_2}+\dfrac{2h}{c_1}\sqrt{1-\dfrac{c_1^2}{c_2^2}}=0.32$$

수치로 풀면 $c_2\approx7.66$ km/s (이때 $\theta\approx30.1^\circ$).

$E$ 는 $F$ 의 천장 위 수선의 발, $x=|EC|$. $|EF|=\sqrt{r^2-x^2}$, $|BE|=d-x$ 이므로 $|BF|=\sqrt{(d-x)^2+r^2-x^2}=\sqrt{d^2+r^2-2dx}$.

$$|ED|=|EF|+|FD|=\sqrt{r^2-x^2}+\ell-\sqrt{d^2+r^2-2dx}$$

$\dfrac{d|ED|}{dx}=-\dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}+\dfrac{d}{\sqrt{d^2+r^2-2dx}}=0$

제곱해서 정리: $x^2(d^2+r^2-2dx)=d^2(r^2-x^2) \Rightarrow 2dx^3-(2d^2+r^2)x^2+d^2r^2=0$

$x=d$ 가 근이므로 $(x-d)(2dx^2-r^2x-dr^2)=0$. 그런데 $x\le r\lt d$ 라 $x=d$ 는 불가.

$2dx^2-r^2x-dr^2=0 \Rightarrow x=\dfrac{r^2\pm\sqrt{r^4+8d^2r^2}}{4d}=\dfrac{r\left(r\pm\sqrt{r^2+8d^2}\right)}{4d}$

그림에서 $x\gt0$ 이므로 $+$ 를 택한다. 또 $r\lt d$ 이면 $\sqrt{r^2+8d^2}\lt 4d-r$ 이 성립해 $x\lt r$ (범위 안).

$x\to r^-$ 에서 $\frac{d|ED|}{dx}\to-\infty$ 이고 임계점 왼쪽에서 양 → 이 점에서 최대. $W$, $\ell$ 은 식에 나타나지 않는다. ∎

지수 $x-x^2=-(x-\tfrac12)^2+\tfrac14$ 이므로 $x=\tfrac12$ 에서 최댓값 $e^{1/4}\approx1.2840$. $f(0)=f(1)=1$, $f(2)=e^{-2}\approx0.1353$. $x=\tfrac12$ 대칭인 종 모양 곡선이 $[0,2]$ 에서 올라갔다가 내려간다.

오른쪽 끝점 $0.5,\,1,\,1.5,\,2$:
$R_4=0.5\,[f(0.5)+f(1)+f(1.5)+f(2)]=0.5\,(1.2840+1+0.4724+0.1353)\approx0.5\times2.8917\approx1.4459$

중점 $0.25,\,0.75,\,1.25,\,1.75$:
$M_4=0.5\,(1.2062+1.2062+0.7316+0.2691)\approx0.5\times3.4132\approx1.7066$

$R_8=0.25\,[f(0.25)+f(0.5)+\cdots+f(2)]=0.25\,(1.2062+1.2840+1.2062+1+0.7316+0.4724+0.2691+0.1353)\approx0.25\times6.3049\approx1.5762$
$M_8=0.25\,[f(0.125)+f(0.375)+\cdots+f(1.875)]=0.25\,(1.1156+1.2641+1.2641+1.1156+0.8688+0.5971+0.3622+0.1939)\approx0.25\times6.7814\approx1.6953$

수치적분 $\displaystyle\int_0^2 e^{x-x^2}dx\approx1.6917$. 중점합이 오른쪽 끝점합보다 훨씬 정확하고, $n$ 을 늘리면 두 추정 모두 참값에 가까워진다.

속력이 증가하므로 각 구간에서 왼쪽 끝 속력이 최소, 오른쪽 끝 속력이 최대 → 하한 $=L_6$, 상한 $=R_6$. $\Delta t=0.5$ s, 구간 6개.

$L_6=0.5\,(0+1.9+3.3+4.5+5.5+5.9)=0.5\times21.1=10.55$ m

$R_6=0.5\,(1.9+3.3+4.5+5.5+5.9+6.2)=0.5\times27.3=13.65$ m

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$, $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$, $x_i=a+i\Delta x$ 와 비교하면 $\Delta x=\dfrac1n\Rightarrow b-a=1$.

$a=0$ 으로 잡으면 $x_i=\dfrac{i}{n}$, $f(x_i)=\left(\dfrac in\right)^3=x_i^3$ → $f(x)=x^3$, 구간 $[0,1]$.

$\Delta x=\dfrac2n\Rightarrow b-a=2$.

$x_i=\dfrac{2i}{n}$ → $f(x_i)=\dfrac{1}{1+x_i}$ → $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$, 구간 $[0,2]$.

$x_i=1+\dfrac{2i}{n}$ → $f(x_i)=\dfrac{1}{x_i}$ → $f(x)=\dfrac1x$, 구간 $[1,3]$. (방법 1 의 영역을 오른쪽으로 1 평행이동한 것 — 넓이는 같다)

$\Delta x=\dfrac3n\Rightarrow b-a=3$.

$x_i=1+\dfrac{3i}{n}$ → $f(x_i)=\sqrt{x_i}$ → $f(x)=\sqrt x$, 구간 $[1,4]$.

$x_i=\dfrac{3i}{n}$ → $f(x)=\sqrt{1+x}$, 구간 $[0,3]$ (같은 넓이).

$\Delta x=\dfrac{\pi}{4n}\Rightarrow b-a=\dfrac{\pi}{4}$.

$a=0$ 이면 $x_i=\dfrac{i\pi}{4n}=i\,\Delta x$, $f(x_i)=\tan x_i$ → $f(x)=\tan x$, 구간 $\left[0,\dfrac\pi4\right]$. ($\tan x\ge0$ 이므로 넓이로 해석 가능)

표의 점이 4 간격이므로 소구간 5개, $\Delta x=4$.

$f$ 가 증가하므로 각 소구간에서 최솟값은 왼쪽 끝점, 최댓값은 오른쪽 끝점이다. (수업 필기: lower = left, upper = right)

$L_5=4\,[f(10)+f(14)+f(18)+f(22)+f(26)]=4(-12-6-2+1+3)=4(-16)=-64$

$R_5=4\,[f(14)+f(18)+f(22)+f(26)+f(30)]=4(-6-2+1+3+8)=4(4)=16$

$[0,2]$: 높이 1과 3, 폭 2 → $\frac{1+3}{2}\cdot2=4$

$\int_0^5=\underbrace{4}_{[0,2]}+\underbrace{3\cdot1}_{[2,3]}+\underbrace{\tfrac12\cdot2\cdot3}_{[3,5]}=4+3+3=10$

$[5,7]$: 밑변 2, 높이 3 인 삼각형이 x축 아래 → $-\frac12\cdot2\cdot3=-3$

$\int_3^7=\int_3^5+\int_5^7=3+(-3)=0$

$|f|$ 는 x축 아래 부분을 위로 접는다(수업 필기 "그냥 접어 올리기"). $\int_3^7|f|=3+3=6$

$\int_2^0 f=-\int_0^2 f=-4$

밑변 2, 높이 4 → $\frac12\cdot2\cdot4=4$

반지름 2 인 반원의 넓이 $\frac12\pi(2)^2=2\pi$, x축 아래이므로 $-2\pi$

$[6,7]$ 은 밑변 1, 높이 1 삼각형 → $\frac12$.
$\int_0^7 g=4-2\pi+\frac12=\frac92-2\pi$

(수업 필기 "$\frac1n$ 앞에 빼고 생각") $\dfrac{i^4}{n^5}=\dfrac1n\left(\dfrac in\right)^4$

$\Delta x=\dfrac1n$, $x_i=\dfrac in$ → $a=0$, $b=1$, $f(x)=x^4$ (오른쪽 끝점)

$\int_0^1x^4\,dx=\frac15$ — 극한 $\lim\frac{1}{n^5}\sum i^4=\frac15$ 과 일치(sympy 확인).

$\Delta x=\dfrac1n$, $x_i=\dfrac in$ → $a=0$, $b=1$, $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$

$x_i=1+\frac in$ 처럼 잡으면 식이 달라지므로, 식 안의 $\frac in$ 이 그대로 $x$ 가 되는 $[0,1]$ 이 가장 자연스럽다.

$\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\tan^{-1}1=\frac{\pi}{4}$ ($n=2000$ 리만합 $0.78527\ldots$ 로 수치 확인).

$\Delta x=\frac1n$, $x_i=1+\frac in=\frac{n+i}{n}$. $x_i^*=\sqrt{x_{i-1}x_i}$ 는 $[x_{i-1},x_i]$ 안의 점이고 $f(x_i^*)=\dfrac{1}{(x_i^*)^2}=\dfrac{1}{x_{i-1}x_i}$.

$f(x_i^*)\Delta x=\dfrac1n\cdot\dfrac{n^2}{(n+i-1)(n+i)}=n\cdot\dfrac{1}{(n+i-1)(n+i)}$

$m=n+i-1$ 로 놓고 항등식 적용: $=n\left(\dfrac{1}{n+i-1}-\dfrac{1}{n+i}\right)$

$$\sum_{i=1}^{n}n\left(\frac{1}{n+i-1}-\frac{1}{n+i}\right)=n\left(\frac1n-\frac{1}{2n}\right)=\frac12$$

모든 $n$ 에 대해 합이 정확히 $\frac12$ 이므로 극한도 $\frac12$.

역도함수로 $\left[-\frac1x\right]_1^2=-\frac12+1=\frac12$ 과 일치.

$\sqrt x=x^{1/2}$ 이므로 $F(x)=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac23x^{3/2}$

$\dfrac23\left(9^{3/2}-1^{3/2}\right)=\dfrac23(27-1)$

$F(x)=\dfrac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}$

$3\left(8^{1/3}-1^{1/3}\right)=3(2-1)$

$F(\theta)=\sin\theta$

$\sin0-\sin\dfrac{\pi}{2}=0-1$  (구간이 거꾸로이므로 $-\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta$ 와 같다)

$e\approx2.718$ 은 변수가 아닌 상수이므로 $e^x$ 처럼 적분하지 않는다. 역도함수 $F(x)=ex$

$e\cdot5-e\cdot(-5)=10e$  (높이 $e$, 밑변 10인 직사각형 넓이)

$\dfrac{d}{ds}2^s=2^s\ln2$ 이므로 $F(s)=\dfrac{2^s}{\ln2}$

$\dfrac{2^4-2^0}{\ln2}=\dfrac{16-1}{\ln2}$

$\dfrac{d}{dx}\sin^{-1}x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 이므로 $F(x)=4\sin^{-1}x$

$4\left(\sin^{-1}\dfrac{1}{\sqrt2}-\sin^{-1}\dfrac12\right)=4\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}\right)=4\cdot\dfrac{\pi}{12}$

$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm2$. 꼭짓점 $(0,4)$ 인 아래로 볼록한 포물선, $-2\le x\le2$ 에서 $y\ge0$

$A=\displaystyle\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=2\int_0^2(4-x^2)\,dx=2\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=2\left(8-\dfrac83\right)$

$2x-x^2=x(2-x)=0 \Rightarrow x=0,\,2$. 꼭짓점 $(1,1)$ 인 포물선, $0\le x\le2$ 에서 $y\ge0$

