미적분학 Ⅰ — 1학기 기말 분석과 학습 조언

먼저 할 3가지

0. 이 자료를 읽는 법

확인시험지에서 직접 읽거나 직접 풀어 확인한 것. 추정시험지 표시와 필기로 맞춰 본 것(틀릴 수 있다). 제안분석에서 이끌어 낸 공부법으로, 정답이 아니라 해 볼 만한 것.

시험 문항 원문은 §6-2에 옮겨 두었다(개인 학습용).

1. 한눈에 보기 — 1학기 기말은 이렇게 나왔다

확인선택형 22문항, 100점, 서술형 없음. 배점은 4.2점에서 5.1점까지 뒤로 갈수록 커진다(합 100.0점으로 확인).

2. 시험지의 표시 (추정)

추정연필 표시(동그라미, 또는 ④ 옆의 V·사선)로 읽을 때 정답을 고른 것으로 보이는 문항은 10개(Q1·2·3·5·6·7·11·12·13·19, 합 44.0점)이다. 연필 표시가 없어 답을 알 수 없는 문항이 Q9·10·17·18(합 18.4점)이다. 나머지 8문항은 연필로 고른 답이 정답과 달라 보인다.

3. 필기에서 보이는 것 추정

시험지에 남은 풀이 흔적을 읽은 것이다. 시험 중 시간 순서는 알 수 없다.

• Q8(1^∞ 형 극한): 로그를 취하고 로피탈을 쓰는 방향은 맞았다. 그런데 분자 도함수에서 sin 2x의 도함수를 cos 2x로 쓴 식이 보인다(안쪽 미분 계수 2가 빠짐). 정답은 e², 고른 답은 e였다.
• Q15(삼각형 넓이): 필기가 A = ½·3·4·cos θ 로 시작해 24로 끝났고, 연필 동그라미도 24에 있다. 두 변과 끼인각이 주어진 삼각형의 넓이는 ½ab sin θ 이다. 식에서 sin 대신 cos를 쓴 것이 원인으로 보인다(정답은 18).
• Q4(극솟값): 임계점 x=0, 2와 부호표, "local min" 그림까지 있다. 그런데 고른 답(0)은 극솟값(−3)이 아니고, f(2) 값을 계산한 필기도 보이지 않는다. 마지막 단계에서 막힌 것으로 보인다.
• Q9·Q10(로그 함수 최솟값·최댓값): 임계점(x=e^−1/2, x=√e)까지 구했는데, 함수값에 대입해 정리하는 줄이 흐트러져 있다(지수·로그 정리 단계). 연필 표시가 없어 시험 때 어떤 답을 썼는지는 알 수 없다.
• Q14·16·20·21: 식을 세우는 데서 멈췄다. Q14는 ½r²π 한 줄, Q16은 그림에 r′=5, 4, 3만, Q20은 주어진 값들을 정리해 놓고 식은 없고, Q21은 y′까지다. Q17·19·22는 필기가 거의 없고, Q18은 여백에 짧은 메모만 있다.
• 연필로 고른 답이 ④로 보이는 문항이 Q14·16·19·20·21·22에 이어진다(Q15의 ④는 계산해서 고른 것이라 뺐고, 개념 문항 Q17·18은 연필 표시가 없다). 마지막 부분에서 시간이 모자라 고른 것일 수 있다. 다만 Q19의 ④는 정답이어서 모두 같은 이유로 고른 것인지는 알 수 없다.

4. 6월 준비자료와의 차이 확인

6월에 만든 2026 기말 예상시험지(22문항)와 실제 시험을 맞춰 보았다.