$A=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\dfrac83$

$g(x)=\displaystyle\int_{1-2x}^{0}t\sin t\,dt+\int_{0}^{1+2x}t\sin t\,dt=-\int_{0}^{1-2x}t\sin t\,dt+\int_{0}^{1+2x}t\sin t\,dt$

$g'(x)=-(1-2x)\sin(1-2x)\cdot(-2)+(1+2x)\sin(1+2x)\cdot2$

아래끝에서 생기는 $-$ 와 속미분 $(1-2x)'=-2$ 의 $-$ 가 곱해져 plus 가 된다. 일반형: $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x)$

$F(x)=\displaystyle\int_{x}^{a}e^{t^2}dt+\int_{a}^{x^2}e^{t^2}dt=-\int_{a}^{x}e^{t^2}dt+\int_{a}^{x^2}e^{t^2}dt$

$F'(x)=-e^{x^2}\cdot1+e^{(x^2)^2}\cdot(x^2)'=-e^{x^2}+e^{x^4}\cdot2x$

위끝 $x^2$ 을 $t^2$ 에 넣으면 $(x^2)^2=x^4$ — $e^{x^2}$ 로 쓰는 실수 금지

$F(2)=\displaystyle\int_2^2e^{t^2}dt=0$ → 접점 $(2,0)$

$F'(x)=e^{x^2} \Rightarrow F'(2)=e^{4}$

$y-F(2)=F'(2)(x-2) \Rightarrow y-0=e^4(x-2)$

$\dfrac{i^4}{n^5}+\dfrac{i}{n^2}=\dfrac1n\left[\left(\dfrac in\right)^4+\dfrac in\right]$  ($\Delta x=\dfrac1n$, $x_i=\dfrac in$)

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x=\int_0^1(x^4+x)\,dx=\left[\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=\dfrac15+\dfrac12$

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\dfrac in}\cdot\dfrac1n$  ($f(x)=\sqrt x$, $x_i=\dfrac in$, $\Delta x=\dfrac1n$)

$\displaystyle\int_0^1\sqrt x\,dx=\left[\dfrac23x^{3/2}\right]_0^1$

$y$ 를 가로축처럼 보면 높이는 $x=2y-y^2\ (\ge0,\ 0\le y\le2)$ 이므로 넓이 $=\displaystyle\int_0^2(2y-y^2)\,dy$

$\left[y^2-\dfrac{y^3}{3}\right]_0^2=4-\dfrac83$

$y=\sqrt[4]{x}\ \Rightarrow\ x=y^4$ ($0\le y\le1$). 영역은 $y$축($x=0$)과 곡선 $x=y^4$ 사이.

넓이 $=\displaystyle\int_0^1 y^4\,dy=\left[\dfrac{y^5}{5}\right]_0^1$

$\displaystyle\int_0^1\left(1-x^{1/4}\right)dx=1-\dfrac45=\dfrac15$ ✓

$\displaystyle\int_5^{10}w'(t)\,dt=w(10)-w(5)$

(kg/년) × (년) = kg

(L/분) × (분) = L, $t$ 는 0분부터 120분까지

$\displaystyle\int_0^{15}n'(t)\,dt=n(15)-n(0)$ = 15주 동안의 개체 수 변화량

$n(0)=100$ 이므로 $100+\big(n(15)-100\big)=n(15)$

$\displaystyle\int_{1000}^{5000}R'(x)\,dx=R(5000)-R(1000)$

높이를 $h(x)$ 라 하면 $f(x)=h'(x)$ (단위 km/km, 무차원)

$\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx=h(5)-h(3)$, 단위는 (무차원) × km = km

(회/분) × (분) = 회

$\dfrac{da}{dx}=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta a}{\Delta x}$ : $\dfrac{\text{kg/m}}{\text{m}}=\text{kg/m}^2$

$\displaystyle\int_2^8 a(x)\,dx=\lim\sum a(x_i^*)\Delta x$ : (kg/m) × m = kg

($f$ 의 단위) × ($x$ 의 단위) = N × m = N·m

힘 × 거리 = 일(work), N·m = 줄(joule, J)

$m(x)$ = 왼쪽 끝부터 $x$ 까지의 질량이면 $m'(x)=\rho(x)$, 전체 질량 $=\displaystyle\int_0^4\rho(x)\,dx=m(4)-m(0)$

$\displaystyle\int_0^4\left(9+2x^{1/2}\right)dx=\left[9x+\dfrac43x^{3/2}\right]_0^4=36+\dfrac43\cdot8=36+\dfrac{32}{3}$

$0\le t\le10$ 에서 $r(t)=200-4t\ge160\gt0$ 이므로 유출량 = 그대로 적분

$\displaystyle\int_0^{10}(200-4t)\,dt=\left[200t-2t^2\right]_0^{10}=2000-200$

$V(4)=V(0)+\displaystyle\int_0^4 r(t)\,dt=25000+\int_0^4 r(t)\,dt$ ($r\lt0$ 인 $3\lt t\le4$ 구간은 물이 줄어듦 → 음수로 그대로 더함)

중점 $t=0.5,\,1.5,\,2.5,\,3.5$ 에서 그래프 판독: $r(0.5)\approx1500,\ r(1.5)\approx1780,\ r(2.5)\approx730,\ r(3.5)\approx-700$

$\displaystyle\int_0^4 r(t)\,dt\approx(1500+1780+730-700)\cdot1=3310$

$u=2x$ → $du=2\,dx$ → $dx=\tfrac12du$

$\displaystyle\int\cos 2x\,dx=\int\cos u\cdot\tfrac12du=\tfrac12\sin u+C$

$\tfrac12\sin 2x+C$. 미분하면 $\tfrac12\cos2x\cdot2=\cos2x$ ✔

$u=-x^2$ → $du=-2x\,dx$ → $x\,dx=-\tfrac12du$

$\displaystyle\int e^{-x^2}\,x\,dx=\int e^u\left(-\tfrac12\right)du=-\tfrac12e^u+C$

$-\tfrac12e^{-x^2}+C$. 미분: $-\tfrac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ ✔

$u=\sin\theta$ → $du=\cos\theta\,d\theta$ (피적분함수에 $u'$ 인 $\cos\theta$ 가 그대로 있음)

$\displaystyle\int u^2\,du=\dfrac{u^3}{3}+C$

$\dfrac{\sin^3\theta}{3}+C$. 미분: $\sin^2\theta\cos\theta$ ✔

$u=\ln x$ → $du=\dfrac1x\,dx$ ($\tfrac1x$ 가 $\ln x$ 의 도함수로 이미 들어 있음)

$\displaystyle\int u^2\,du=\dfrac{u^3}{3}+C$

$\dfrac{(\ln x)^3}{3}+C$. 미분: $(\ln x)^2\cdot\dfrac1x$ ✔

$x^4=(x^2)^2$ 이고 분자 $x$ 는 $x^2$ 의 도함수 $2x$ 의 상수배 → $u=x^2$

$u=x^2$, $du=2x\,dx$ → $x\,dx=\tfrac12du$

$\displaystyle\int\dfrac{x}{1+x^4}dx=\tfrac12\int\dfrac{1}{1+u^2}du=\tfrac12\arctan u+C$

$\tfrac12\arctan(x^2)+C$. 미분: $\tfrac12\cdot\dfrac{2x}{1+x^4}=\dfrac{x}{1+x^4}$ ✔

안쪽 함수 $\cos x$ 를 $u$ 로: $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$ → $\sin x\,dx=-du$

$\displaystyle\int u^4(-du)=-\dfrac{u^5}{5}+C$

$-\dfrac{\cos^5x}{5}+C$. 미분: $-\cos^4x\cdot(-\sin x)=\sin x\cos^4x$ ✔

$F(x)=-\tfrac15\cos^5x$ 는 $f(x)=\sin x\cos^4x\ge0$ 인 $0\le x\le\pi$ 에서 증가, $f\le0$ 인 $\pi\le x\le2\pi$ 에서 감소하며, $x=0,\pi$ 에서 극값, $x=\tfrac\pi2$ 에서 수평접선($f=0$)을 가진다 → 타당.

$u=\dfrac{\pi t}{2}$, $du=\dfrac\pi2dt$ → $dt=\dfrac2\pi du$

$t=0\to u=0$, $t=1\to u=\dfrac\pi2$

$\displaystyle\dfrac2\pi\int_0^{\pi/2}\cos u\,du=\dfrac2\pi\Big[\sin u\Big]_0^{\pi/2}=\dfrac2\pi(1-0)$

$u=\dfrac1x$ → $du=-\dfrac{1}{x^2}dx$ → $\dfrac{1}{x^2}dx=-du$

$x=1\to u=1$, $x=2\to u=\tfrac12$

$\displaystyle\int_1^{1/2}e^u(-du)=\int_{1/2}^1e^u\,du=\Big[e^u\Big]_{1/2}^1=e-e^{1/2}$ (음수 부호로 위끝·아래끝을 뒤집음)

$e^{2x}=(e^x)^2$, 분자 $e^x$ 는 $e^x$ 의 도함수 → $u=e^x$

$u=e^x$, $du=e^x\,dx$; $x=0\to u=1$, $x=1\to u=e$

$\displaystyle\int_1^e\dfrac{1}{1+u^2}du=\Big[\tan^{-1}u\Big]_1^e=\tan^{-1}e-\tan^{-1}1$

$u=a^2-x^2$ → $du=-2x\,dx$ → $x\,dx=-\tfrac12du$

$x=0\to u=a^2$, $x=a\to u=0$

$\displaystyle-\tfrac12\int_{a^2}^0\sqrt u\,du=\tfrac12\int_0^{a^2}u^{1/2}du=\tfrac12\cdot\tfrac23\Big[u^{3/2}\Big]_0^{a^2}=\tfrac13(a^2)^{3/2}$

위끝이 $a$ 이므로 $a\ge0$ 로 보면 $(a^2)^{3/2}=a^3$. (일반적으로는 $\tfrac13|a|^3$)

$u=x^2+a^2$ → $du=2x\,dx$ → $x\,dx=\tfrac12du$

$x=0\to u=a^2$, $x=a\to u=2a^2$

$\displaystyle\tfrac12\int_{a^2}^{2a^2}u^{1/2}du=\tfrac12\cdot\tfrac23\Big[u^{3/2}\Big]_{a^2}^{2a^2}=\tfrac13\left[(2a^2)^{3/2}-(a^2)^{3/2}\right]=\tfrac13\left(2\sqrt2\,a^3-a^3\right)$

$u=\ln x$, $du=\dfrac1x dx$

$x=e\to u=1$, $x=e^4\to u=4$

$\displaystyle\int_1^4u^{-1/2}du=\Big[2\sqrt u\Big]_1^4=2(2)-2(1)$

$u=x^2$, $du=2x\,dx$ → $x\,dx=\tfrac12du$; $x=0\to u=0$, $x=1\to u=1$

$\displaystyle\int_0^1x\sqrt{1-x^4}\,dx=\tfrac12\int_0^1\sqrt{1-u^2}\,du$

$y=\sqrt{1-u^2}$ ⇔ $u^2+y^2=1$, $y\ge0$ : 반지름 1인 단위원의 윗부분. $0\le u\le1$ 구간은 사분원(quarter-circle)이므로 넓이 $=\tfrac14\pi(1)^2=\tfrac\pi4$

$\tfrac12\cdot\tfrac\pi4=\tfrac\pi8$

$\displaystyle A_1=\int_0^1e^{\sqrt x}dx$. $u=\sqrt x$ → $x=u^2$, $dx=2u\,du$; $x=0\to u=0$, $x=1\to u=1$ → $\displaystyle A_1=\int_0^12u\,e^u\,du$

$\displaystyle A_2=\int_0^12x\,e^x\,dx$ — 적분변수 이름만 다를 뿐(dummy variable) $A_1$ 과 같은 적분

$\sin2x=2\sin x\cos x$ (double angle) → $\displaystyle A_3=\int_0^{\pi/2}2\sin x\,e^{\sin x}\cos x\,dx$. $u=\sin x$, $du=\cos x\,dx$; $x=0\to u=0$, $x=\tfrac\pi2\to u=1$ → $\displaystyle A_3=\int_0^12u\,e^u\,du$

셋 다 $\displaystyle\int_0^12ue^u\,du$ 로 바뀌므로 모두 같다. 값: $\Big[2(u-1)e^u\Big]_0^1=0-(-2)=2$

$B(20)=B(0)+\displaystyle\int_0^{20}G(t)\,dt=25000+\int_0^{20}\dfrac{60000e^{-0.6t}}{(1+5e^{-0.6t})^2}dt$

$u=1+5e^{-0.6t}$ → $du=-3e^{-0.6t}dt$ → $e^{-0.6t}dt=-\tfrac13du$

$t=0\to u=6$, $t=20\to u=1+5e^{-12}$

$\displaystyle\int_6^{1+5e^{-12}}60000u^{-2}\left(-\tfrac13\right)du=\Big[\dfrac{20000}{u}\Big]_6^{1+5e^{-12}}=\dfrac{20000}{1+5e^{-12}}-\dfrac{20000}{6}\approx19999.39-3333.33=16666.05$

$B(20)\approx25000+16666.05=41666.05$

$u=2x$, $du=2\,dx$ → $dx=\tfrac12du$

$x=0\to u=0$, $x=2\to u=4$

$\displaystyle\int_0^2f(2x)\,dx=\tfrac12\int_0^4f(u)\,du=\tfrac12\cdot10$ (가로로 $\tfrac12$배 압축 → 넓이도 $\tfrac12$배)

$u=x^2$, $du=2x\,dx$ → $x\,dx=\tfrac12du$

$x=0\to u=0$, $x=3\to u=9$

$\displaystyle\int_0^3f(x^2)\,x\,dx=\tfrac12\int_0^9f(u)\,du=\tfrac12\cdot4$

$u=-x$ → $du=-dx$ → $dx=-du$

$x=a\to u=-a$, $x=b\to u=-b$

$\displaystyle\int_a^bf(-x)\,dx=\int_{-a}^{-b}f(u)(-du)=\int_{-b}^{-a}f(u)\,du=\int_{-b}^{-a}f(x)\,dx$ (적분변수 이름은 무관)

$y=f(-x)$ 의 그래프는 $y=f(x)$ 를 $y$축에 대해 뒤집은 것. 따라서 $[a,b]$ 에서 $y=f(-x)$ 아래 넓이는 $[-b,-a]$ 에서 $y=f(x)$ 아래 넓이를 거울에 비춘 것으로 같다.

$u=x+c$ → $du=dx$

$x=a\to u=a+c$, $x=b\to u=b+c$

$\displaystyle\int_a^bf(x+c)\,dx=\int_{a+c}^{b+c}f(u)\,du=\int_{a+c}^{b+c}f(x)\,dx$

$y=f(x+c)$ 는 $y=f(x)$ 를 $x$축 방향으로 $-c$ 만큼 옮긴 그래프. $[a,b]$ 에서 $y=f(x+c)$ 아래 영역을 $c$ 만큼 옮기면 정확히 $[a+c,b+c]$ 에서 $y=f(x)$ 아래 영역과 겹치므로 넓이가 같다.

$u=1-x$ → $x=1-u$, $du=-dx$ → $dx=-du$

$x=0\to u=1$, $x=1\to u=0$

$\displaystyle\int_0^1x^a(1-x)^b\,dx=\int_1^0(1-u)^a\,u^b\,(-du)=\int_0^1u^b(1-u)^a\,du=\int_0^1x^b(1-x)^a\,dx$

이 적분은 베타함수 $B(a+1,b+1)$ 이며, 위 결과는 $B(p,q)=B(q,p)$ (대칭성)를 뜻한다. 그래프로는 $x=\tfrac12$ 에 대한 좌우 반사.

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt=f(x)$ 이므로 피적분함수에 $t=x$ 를 대입한다.

$F(x)=-\displaystyle\int_1^x\sqrt{t+\sin t}\,dt$

$F'(x)=-\sqrt{x+\sin x}$

$g(x)=\displaystyle\int_0^{u}\cos(t^2)\,dt,\quad \dfrac{dg}{dx}=\dfrac{dg}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$

$g'(x)=\cos\!\big((x^4)^2\big)\cdot4x^3=\cos(x^8)\cdot4x^3$

$g'(x)=\dfrac{1-\sin^2x}{1+\sin^4x}\cdot\cos x$

$g'(x)=\dfrac{\cos^2x\cdot\cos x}{1+\sin^4x}$

$T=\dfrac{C}{\sqrt{4\pi kt}}\cdot\dfrac{\displaystyle\int_0^a e^{-(x-u)^2/(4kt)}\,du}{a}$ — $a\to0$ 이면 분자 $\to\int_0^0=0$, 분모 $\to0$: $\dfrac00$ 꼴

$\displaystyle\lim_{a\to0}\dfrac{\int_0^a e^{-(x-u)^2/(4kt)}\,du}{a}=\lim_{a\to0}\dfrac{e^{-(x-a)^2/(4kt)}}{1}=e^{-x^2/(4kt)}$

$F(x)=\displaystyle\int_2^x\sqrt{1+t^3}\,dt$ 로 두면 $F(2)=0$, 식 $=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{F(2+h)-F(2)}{h}=F'(2)$

$F'(x)=\sqrt{1+x^3}\;\Rightarrow\;F'(2)=\sqrt{1+8}=3$

$\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\int_2^{2+h}\sqrt{1+t^3}\,dt}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{1+(2+h)^3}}{1}=\sqrt9=3$

좌변(곱의 법칙): $\sin\pi x+\pi x\cos\pi x$  /  우변(FTC1+연쇄법칙): $f(x^2)\cdot2x$

$\sin2\pi+2\pi\cos2\pi=f(4)\cdot4\;\Rightarrow\;0+2\pi=4f(4)$

$dt$ 로 적분하므로 $x^2$ 은 상수 취급: $f(x)=x^2\displaystyle\int_0^x\sin(t^2)\,dt$

$f'(x)=2x\displaystyle\int_0^x\sin(t^2)\,dt+x^2\cdot\sin(x^2)$

FTC1 을 바로 써서 $f'(x)=x^2\sin(x^2)$ 로 쓰면 틀린다 — 피적분함수에 $x$ 가 들어 있으면 먼저 밖으로 뺀다.

중심을 액면 위 $h$ ($0\lt h\lt r$) 에 두자. 회전하면 중심에서 거리 $\gt h$ 인 점은 한 번씩 액체에 잠기므로 젖는다. 거리 $\le h$ 인 점(반지름 $h$ 인 안쪽 원)은 절대 잠기지 않는다. 따라서
$A(h)=(\text{액면 위 원판 넓이})-\pi h^2$

액면 아래 활꼴 넓이 $=r^2\cos^{-1}\!\dfrac hr-h\sqrt{r^2-h^2}$ 이므로
$A(h)=\pi r^2-\pi h^2-r^2\cos^{-1}\!\dfrac hr+h\sqrt{r^2-h^2}$

$A'(h)=-2\pi h+\dfrac{r^2}{\sqrt{r^2-h^2}}+\sqrt{r^2-h^2}-\dfrac{h^2}{\sqrt{r^2-h^2}}=-2\pi h+\dfrac{2(r^2-h^2)}{\sqrt{r^2-h^2}}=-2\pi h+2\sqrt{r^2-h^2}$

$A'(h)=0\iff\sqrt{r^2-h^2}=\pi h\iff r^2=h^2(1+\pi^2)\iff h=\dfrac{r}{\sqrt{1+\pi^2}}$

$A''(h)=-2\pi-\dfrac{2h}{\sqrt{r^2-h^2}}\lt0$ (오목) 이고 $A'$ 는 이 점에서 $+$ 에서 $-$ 로 바뀌므로 유일한 임계점이 최대.

두 경계가 모두 $x=(\text{y의 식})$ 꼴 → $y$ 로 적분하면 오른쪽·왼쪽 경계가 각각 한 식이라 나눌 필요가 없다. ($x$ 로 하면 $y=\pm\sqrt{1-x}$, $y=\pm\sqrt{x+1}$ 네 조각)

$1-y^2=y^2-1\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1$, 교점 $(0,-1),(0,1)$

$y=0$ 대입: $x_R=1-0=1$, $x_L=0-1=-1$ → $x_R=1-y^2$, $x_L=y^2-1$. 직사각형: 폭 $\Delta y$, 길이 $x_R-x_L=2-2y^2$.

$A=\displaystyle\int_{-1}^{1}\big[(1-y^2)-(y^2-1)\big]dy=2\int_0^1(2-2y^2)\,dy=2\left[2y-\tfrac23y^3\right]_0^1=2\cdot\tfrac43$

※ $x_L-x_R$ 로 순서를 뒤집으면 $-\tfrac83$ 이 나온다 — 넓이는 항상 (오른쪽 − 왼쪽).

$\sqrt[3]{2x}=\tfrac12x\Rightarrow 2x=\tfrac{x^3}{8}\Rightarrow x^3-16x=0\Rightarrow x=0,\ \pm4$

$x=1$: $\sqrt[3]{2}\approx1.26\gt0.5$ → $[0,4]$ 에서 $\sqrt[3]{2x}$ 가 위. 두 함수 모두 기함수(원점 대칭)이므로 $[-4,0]$ 에서는 $\tfrac12x$ 가 위이고 넓이는 같다.

$y=f(x)$ 꼴이고 위·아래가 교점에서만 바뀌므로 $x$ 적분 (구간 둘을 대칭으로 합침).

$\displaystyle\int_0^4(2x)^{1/3}dx=2^{1/3}\cdot\tfrac34x^{4/3}\Big|_0^4=\tfrac34\cdot2^{1/3}\cdot2^{8/3}=6$, $\displaystyle\int_0^4\tfrac12x\,dx=4$

$A=2(6-4)$

$\sqrt{x}=\tfrac13x\Rightarrow 9x=x^2\Rightarrow x=0,\ 9$

$x=4$: $\sqrt4=2\gt\tfrac43$ → $[0,9]$ 에서 $\sqrt x$ 가 위. $x=16$: $\tfrac{16}{3}\gt4$ → $[9,16]$ 에서 $\tfrac13x$ 가 위. $x=9$ 에서 위·아래가 바뀐다.

$\displaystyle\int_0^9\left(\sqrt x-\tfrac x3\right)dx=\left[\tfrac23x^{3/2}-\tfrac{x^2}{6}\right]_0^9=18-\tfrac{27}{2}=\tfrac92$

$\displaystyle\int_9^{16}\left(\tfrac x3-\sqrt x\right)dx=\left[\tfrac{x^2}{6}-\tfrac23x^{3/2}\right]_9^{16}=\left(\tfrac{128}{3}-\tfrac{128}{3}\right)-\left(\tfrac{27}{2}-18\right)=\tfrac92$

$\cos x=2\sin x\cos x\Rightarrow\cos x(1-2\sin x)=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}$ 또는 $\sin x=\tfrac12\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{6}$

$x=0$: $\cos0=1\gt\sin0=0$ → $[0,\tfrac\pi6]$ 에서 $\cos x$ 위. $x=\tfrac\pi4$: $\sin\tfrac\pi2=1\gt\tfrac{\sqrt2}{2}$ → $[\tfrac\pi6,\tfrac\pi2]$ 에서 $\sin2x$ 위. ($x$ 적분: 두 곡선 모두 $y=f(x)$ 꼴)

$\displaystyle\int_0^{\pi/6}(\cos x-\sin2x)\,dx=\left[\sin x+\tfrac12\cos2x\right]_0^{\pi/6}=\left(\tfrac12+\tfrac14\right)-\tfrac12=\tfrac14$

$\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2}(\sin2x-\cos x)\,dx=\left[-\tfrac12\cos2x-\sin x\right]_{\pi/6}^{\pi/2}=\left(\tfrac12-1\right)-\left(-\tfrac14-\tfrac12\right)=\tfrac14$

$\cos x=1-\cos x\Rightarrow\cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\tfrac\pi3$

$x=0$: $1\gt0$ → $[0,\tfrac\pi3]$ 에서 $\cos x$ 위. $x=\pi$: $1-(-1)=2\gt-1$ → $[\tfrac\pi3,\pi]$ 에서 $1-\cos x$ 위. 차 $=\pm(2\cos x-1)$. ($x$ 적분)

$\displaystyle\int_0^{\pi/3}(2\cos x-1)\,dx=\left[2\sin x-x\right]_0^{\pi/3}=\sqrt3-\tfrac\pi3$

$\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi}(1-2\cos x)\,dx=\left[x-2\sin x\right]_{\pi/3}^{\pi}=\pi-\left(\tfrac\pi3-\sqrt3\right)=\tfrac{2\pi}{3}+\sqrt3$

$x=0$: $0=0$, $x=1$: $\sin\tfrac\pi2=1=1^3$, $x=-1$: $-1=-1$ → 교점 $x=-1,0,1$ (그래프상 다른 교점 없음, 수치 확인)

$x=\tfrac12$: $\sin\tfrac\pi4\approx0.707\gt\tfrac18$ → $[0,1]$ 에서 사인이 위. 두 함수 모두 기함수이므로 $[-1,0]$ 에서는 $x^3$ 이 위, 넓이 같음. ($x$ 적분)

$A=2\displaystyle\int_0^1\left(\sin\tfrac{\pi x}{2}-x^3\right)dx=2\left[-\tfrac2\pi\cos\tfrac{\pi x}{2}-\tfrac{x^4}{4}\right]_0^1=2\left(\tfrac2\pi-\tfrac14\right)$

$4-(e^x+e^{-x})=\tfrac14(e^x-e^{-x})\Rightarrow 16-4e^x-4e^{-x}=e^x-e^{-x}\Rightarrow 5e^x+3e^{-x}-16=0$

$\times e^x$: $5u^2-16u+3=0\Rightarrow(5u-1)(u-3)=0\Rightarrow u=\tfrac15,\ 3\Rightarrow x=-\ln5,\ \ln3$

$x=0$: $4-2=2\gt\tfrac12\sinh0=0$ → $[-\ln5,\ln3]$ 에서 $4-2\cosh x$ 가 위. ($x$ 적분)

$\displaystyle\int\left(4-2\cosh x-\tfrac12\sinh x\right)dx=4x-2\sinh x-\tfrac12\cosh x$

$x=\ln3$: $\sinh=\tfrac{3-1/3}{2}=\tfrac43$, $\cosh=\tfrac53$ → $4\ln3-\tfrac83-\tfrac56=4\ln3-\tfrac72$

$x=-\ln5$: $\sinh=\tfrac{1/5-5}{2}=-\tfrac{12}{5}$, $\cosh=\tfrac{13}{5}$ → $-4\ln5+\tfrac{24}{5}-\tfrac{13}{10}=-4\ln5+\tfrac72$

$A=\left(4\ln3-\tfrac72\right)-\left(-4\ln5+\tfrac72\right)=4\ln3+4\ln5-7$

$x=\tfrac1x\Rightarrow(1,1)$, $\tfrac14x=\tfrac1x\Rightarrow x^2=4\Rightarrow(2,\tfrac12)$, $x=\tfrac14x\Rightarrow(0,0)$

아래 경계는 항상 $y=\tfrac14x$. 위 경계는 $[0,1]$ 에서 $y=x$, $[1,2]$ 에서 $y=\tfrac1x$ ($x=1.5$: $\tfrac1{1.5}\approx0.67\lt1.5$). $x$ 적분 시 $x=1$ 에서 한 번 나누면 된다 (본문 Example 6 과 같은 영역).

$\displaystyle\int_0^1\left(x-\tfrac14x\right)dx=\tfrac38$, $\displaystyle\int_1^2\left(\tfrac1x-\tfrac14x\right)dx=\ln2-\tfrac18\cdot3=\ln2-\tfrac38$

곡선 $y=\sin x$ 와 $y=\cos2x$ 사이, $x=0$ 부터 $x=\tfrac\pi2$ 까지 영역의 넓이.

$\sin x=1-2\sin^2x\Rightarrow2\sin^2x+\sin x-1=0\Rightarrow(2\sin x-1)(\sin x+1)=0\Rightarrow\sin x=\tfrac12\Rightarrow x=\tfrac\pi6$

$x=0$: $\cos0=1\gt0$ → $[0,\tfrac\pi6]$ 에서 $\cos2x$ 위. $x=\tfrac\pi2$: $1\gt\cos\pi=-1$ → $[\tfrac\pi6,\tfrac\pi2]$ 에서 $\sin x$ 위.

$\displaystyle\int_0^{\pi/6}(\cos2x-\sin x)\,dx=\left[\tfrac12\sin2x+\cos x\right]_0^{\pi/6}=\tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac{\sqrt3}{2}-1=\tfrac{3\sqrt3}{4}-1$

$\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2}(\sin x-\cos2x)\,dx=\left[-\cos x-\tfrac12\sin2x\right]_{\pi/6}^{\pi/2}=0-\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac{\sqrt3}{4}\right)=\tfrac{3\sqrt3}{4}$

곡선 $y=3^x$, $y=2^x$ 사이, $x=-1\sim1$ 영역의 넓이. $3^x=2^x\Leftrightarrow(3/2)^x=1\Leftrightarrow x=0$, 교점 $(0,1)$.

$x=1$: $3\gt2$ → $[0,1]$ 에서 $3^x$ 위. $x=-1$: $\tfrac13\lt\tfrac12$ → $[-1,0]$ 에서 $2^x$ 위.

$\displaystyle\int_{-1}^{0}(2^x-3^x)\,dx=\left(\tfrac{1}{\ln2}-\tfrac{1}{\ln3}\right)-\left(\tfrac{1}{2\ln2}-\tfrac{1}{3\ln3}\right)=\tfrac{1}{2\ln2}-\tfrac{2}{3\ln3}$

$\displaystyle\int_{0}^{1}(3^x-2^x)\,dx=\left(\tfrac{3}{\ln3}-\tfrac{2}{\ln2}\right)-\left(\tfrac{1}{\ln3}-\tfrac{1}{\ln2}\right)=\tfrac{2}{\ln3}-\tfrac{1}{\ln2}$

두께 = (위 곡선 − 아래 곡선) 이므로 단면적 $=\displaystyle\int_0^{200}(\text{두께})\,dx$. 측정점은 $x=0,20,\dots,200$ 의 11개.

중점에서의 값이 있어야 하므로 폭 $\Delta x=40$ 인 소구간 $n=5$ 개: $[0,40],[40,80],\dots,[160,200]$, 중점 $x=20,60,100,140,180$ → 두께 $20.3,\ 29.0,\ 27.3,\ 20.5,\ 8.7$

$M_5=40\,(20.3+29.0+27.3+20.5+8.7)=40\times105.8$

속도 그래프 아래 넓이 = 이동 거리. 따라서 $\displaystyle\int_0^T(v_A-v_B)\,dt$ = 시각 $T$ 에 A 가 B 보다 앞선 거리. 속도가 같아지는 순간($t=1$)은 간격이 가장 큰 순간이지, 따라잡는 순간이 아니다.

$0\lt t\lt1$ 에서 $v_A\gt v_B$ → A 가 매 순간 더 빨리 달렸으므로 A 가 앞선다.

색칠 넓이 $=\displaystyle\int_0^1(v_A-v_B)\,dt$ = 1분 후 A 가 B 보다 앞서 있는 거리.

$1\lt t\lt2$ 에서는 B 가 더 빨라 간격을 좁히지만, 그래프에서 $[1,2]$ 의 두 곡선 사이 넓이가 $[0,1]$ 의 색칠 넓이보다 작다 → 아직 다 따라잡지 못해 A 가 앞선다. (그래프 벡터 좌표로 계산: 1분 후 간격을 1 로 두면 2분 후 간격 약 0.3)

$t=1$ 이후 두 곡선 사이 넓이가 색칠 넓이와 같아지는 $T$ 를 찾는다: $\displaystyle\int_1^T(v_B-v_A)\,dt=\int_0^1(v_A-v_B)\,dt$ → 그래프에서 $T\approx2.3$ 분. (그림의 벡터 곡선 좌표로 수치 적분하면 $T\approx2.27$ 분 — 눈대중 판독은 2.2~2.3)

이익 $P=R-C$ → $P'=R'-C'$. 색칠 넓이 $=\displaystyle\int_{50}^{100}[R'(x)-C'(x)]\,dx=P(100)-P(50)$ = 생산량을 50 단위에서 100 단위로 늘릴 때 이익의 증가량(천 달러). $[50,100]$ 에서 $R'\gt C'$ 이므로 양수.

$n=5$, $\Delta x=10$, 중점 $55,65,75,85,95$. 그래프에서 읽은 값:

$R'$: $2.40,\ 2.20,\ 2.00,\ 1.80,\ 1.60$  /  $C'$: $0.79,\ 0.84,\ 0.94,\ 1.08,\ 1.27$

$R'-C'$: $1.61,\ 1.36,\ 1.06,\ 0.72,\ 0.33$

$M_5=10\,(1.61+1.36+1.06+0.72+0.33)=10\times5.08=50.8$

※ 그래프 판독값이라 약간의 오차는 허용 (눈금 판독에 따라 50~52).

$y^2\ge0$ 이려면 $x\ge-3$. $y=0\Leftrightarrow x=0,\ -3$ → 고리는 $-3\le x\le0$ 에 있고 $x$ 축 대칭.

$y=\pm x\sqrt{x+3}$. $-3\le x\le0$ 에서 $x\le0$ 이므로 위 가지 $y_T=-x\sqrt{x+3}\ge0$, 아래 가지 $y_B=x\sqrt{x+3}$. 높이 $=-2x\sqrt{x+3}$. ($x$ 적분: 위·아래가 각각 한 식)

$A=\displaystyle\int_{-3}^{0}-2x\sqrt{x+3}\,dx=2\int_0^3(3-u)\sqrt u\,du=2\left[2u^{3/2}-\tfrac25u^{5/2}\right]_0^3$

$=2\left(6\sqrt3-\tfrac{18\sqrt3}{5}\right)=2\cdot\tfrac{12\sqrt3}{5}$

$y=c$ 와 곡선의 교점을 $a\lt b$ 라 하자. 왼쪽 넓이 $=\displaystyle\int_0^a(c-f)\,dx$, 오른쪽 넓이 $=\displaystyle\int_a^b(f-c)\,dx$. 두 넓이가 같다 $\Leftrightarrow\displaystyle\int_0^b\big(f(x)-c\big)\,dx=0$ (부호 있는 넓이의 합이 0). 교점 $a$ 를 구할 필요가 없다.

① $b$ 는 교점: $c=8b-27b^3$
② $\displaystyle\int_0^b(8x-27x^3-c)\,dx=4b^2-\tfrac{27}{4}b^4-cb=0\Rightarrow c=4b-\tfrac{27}{4}b^3$ ($b\ne0$)

$8b-27b^3=4b-\tfrac{27}{4}b^3\Rightarrow4b=\tfrac{81}{4}b^3\Rightarrow b^2=\tfrac{16}{81}\Rightarrow b=\tfrac49$ ($b\gt0$)

$c=8\cdot\tfrac49-27\cdot\tfrac{64}{729}=\tfrac{32}{9}-\tfrac{64}{27}=\tfrac{32}{27}$

곡선의 극대점 $x=\sqrt{8/81}\approx0.314\lt b=\tfrac49\approx0.444$ → $b$ 는 오른쪽 교점이 맞고, $c=\tfrac{32}{27}\approx1.19$ 는 극댓값 $\approx1.68$ 보다 작아 두 교점이 존재.

$\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$ 꼴 → $x$ 로 적분하는 원판(disk), 회전축은 $x$축, 반지름 $f(x)=\sin x$

곡선 $y=\sin x$ 아래, $y=0$ 위, $0\le x\le\pi/2$ 인 영역

$\sin^2x=\tfrac{1-\cos2x}{2}$ → $\pi\left[\tfrac x2-\tfrac{\sin2x}{4}\right]_0^{\pi/2}=\dfrac{\pi^2}{4}$ (원통껍질 $2\pi\int_0^1 y\left(\tfrac\pi2-\sin^{-1}y\right)dy$ 로도 같은 값)

$e^{2x}=(e^x)^2$ → 원판(disk), 회전축 $x$축, 반지름 $e^x$

$y=e^x$ 아래, $y=0$ 위, $0\le x\le\ln2$

$\pi\left[\tfrac12e^{2x}\right]_0^{\ln2}=\pi\cdot\tfrac12(4-1)=\dfrac{3\pi}{2}$

$x^4-x^6=(x^2)^2-(x^3)^2$ → 와셔(washer), 회전축 $x$축

$0\le x\le1$ 에서 $x^2\ge x^3$ 이므로 바깥 반지름 $r_{\text{out}}=x^2$, 안쪽 반지름 $r_{\text{in}}=x^3$

$\pi\left(\tfrac15-\tfrac17\right)=\dfrac{2\pi}{35}$. 원통껍질: $2\pi\int_0^1 y\left(y^{1/3}-y^{1/2}\right)dy=2\pi\left(\tfrac37-\tfrac25\right)=\dfrac{2\pi}{35}$ ✓

$dy$ 로 적분 → 단면이 $y$축에 수직 → 회전축은 $y$축, 원판 반지름 $x=1-y^2$

포물선 $x=1-y^2$ 과 $y$축($x=0$) 사이, $-1\le y\le1$ (꼭짓점 $(1,0)$, 왼쪽으로 열린 포물선)

$\pi\int_{-1}^1(1-2y^2+y^4)dy=\pi\left(2-\tfrac43+\tfrac25\right)=\dfrac{16\pi}{15}$. 원통껍질: $2\pi\int_0^1x\cdot2\sqrt{1-x}\,dx=\dfrac{16\pi}{15}$ ✓

$y=(\sqrt y)^2$, $dy$ 로 적분 → 회전축 $y$축, 원판 반지름 $x=\sqrt y$ (즉 $y=x^2$)

$x=\sqrt y$ 와 $y$축 사이, $0\le y\le4$ — 곧 $y=x^2$, $y=4$, $x=0$ 으로 둘러싸인 1사분면 영역

$\pi\left[\tfrac{y^2}{2}\right]_0^4=8\pi$. 원통껍질: $2\pi\int_0^2x(4-x^2)dx=2\pi(8-4)=8\pi$ ✓

$\pi[(r_{\text{out}})^2-(r_{\text{in}})^2]$, $dx$ 로 적분 → 와셔, 회전축은 $x$축에 평행한 직선. $r_{\text{out}}=3$, $r_{\text{in}}=3-\sqrt x$

반지름 = (축까지의 거리). 축을 $y=3$ 으로 두면 $y=0$ 까지 거리 $3$(바깥), $y=\sqrt x$ 까지 거리 $3-\sqrt x$(안쪽) — 모두 성립

피적분함수 $=6\sqrt x-x$ → $\pi\left[4x^{3/2}-\tfrac{x^2}{2}\right]_1^4=\pi(28-7.5)=\dfrac{41\pi}{2}$. 원통껍질(축 $y=3$): $2\pi\left[\int_0^1(3-y)\cdot3\,dy+\int_1^2(3-y)(4-y^2)dy\right]=\dfrac{41\pi}{2}$ ✓

원뿔대의 중심축을 $x$축으로 두고, 아랫면을 $x=0$, 윗면을 $x=h$ 에 놓는다. 옆면 모선은 두 점 $(0,R)$, $(h,r)$ 을 잇는 직선 $y=R+\dfrac{r-R}{h}x$

$x$축 둘레 회전 → 원판(disk), 반지름 $y=R+\dfrac{r-R}{h}x$, $A(x)=\pi\left(R+\dfrac{r-R}{h}x\right)^2$

$V=\pi\displaystyle\int_0^h\left[R^2+\dfrac{2R(r-R)}{h}x+\dfrac{(r-R)^2}{h^2}x^2\right]dx=\pi\left[R^2h+R(r-R)h+\dfrac{(r-R)^2h}{3}\right]$

$=\dfrac{\pi h}{3}\left[3R^2+3Rr-3R^2+r^2-2Rr+R^2\right]=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$

닮음으로 큰 원뿔 높이 $H=\dfrac{Rh}{R-r}$. $V=\tfrac13\pi R^2H-\tfrac13\pi r^2(H-h)=\dfrac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$ ✓

구의 중심을 원점에 두면 캡은 $r-h\le y\le r$ 부분. 원 $x^2+y^2=r^2$ 의 오른쪽 반원 영역을 $y$축 둘레로 회전 → $y$ 로 적분(단면이 $y$축에 수직)

높이 $y$ 에서 반지름 $x=\sqrt{r^2-y^2}$, $A(y)=\pi(r^2-y^2)$

$V=\pi\displaystyle\int_{r-h}^{r}(r^2-y^2)\,dy=\pi\left[r^2y-\dfrac{y^3}{3}\right]_{r-h}^{r}$

$=\pi\left[\dfrac{2r^3}{3}-r^2(r-h)+\dfrac{(r-h)^3}{3}\right]=\pi\left(rh^2-\dfrac{h^3}{3}\right)=\pi h^2\left(r-\dfrac h3\right)$

$h=r$ → $\tfrac23\pi r^3$ (반구), $h=2r$ → $\tfrac43\pi r^3$ (구 전체) ✓. 원통껍질 $2\pi\int_0^{\sqrt{r^2-(r-h)^2}}x\left(\sqrt{r^2-x^2}-(r-h)\right)dx$ 수치 대조 일치($h\le r$) ✓

중심축을 $x$축으로, 아랫면을 $x=0$, 윗면을 $x=h$ 에 둔다. $x$축에 수직인 단면은 정사각형

한 변 길이는 $x$ 에 대해 일차적으로 $b$ 에서 $a$ 로 변함: $s(x)=b+\dfrac{a-b}{h}x$, $A(x)=s(x)^2$

$V=\displaystyle\int_0^h\left(b+\dfrac{a-b}{h}x\right)^2dx=\left[\dfrac{h}{3(a-b)}\left(b+\dfrac{a-b}{h}x\right)^3\right]_0^h=\dfrac{h(a^3-b^3)}{3(a-b)}$

$=\dfrac h3\left(a^2+ab+b^2\right)$ (전개 적분으로도 동일, sympy 확인)

$a=b$: $V=\dfrac h3(3b^2)=b^2h$ → 직육면체(정사각기둥)의 부피.   $a=0$: $V=\dfrac{b^2h}{3}$ → 사각뿔(pyramid)의 부피 (예제 8 과 일치)

원 $(x-R)^2+y^2=r^2$ ($R\gt r$) 을 $y$축 둘레로 회전하면 토러스. $y$축에 수직으로 자르므로 $y$ 로 적분

높이 $y$ ($-r\le y\le r$) 에서 원의 오른쪽 끝 $x=R+\sqrt{r^2-y^2}$ (바깥 반지름), 왼쪽 끝 $x=R-\sqrt{r^2-y^2}$ (안쪽 반지름) → 와셔

$A(y)=\pi\left[(R+\sqrt{r^2-y^2})^2-(R-\sqrt{r^2-y^2})^2\right]=4\pi R\sqrt{r^2-y^2}$
$$V=\int_{-r}^{r}4\pi R\sqrt{r^2-y^2}\,dy=8\pi R\int_0^{r}\sqrt{r^2-y^2}\,dy$$

$\int_0^r\sqrt{r^2-y^2}\,dy$ 는 반지름 $r$ 인 사분원의 넓이 $=\dfrac{\pi r^2}{4}$. 따라서 $V=8\pi R\cdot\dfrac{\pi r^2}{4}=2\pi^2r^2R$

원통껍질 $2\pi\int_{R-r}^{R+r}x\cdot2\sqrt{r^2-(x-R)^2}\,dx$ 를 $R=3,r=1$ 에서 수치 계산 $=59.2176\ldots=2\pi^2\cdot3$ ✓. (직관: 단면 원 넓이 $\pi r^2$ × 중심이 도는 거리 $2\pi R$)

평행한 평면들이 $x$축에 수직이 되도록 축을 잡고, 두 입체가 $a\le x\le b$ 사이에 있다고 하자. 평면 $P_x$ 에서의 단면적을 $A_1(x)$, $A_2(x)$ 라 하면 가정에 의해 모든 $x$ 에서 $A_1(x)=A_2(x)$

$V(S_1)=\displaystyle\int_a^bA_1(x)\,dx=\int_a^bA_2(x)\,dx=V(S_2)\;\blacksquare$

밑면에 평행한 평면으로 자르면 빗원기둥의 모든 단면은 반지름 $r$ 인 원 → $A(y)=\pi r^2$ ($0\le y\le h$). 같은 반지름·높이의 직원기둥도 단면적 $\pi r^2$

$V=\displaystyle\int_0^h\pi r^2\,dy=\pi r^2h$ (직원기둥과 같음)

두 입체의 밑면을 $y=0$ 평면에 놓고, 높이 $y$ ($0\le y\le r$) 에서 밑면에 평행하게 자른다

반지름 $\sqrt{r^2-y^2}$ 인 원 → $A_1(y)=\pi(r^2-y^2)$

원뿔의 꼭짓점이 아래($y=0$), 윗면에서 반지름 $r$ 이므로 높이 $y$ 에서 원뿔 반지름 $=y$. 단면은 바깥 반지름 $r$, 안쪽 반지름 $y$ 인 와셔 → $A_2(y)=\pi r^2-\pi y^2$

모든 $y$ 에서 $A_1(y)=A_2(y)$ 이므로 두 부피는 같다. 실제로 $V=\pi r^2\cdot r-\tfrac13\pi r^2\cdot r=\tfrac23\pi r^3=\int_0^r\pi(r^2-y^2)dy$ ✓

$y$축에 수직으로 자르면 와셔의 안쪽·바깥쪽 반지름이 곡선의 두 $x$ 값인데, 이를 얻으려면 삼차방정식 $y=x(x-1)^2$ 를 $x$ 에 대해 풀어야 한다 — 어렵다.

위치 $x$ 의 세로 띠를 $y$축 둘레로 돌리면 반지름 $x$, 둘레 $2\pi x$, 높이 $x(x-1)^2$, 두께 $dx$

$V=\displaystyle\int_0^1 2\pi x\cdot x(x-1)^2\,dx=2\pi\int_0^1 (x^4-2x^3+x^2)\,dx$

$=2\pi\left[\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=2\pi\left(\dfrac15-\dfrac12+\dfrac13\right)=2\pi\cdot\dfrac{1}{30}$

반지름 $x$, 둘레 $2\pi x$, 높이 $\sin(x^2)$, 두께 $dx$

$V=\displaystyle\int_0^{\sqrt\pi}2\pi x\sin(x^2)\,dx$

$V=\pi\displaystyle\int_0^{\pi}\sin u\,du=\pi\big[-\cos u\big]_0^{\pi}=\pi(1+1)$

와셔법은 $y=\sin(x^2)$ 를 $x=\sqrt{\sin^{-1}y}$ 와 $x=\sqrt{\pi-\sin^{-1}y}$ 두 가지로 풀어야 하고 적분도 어렵다. 껍질법에서는 $x$ 가 치환에 딱 맞게 들어가 훨씬 쉽다.

반지름 $x$, 높이 $\sqrt{x}$, $0\le x\le4$

$V=\displaystyle\int_0^4 2\pi x\sqrt{x}\,dx=2\pi\left[\tfrac25x^{5/2}\right]_0^4=2\pi\cdot\tfrac25\cdot32$

$y$ 에서 안쪽 반지름 $x=y^2$, 바깥 반지름 $4$: $\displaystyle\int_0^2\pi(16-y^4)\,dy=\pi\left(32-\tfrac{32}{5}\right)=\tfrac{128\pi}{5}$ ✓

반지름 $x$, 높이 $x^3$, $1\le x\le2$

$V=\displaystyle\int_1^2 2\pi x\cdot x^3\,dx=2\pi\left[\dfrac{x^5}{5}\right]_1^2=2\pi\cdot\dfrac{31}{5}$

반지름 $x$, 높이 $\dfrac1x$, $1\le x\le4$

$V=\displaystyle\int_1^4 2\pi x\cdot\dfrac1x\,dx=2\pi\int_1^4 1\,dx=2\pi\cdot3$

반지름 $x$, 높이 $e^{-x^2}$, $0\le x\le1$

$V=\displaystyle\int_0^1 2\pi x e^{-x^2}dx=\pi\big[-e^{-x^2}\big]_0^1=\pi\left(1-e^{-1}\right)$

반지름 $x$, 높이 $\sqrt{5+x^2}$, $0\le x\le2$

$V=\displaystyle\int_0^2 2\pi x\sqrt{5+x^2}\,dx=\pi\int_5^9 u^{1/2}du=\pi\cdot\dfrac23\big[u^{3/2}\big]_5^9=\dfrac{2\pi}{3}\left(27-5\sqrt5\right)$

$4x-x^2=x\Rightarrow x(3-x)=0\Rightarrow x=0,\ 3$. 구간에서 $4x-x^2\ge x$

반지름 $x$, 높이 $(4x-x^2)-x=3x-x^2$

$V=\displaystyle\int_0^3 2\pi x(3x-x^2)\,dx=2\pi\left[x^3-\dfrac{x^4}{4}\right]_0^3=2\pi\left(27-\dfrac{81}{4}\right)=2\pi\cdot\dfrac{27}{4}$

$x=4$ 에서 $y^2=16-7=9$, $y=\pm3$. 영역은 오른쪽 가지 $x=\sqrt{7+y^2}$ 와 직선 $x=4$ 사이, $-3\le y\le3$

반지름 $5-y$ (축 $y=5$ 가 영역보다 위), 높이 $4-\sqrt{7+y^2}$, 두께 $dy$

$V=\displaystyle\int_{-3}^{3}2\pi(5-y)\left(4-\sqrt{7+y^2}\right)dy$

$y\left(4-\sqrt{7+y^2}\right)$ 은 홀함수라 적분이 $0$. 따라서 $V=10\pi\displaystyle\int_{-3}^{3}\left(4-\sqrt{7+y^2}\right)dy$

$\displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{7+y^2}\,dy=12+\dfrac72\ln7$ 이므로 $V=10\pi\left(12-\dfrac72\ln7\right)=120\pi-35\pi\ln7$
와셔법 교차검증: $\displaystyle\int_{\sqrt7}^{4}\pi\Big[\big(5+\sqrt{x^2-7}\big)^2-\big(5-\sqrt{x^2-7}\big)^2\Big]dx$ 도 수치로 같은 값

$2\pi x^5=2\pi\cdot x\cdot x^4$ → 반지름 $x$, 높이 $x^4$, $0\le x\le3$

$y=x^4$, $y=0$, $x=3$ 사이 영역(곡선 아래)을 $y$축 둘레로 회전

껍질: $2\pi\cdot\dfrac{3^6}{6}=243\pi$ / 와셔: $\displaystyle\int_0^{81}\pi\left(9-\sqrt y\right)dy=243\pi$ ✓

변수 $y$ → 가로 띠, 회전축은 $x$축. 반지름 $y$, 높이(가로 길이) $x=\ln y$, $1\le y\le3$

$1\le y\le3$, $0\le x\le\ln y$ ⇔ 곡선 $y=e^x$ 위쪽, $y=3$ 아래, $x=0$ 오른쪽 영역

껍질: $\pi(9\ln3-4)$ / 와셔($x$축 회전, $0\le x\le\ln3$): $\displaystyle\int_0^{\ln3}\pi\left(9-e^{2x}\right)dx=\pi(9\ln3-4)$ ✓

반지름 $x$, 높이 $\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{x}{2}$, $0\le x\le1$

$V=\displaystyle\int_0^1 2\pi x\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac x2\right)dx=2\pi\int_0^1\left(\dfrac{x}{1+x^2}-\dfrac{x^2}{2}\right)dx$

$=2\pi\left[\dfrac12\ln(1+x^2)-\dfrac{x^3}{6}\right]_0^1=2\pi\left(\dfrac12\ln2-\dfrac16\right)$

$0\le y\le\tfrac12$: 반지름 $2y$ / $\tfrac12\le y\le1$: 반지름 $\sqrt{1/y-1}$
$\displaystyle\int_0^{1/2}\pi(2y)^2dy+\int_{1/2}^{1}\pi\left(\dfrac1y-1\right)dy=\dfrac{\pi}{6}+\pi\left(\ln2-\dfrac12\right)=\pi\ln2-\dfrac{\pi}{3}$ ✓

$x$축 회전 + 경계가 $y=f(x)$ → 원판법(disk)이 가장 쉽다. 반지름 $\sqrt{\sin x}$, 반지름² $=\sin x$

$V=\displaystyle\int_0^{\pi}\pi\left(\sqrt{\sin x}\right)^2dx=\pi\int_0^{\pi}\sin x\,dx$

$=\pi\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=\pi(1+1)$

원 $x^2+y^2=r^2$ 을 $y$축 둘레로 회전. 위 반원의 높이 $y=\sqrt{r^2-x^2}$, 위·아래 대칭이므로 껍질 높이 $2\sqrt{r^2-x^2}$, 반지름 $x$, $0\le x\le r$

$V=\displaystyle\int_0^r 2\pi x\cdot2\sqrt{r^2-x^2}\,dx=4\pi\int_0^r x\sqrt{r^2-x^2}\,dx$

$=4\pi\cdot\dfrac12\displaystyle\int_0^{r^2}\sqrt u\,du=2\pi\cdot\dfrac23\big[u^{3/2}\big]_0^{r^2}=\dfrac{4\pi}{3}r^3$

원 $(x-R)^2+y^2=r^2$ 을 $y$축 둘레로 회전. 반지름 $x$, 높이 $2\sqrt{r^2-(x-R)^2}$, $R-r\le x\le R+r$

$V=\displaystyle\int_{R-r}^{R+r}2\pi x\cdot2\sqrt{r^2-(x-R)^2}\,dx$

$V=4\pi\displaystyle\int_{-r}^{r}(t+R)\sqrt{r^2-t^2}\,dt=4\pi\int_{-r}^{r}t\sqrt{r^2-t^2}\,dt+4\pi R\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-t^2}\,dt$

첫 적분: 홀함수라 $0$. 둘째 적분: 반지름 $r$ 인 반원의 넓이 $=\dfrac{\pi r^2}{2}$
$V=4\pi R\cdot\dfrac{\pi r^2}{2}$

$(0,0),(r,0),(0,h)$ 삼각형을 $y$축 둘레로 회전. 빗변 $y=h-\dfrac hr x$. 반지름 $x$, 높이 $h-\dfrac hr x$

$V=\displaystyle\int_0^r 2\pi x\left(h-\dfrac hr x\right)dx=2\pi\left[\dfrac{hx^2}{2}-\dfrac{hx^3}{3r}\right]_0^r=2\pi h\left(\dfrac{r^2}{2}-\dfrac{r^2}{3}\right)=2\pi h\cdot\dfrac{r^2}{6}$

지면에서 위로 $y$ 축. 구의 반지름 $3.5$ m, 바닥 $y=18$, 중심 $y=21.5$, 꼭대기 $y=25$

층 반지름² $=3.5^2-(y-21.5)^2$, 부피 $\pi\left[3.5^2-(y-21.5)^2\right]\Delta y$
무게 $=1000\cdot9.8\cdot\pi\left[3.5^2-(y-21.5)^2\right]\Delta y$ N, 지면에서 들어 올리는 거리 $=y$

$W=\displaystyle\int_{18}^{25}9800\pi\left[3.5^2-(y-21.5)^2\right]y\,dy$

$y=21.5+t$ 로 두면 $t$ 의 홀함수 부분이 사라져 $W=9800\cdot\dfrac43\pi(3.5)^3\cdot21.5$ = (물 전체 무게) × (중심 높이)
$W=\dfrac{36135050\pi}{3}\approx3.784\times10^7$ J

펌프 일률 $1.5\times745.7=1118.55$ J/s
$t=\dfrac{3.784\times10^7}{1118.55}\approx3.38\times10^4$ s

윗면에서 아래로 깊이 $x$ ($0\le x\le3$)

깊이 $x$ 에서 남은 높이 $3-x$, 폭 $w$: $\dfrac{w}{3-x}=\dfrac33$ → $w=3-x$

부피 $8(3-x)\Delta x$ m³, 무게 $9800\cdot8(3-x)\Delta x$ N, 들어 올리는 거리 $x+2$ m

$W=\displaystyle\int_0^3 9800\cdot8(3-x)(x+2)\,dx=78400\int_0^3(6+x-x^2)\,dx=78400\left[6x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=78400\cdot13.5$

구 꼭대기에서 아래로 깊이 $x$ ($0\le x\le6$). 중심은 $x=3$

반지름² $=3^2-(3-x)^2=6x-x^2$, 층 부피 $\pi(6x-x^2)\Delta x$

무게 $9800\pi(6x-x^2)\Delta x$ N, 들어 올리는 거리 $x+1$ m

$W=9800\pi\displaystyle\int_0^6(6x-x^2)(x+1)\,dx=9800\pi\int_0^6(-x^3+5x^2+6x)\,dx=9800\pi(-324+360+108)=9800\pi\cdot144$

물 전체 질량 $1000\cdot\dfrac43\pi\cdot27=36000\pi$ kg, 중심에서 주둥이까지 $3+1=4$ m
$W=36000\pi\cdot9.8\cdot4=1411200\pi$ ✓

피스톤 머리의 위치를 $x$ 라 하면 힘 $F=\pi r^2P$, 일 $W=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\pi r^2P\,dx$

$V=\pi r^2x$ 이므로 $dV=\pi r^2\,dx$, $x=x_1\Leftrightarrow V=V_1$, $x=x_2\Leftrightarrow V=V_2$

$W=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}P\,(\pi r^2\,dx)=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$

$dx=s'(t)\,dt=v(t)\,dt$, 적분 끝: $x_1=s(t_1)$, $x_2=s(t_2)$
$W=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx=\int_{t_1}^{t_2}f(s(t))\,v(t)\,dt$

$f(s(t))=m\,a(t)=m\,v'(t)$ 이므로 $W=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}m\,v'(t)\,v(t)\,dt$

$t=t_1\to u=v_1$, $t=t_2\to u=v_2$: $W=\displaystyle\int_{v_1}^{v_2}m\,u\,du=m\left[\dfrac{u^2}{2}\right]_{v_1}^{v_2}$

$v_2=30$ km/h $=\dfrac{30000}{3600}$ m/s $=\dfrac{25}{3}$ m/s, 처음 정지 $v_1=0$

$W=\dfrac12mv_2^2-\dfrac12mv_1^2=\dfrac12\cdot5\cdot\left(\dfrac{25}{3}\right)^2-0=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{625}{9}=\dfrac{3125}{18}$

$W=\displaystyle\int_0^{60}(5.7x^2+1.5x)\,dx=\left[1.9x^3+0.75x^2\right]_0^{60}=410400+2700=413100$ J

$413100=\dfrac12\cdot800\cdot v^2\;\Rightarrow\;v^2=\dfrac{413100}{400}=1032.75$

$W=\displaystyle\int_a^b G\dfrac{m_1m_2}{r^2}\,dr=Gm_1m_2\left[-\dfrac1r\right]_a^b=Gm_1m_2\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)$

$a=6.37\times10^6$ m (지표), $b=6.37\times10^6+1.0\times10^6=7.37\times10^6$ m
$W=(6.67\times10^{-11})(5.98\times10^{24})(1000)\left(\dfrac{1}{6.37\times10^6}-\dfrac{1}{7.37\times10^6}\right)$

$Gm_1m_2=3.98866\times10^{17}$, 괄호 $\approx2.1301\times10^{-8}$ → $W\approx8.50\times10^{9}$

지면에서 높이 $y$ 인 층의 한 변 $s=230\left(1-\dfrac{y}{147}\right)$, 부피 $s^2\Delta y$

무게 $2400\cdot9.8\cdot s^2\Delta y$ N, 지면에서 들어 올린 거리 $y$

$W=\displaystyle\int_0^{147}2400\cdot9.8\cdot230^2\left(1-\dfrac{y}{147}\right)^2y\,dy=2400\cdot9.8\cdot230^2\cdot\dfrac{147^2}{12}$
( $\displaystyle\int_0^h\left(1-\tfrac yh\right)^2y\,dy=\dfrac{h^2}{12}$ ) $\approx2.24\times10^{12}$ J

$250\ \text{J/h}\times10\ \text{h/일}\times340\ \text{일/년}\times20\ \text{년}=1.7\times10^{7}$ J

$\dfrac{2.2405\times10^{12}}{1.7\times10^{7}}\approx1.318\times10^{5}$

$f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{4-0}\displaystyle\int_0^4 x^{1/2}\,dx=\dfrac14\left[\dfrac23x^{3/2}\right]_0^4$

$=\dfrac14\cdot\dfrac23\cdot8=\dfrac{16}{12}=\dfrac43$

$f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-1}\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx=\dfrac82=4$

$f$ 가 $[1,3]$ 에서 연속이므로 적분에 대한 평균값 정리(Mean Value Theorem for Integrals)에 의해 $f(c)=f_{\text{avg}}=4$ 인 $c\in[1,3]$ 가 존재한다.

$[0,1]$: 삼각형 $-\tfrac12$  /  $[1,3]$: 삼각형 $\tfrac12\cdot2\cdot1=1$  /  $[3,4]$: $\tfrac12\cdot1\cdot2=1$

$[4,6]$: 직사각형 $2\cdot2=4$  /  $[6,7]$: 사다리꼴 $\tfrac{2+1}{2}=\tfrac32$  /  $[7,8]$: 사다리꼴 $\tfrac{1+3}{2}=2$

$\displaystyle\int_0^8 f(x)\,dx=-\tfrac12+1+1+4+\tfrac32+2=9$

$f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{8}\cdot9=\dfrac98$

$\rho_{\text{avg}}=\dfrac{1}{8-0}\displaystyle\int_0^8 \dfrac{12}{\sqrt{x+1}}\,dx$

$\displaystyle\int_0^8 12(x+1)^{-1/2}dx=24\left[\sqrt{x+1}\right]_0^8=24(3-1)=48$

$\rho_{\text{avg}}=\dfrac{48}{8}=6$

$k=\dfrac{P}{4\eta l}$ (상수)로 두면 $v(r)=k(R^2-r^2)$ — $r$ 에 대한 이차함수

$v_{\text{avg}}=\dfrac1R\displaystyle\int_0^R k(R^2-r^2)\,dr=\dfrac kR\left[R^2r-\dfrac{r^3}{3}\right]_0^R=\dfrac kR\cdot\dfrac{2R^3}{3}=\dfrac{2kR^2}{3}=\dfrac{PR^2}{6\eta l}$

$v$ 는 $r=0$ (중심축)에서 최대: $v_{\max}=v(0)=kR^2=\dfrac{PR^2}{4\eta l}$

$\dfrac{v_{\text{avg}}}{v_{\max}}=\dfrac{2kR^2/3}{kR^2}=\dfrac23$

$v=\dfrac{ds}{dt}=gt$ 이므로 $v_T=gT$. 이때 낙하 거리 $S=\tfrac12gT^2$.

$v_{\text{avg}}=\dfrac1T\displaystyle\int_0^T gt\,dt=\dfrac1T\cdot\dfrac{gT^2}{2}=\dfrac{gT}{2}=\dfrac12v_T$

$t=\sqrt{2s/g}$ 이므로 $v=gt=\sqrt{2gs}$

$v_{\text{avg}}=\dfrac1S\displaystyle\int_0^S\sqrt{2g}\,s^{1/2}\,ds=\dfrac1S\sqrt{2g}\cdot\dfrac23S^{3/2}=\dfrac23\sqrt{2gS}$

$\sqrt{2gS}=\sqrt{2g\cdot\tfrac12gT^2}=gT=v_T$ 이므로 $v_{\text{avg}}=\dfrac23v_T$

빠르게 움직이는 뒤쪽 구간은 짧은 시간에 긴 거리를 지난다. 거리 기준으로 평균하면 빠른 속도에 더 큰 가중치가 걸려 평균이 커진다 ($\tfrac23\gt\tfrac12$).

$m=\dfrac{a+b}{2}$ 라 하고 접선을 $L(x)=f(m)+f'(m)(x-m)$ 이라 하자. 위로 오목한 함수의 그래프는 접선보다 위에 있으므로 $f(x)\ge L(x)$ (접점 $x=m$ 이외에서는 $f(x)\gt L(x)$).

$\displaystyle\int_a^b L(x)\,dx=f(m)(b-a)+f'(m)\int_a^b(x-m)\,dx=f(m)(b-a)+0$

($x-m$ 은 중점 $m$ 에 대해 대칭이라 적분이 0 — 그림에서 빨간 접선 아래 사다리꼴과 직사각형의 넓이가 같다: 왼쪽에서 모자란 삼각형 = 오른쪽에서 남는 삼각형)

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\gt\int_a^b L(x)\,dx=f(m)(b-a)$

양변을 $b-a$ 로 나누면 $f_{\text{avg}}\gt f(m)$.

케이블 길이 $L$, 선밀도 $\rho$ (kg/m). 꼭대기에서 $x$ 만큼 아래 있는 조각 $\Delta x$ 는 $x$ 만큼 올라가야 하므로

$W_{\text{전체}}=\displaystyle\int_0^L\rho g\,x\,dx=\dfrac{\rho gL^2}{2}$

케이블을 $L/2$ 만큼 감으면 위쪽 절반은 $x$ 만큼, 아래쪽 절반은 전부 $L/2$ 만큼 올라간다:

$W=\displaystyle\int_0^{L/2}\rho g\,x\,dx+\rho g\cdot\dfrac L2\cdot\dfrac L2=\dfrac{\rho gL^2}{8}+\dfrac{\rho gL^2}{4}=\dfrac{3\rho gL^2}{8}=\dfrac34W_{\text{전체}}$

(위쪽 절반 자체의 이동만 따져도 $\dfrac{\rho gL^2}{8}=\dfrac14W_{\text{전체}}$ — 어느 쪽이든 절반이 아니다.)

아래쪽 조각일수록 더 멀리 올라가야 하므로 일은 길이에 비례하지 않고 $L^2$ 에 비례한다.

$x^3=3x^2\Rightarrow x^2(x-3)=0\Rightarrow x=0,\,3$. $0\le x\le3$ 에서 $3x^2\ge x^3$ (위: $y=3x^2$, 아래: $y=x^3$). $y$ 범위는 $0\le y\le27$.

축 $x=-1$ 까지 반지름 $x+1$, 높이 $3x^2-x^3$:

$V=\displaystyle\int_0^3 2\pi(x+1)(3x^2-x^3)\,dx=2\pi\int_0^3(-x^4+2x^3+3x^2)\,dx=2\pi\left[-\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{x^4}{2}+x^3\right]_0^3$

$=2\pi\left(-\dfrac{243}{5}+\dfrac{81}{2}+27\right)=2\pi\cdot\dfrac{189}{10}=\dfrac{189\pi}{5}$

$y=3x^2\Rightarrow x=\sqrt{y/3}$ (왼쪽, 축에 가까움), $y=x^3\Rightarrow x=\sqrt[3]{y}$ (오른쪽). 축 $x=-1$ 까지 거리: 바깥 $R=\sqrt[3]{y}+1$, 안쪽 $r=\sqrt{y/3}+1$

$V=\displaystyle\int_0^{27}\pi\left[(y^{1/3}+1)^2-\left(\sqrt{y/3}+1\right)^2\right]dy=\pi\int_0^{27}\left(y^{2/3}+2y^{1/3}-\dfrac y3-\dfrac{2}{\sqrt3}y^{1/2}\right)dy$

$=\pi\left[\dfrac35y^{5/3}+\dfrac32y^{4/3}-\dfrac{y^2}{6}-\dfrac{4}{3\sqrt3}y^{3/2}\right]_0^{27}=\pi\left(\dfrac{729}{5}+\dfrac{243}{2}-\dfrac{243}{2}-108\right)=\dfrac{189\pi}{5}$

교점 $x=0,1$. $0\le x\le1$ 에서 $\sqrt x\ge x^2$. 축 $y=3$ 은 영역 위쪽에 있다.

바깥 반지름 $R=3-x^2$ (축에서 먼 아래 곡선), 안쪽 $r=3-\sqrt x$

$V=\displaystyle\int_0^1\pi\left[(3-x^2)^2-(3-\sqrt x)^2\right]dx=\pi\int_0^1\left(x^4-6x^2+6\sqrt x-x\right)dx$

$=\pi\left(\dfrac15-2+4-\dfrac12\right)=\dfrac{17\pi}{10}$

$x=y^2$ (왼쪽, $y=\sqrt x$ 에서), $x=\sqrt y$ (오른쪽, $y=x^2$ 에서). 반지름 $3-y$, 높이 $\sqrt y-y^2$

$V=\displaystyle\int_0^1 2\pi(3-y)(\sqrt y-y^2)\,dy=2\pi\int_0^1\left(3y^{1/2}-3y^2-y^{3/2}+y^3\right)dy=2\pi\left(2-1-\dfrac25+\dfrac14\right)=\dfrac{17\pi}{10}$

원 $x^2+y^2=9$. $x$ 에서 수직 단면의 빗변 길이 $=2\sqrt{9-x^2}$

빗변 $c$ 인 직각이등변삼각형의 두 변은 $c/\sqrt2$ → 넓이 $=\tfrac12\cdot\dfrac{c^2}{2}=\dfrac{c^2}{4}$

$A(x)=\dfrac{4(9-x^2)}{4}=9-x^2$

$V=\displaystyle\int_{-3}^{3}(9-x^2)\,dx=2\left[9x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=2(27-9)=36$

3 cm $=0.03$ m 늘릴 때 30 N: $k\cdot0.03=30\Rightarrow k=1000$ N/m (= 10 N/cm, 메모의 "slope 10")

늘어난 길이 0 → 0.08 m:

$W=\displaystyle\int_0^{0.08}1000x\,dx=500(0.08)^2=3.2$ J

$F=10x$ (N, $x$ 는 cm): $x=8$ 에서 $F=80$ → 넓이 $\dfrac{8\times80}{2}=320$ N·cm $=3.2$ J

꼭짓점을 원점, 축을 $y$축으로: $y=kx^2$. $(1.2,\,1.2)$ 를 지나므로 $k=\dfrac{1}{1.2}$ → $x^2=1.2y$

높이 $y$ 에서 단면 넓이 $A(y)=\pi x^2=1.2\pi y$

높이 $y$ 의 얇은 층: 무게 $1000\cdot9.8\cdot1.2\pi y\,\Delta y$, 올리는 거리 $1.2-y$

$W=\displaystyle\int_0^{1.2}9800\cdot1.2\pi\,y(1.2-y)\,dy=11760\pi\left[0.6y^2-\dfrac{y^3}{3}\right]_0^{1.2}=11760\pi(0.288)=3386.88\pi$

$\approx1.06\times10^4$ J

위층부터 퍼내므로 $y=h$ 에서 $1.2$ 까지의 물을 퍼낸 일 = 4000:

$\displaystyle\int_h^{1.2}11760\pi\,y(1.2-y)\,dy=11760\pi\left(0.288-0.6h^2+\dfrac{h^3}{3}\right)=4000$

수치로 풀면 (그래프/뉴턴법, $0\le h\le1.2$ 인 근) $h\approx0.70$

바닥에서 높이 $y$ ($0\le y\le3$). 반지름 2 이므로 단면 넓이 $4\pi$. 기름이 나가는 곳은 높이 $5+1=6$ m → 올리는 거리 $6-y$

$W=\displaystyle\int_0^3 920\cdot9.8\cdot4\pi\,(6-y)\,dy=36064\pi\left[6y-\dfrac{y^2}{2}\right]_0^3=36064\pi\,(18-4.5)=486864\pi$

컵 바닥 원판 $x^2+y^2\le r^2$, 컵 축을 $z$축(바닥 $z=0$, 윗면 $z=L$)으로 둔다. 물이 바닥을 정확히 덮으면 수면은 바닥 가장자리 $(r,0,0)$ 과 윗면 반대편 가장자리 $(-r,0,L)$ 을 지나는 평면: 위치 $x$ 에서 물 높이 $h(x)=\dfrac{L(r-x)}{2r}$

폭 $2\sqrt{r^2-x^2}$, 높이 $h(x)$: $V=\displaystyle\int_{-r}^{r}2\sqrt{r^2-x^2}\cdot\dfrac{L(r-x)}{2r}\,dx$

$y$ 를 고정하면 $x\in[-s,s]$, $s=\sqrt{r^2-y^2}$. 높이가 $h(-s)$ 에서 $h(s)$ 까지 직선으로 변하는 사다리꼴: 넓이 $=2s\cdot\dfrac{h(-s)+h(s)}{2}=2s\cdot\dfrac L2=Ls$

$V=\displaystyle\int_{-r}^{r}L\sqrt{r^2-y^2}\,dy$

(b): $\displaystyle\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-y^2}\,dy$ 는 반원 넓이 $\dfrac{\pi r^2}{2}$ → $V=\dfrac{\pi r^2L}{2}$

(a)도 같다: $\dfrac{L}{2r}\displaystyle\int_{-r}^{r}2\sqrt{r^2-x^2}(r-x)\,dx$ 에서 $x\sqrt{r^2-x^2}$ 은 기함수라 0, 남는 부분 $\dfrac{L}{2r}\cdot r\cdot\pi r^2=\dfrac{\pi r^2L}{2}$

수면 평면은 원기둥의 중심 $(0,0,L/2)$ 을 지나므로 원기둥을 합동인 두 조각으로 나눈다(중심 대칭). 물 = 원기둥의 절반 → $V=\dfrac{\pi r^2L}{2}$

수면은 바닥의 지름($y$축, $z=0$)과 윗면 가장자리 $(-r,0,L)$ 을 지남 → 물은 $-r\le x\le0$, $0\le z\le -\dfrac{Lx}{r}$ 인 쐐기(wedge).

• 삼각형 단면: 지름 방향($y$축)에 수직으로 자르면 밑변 $s=\sqrt{r^2-y^2}$, 높이 $\dfrac{Ls}{r}$ → $V=\displaystyle\int_{-r}^{r}\dfrac{L(r^2-y^2)}{2r}\,dy$

• 직사각형 단면: $x$축에 수직으로 자르면 폭 $2\sqrt{r^2-x^2}$, 높이 $-\dfrac{Lx}{r}$ → $V=\displaystyle\int_{-r}^{0}2\sqrt{r^2-x^2}\cdot\dfrac{-Lx}{r}\,dx$

• 원의 활꼴 단면: 바닥과 평행하게(높이 $z$ 로) 자르면 원판 중 $x\le-\dfrac{rz}{L}$ 인 활꼴

계산: $\dfrac{L}{2r}\cdot\dfrac{4r^3}{3}=\dfrac{2r^2L}{3}$

$V_{\text{잠김}}=\displaystyle\int_{-h}^{0}A\,dy$, $V_{\text{전체}}=\displaystyle\int_{-h}^{L-h}A\,dy$. 평형 $F=W$: $\rho_fV_{\text{잠김}}=\rho_0V_{\text{전체}}$

위로 나온 비율 $=\dfrac{V_{\text{전체}}-V_{\text{잠김}}}{V_{\text{전체}}}=1-\dfrac{\rho_0}{\rho_f}=\dfrac{\rho_f-\rho_0}{\rho_f}$ → 백분율 $100\,\dfrac{\rho_f-\rho_0}{\rho_f}$ ∎

$100\cdot\dfrac{1030-917}{1030}=100\cdot\dfrac{113}{1030}\approx10.97$ %

얼음 질량 $m$. 떠 있으므로 밀어낸 물의 무게 = 얼음 무게 → 밀어낸 물 부피 $=m/\rho_{\text{물}}$. 녹은 얼음은 질량 $m$ 의 물, 부피 $m/\rho_{\text{물}}$ — 원래 잠겨 있던 자리를 정확히 채운다.

무게를 무시하므로 처음엔 잠긴 깊이 0. 깊이 $u$ 만큼 잠겼을 때 필요한 힘 = 부력 $=\rho g\,V(u)$, 구의 잠긴 캡 부피 $V(u)=\dfrac{\pi u^2(3r-u)}{3}$ ($r=0.4$)

$W=\displaystyle\int_0^{2r}\rho g\,\dfrac{\pi u^2(3r-u)}{3}\,du=\dfrac{\rho g\pi}{3}\left(8r^4-4r^4\right)=\dfrac43\pi r^4\rho g$

$=\dfrac43\pi(0.4)^4(1000)(9.8)=\dfrac{25088\pi}{75}\approx1.05\times10^3$ J

액체는 $0\le x\le r$ 에서 바닥부터 표면 $y(x)$ 까지. 껍질법:

$V=\displaystyle\int_0^r2\pi x\left(h+\dfrac{\omega^2x^2}{2g}\right)dx=\pi r^2h+\dfrac{\pi\omega^2r^4}{4g}$

$\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi r^2}-\dfrac{\omega^2r^2}{4g}$

바닥: $h=0\Rightarrow\omega^2=\dfrac{4gV}{\pi r^4}$, $\omega=\dfrac{2}{r^2}\sqrt{\dfrac{gV}{\pi}}$

넘침: 벽에서 표면 높이 $y(r)=h+\dfrac{\omega^2r^2}{2g}=\dfrac{V}{\pi r^2}+\dfrac{\omega^2r^2}{4g}=L$

$\Rightarrow\omega=\dfrac{2}{r}\sqrt{g\left(L-\dfrac{V}{\pi r^2}\right)}=\dfrac{2\sqrt{g(\pi r^2L-V)}}{\sqrt\pi\,r^2}$ (단, 넘치기 전에 바닥이 드러나지 않는 경우, 즉 $V\ge\tfrac12\pi r^2L$ 일 때 이 식이 그대로 성립)

$r=2$, $L=7$. 중심에서 표면 높이 $h=7-5=2$, $x=1$ 에서 $7-4=3$:

$3=2+\dfrac{\omega^2\cdot1}{2g}\Rightarrow\omega^2=2g=19.6\Rightarrow\omega=\sqrt{19.6}\approx4.43$ rad/s

$V=\pi r^2h+\dfrac{\pi\omega^2r^4}{4g}=8\pi+\dfrac{\pi\cdot2g\cdot16}{4g}=8\pi+8\pi=16\pi\approx50.3$ m³

$y(2)=2+\dfrac{2g\cdot4}{2g}=6$ → 꼭대기(7 m)보다 1 m 아래