• 관련변화율의 "식 세우는 방식"이 달랐다. 6월 예상시험지는 사다리(직각)·구형 풍선·그림자·원뿔 물탱크·관측 각도였다. 실제 시험은 직사각형 넓이, 부채꼴 넓이, 두 변과 끼인각으로 삼각형 넓이, 도르래, 코사인법칙(사다리 120°, 삼각형), 곡선 위 점의 거리·각이었다. 코사인법칙·넓이식 각도·곡선 위 점이라는 세팅은 6월 예상시험지에 없었다(개념노트 §3.9에 "코사인법칙"이 한 줄 언급돼 있었다). 다만 Q22의 각도를 미분하는 기법은 6월 관측각 문항과 같다.
• 로피탈은 6월 예상시험지에 1^∞ 형이 있었고((1+3x)^2/x), 실제 Q8도 같은 계열이었다. 같은 형식을 연습한 곳이다.
• 2024·2025 기출과 비교하면 세 해 모두 선택형 22문항·100점·배점 점진 증가다. 2025년 기출은 PDF 문항 유형 라벨에서 관련변화율이 5문항이었고, 2026년은 시험지를 직접 분류해 9문항이다(방식이 달라 정확한 비교는 아니다). 2024년은 범위가 달라 다른 단원이다.

4-2. 실제 시험은 교재(부교재)에서 나왔다 확인일부 추정

실제 22문항을 부교재(Stewart Calculus 9판)의 예제·연습문제와 하나씩 대조했다. 판정은 수식과 수치를 직접 맞춰 낸 것이고, 교재 글자가 깨진 곳은 PDF 쪽을 눈으로 확인했다. 일부 등급(Q7의 B, Q21의 A)은 추정이다.

등급: A 같은 문제(수치·함수만 변경) · B 같은 함수·상황의 다른 질문 · C 같은 유형. 마킹: "마킹"은 선생님 동그라미 마킹 풀이 목록에 있는 문제, "동그라미(목록 누락)"는 교재 PDF에는 동그라미가 있는데 마킹 풀이 목록에 빠진 문제.

이 대조로 알 수 있는 것

• 선생님 동그라미 마킹은 힌트로 유효했다. 마킹 풀이 목록의 문제에서 그대로 나온 문항이 8문항(36.2점)이고, 목록에 빠진 PDF 마킹(체크 포함)까지 넣으면 12문항(53.7점)이다. Q3은 같은 함수의 예제 8에 체크가 있는 경우라, 출처 문제 자체의 마킹만 엄격히 세면 11문항(49.5점)이다. 목록의 104개 중 시험에 쓰인 것은 약 10개다.
• 마킹이 많은 절이 많이 나오지는 않았다. 3.11(쌍곡함수)은 마킹이 27개인데 출제는 1문항(4.3점)이었다. 반대로 3.9(관련변화율)는 마킹 12개(목록 기준, PDF에는 20개)에 9문항(43.1점)이 나왔다.
• 마킹이 없는 교재 문제도 나왔다. Q13(3.9 #6)과 Q16(3.9 #22)은 동그라미가 없는 연습문제였다.
• 한 절(3.9)에서 43.1점이 나왔다. 어느 절이 몰릴지는 시험 전에 알 수 없었다.

마킹 목록은 104개이고, 교재 PDF에는 목록에 없는 동그라미가 약 25개 더 있다(3.9 연습문제 #32·34·35·40·41·44~46, 3.10 #19·21·26·29·31~35 등). 동그라미를 누가 그렸는지는 PDF만으로 알 수 없어 같은 마킹으로 보았다.

5. 공부 조언 제안

분석에서 이끌어 낸 제안이다. 시간·분량은 정하지 않았다(정할 근거가 되는 자료가 없다). ① 지금 미적분 Ⅱ 문제를 풀 때 쓸 수 있는 습관과 ② 시간이 날 때 볼 미적분 Ⅰ 관련변화율로 나눴다.

① 지금 바로 — 미적분 Ⅱ를 풀 때도 쓸 수 있는 마무리 점검

미적분 Ⅱ(적분)도 치환할 때의 연쇄법칙, 마지막 값 대입, 부호 확인이 똑같이 필요하다. 아래 점검은 위 §3의 흔적에서 이끌어 냈다(5번만 일반 점검).

1. 안쪽 미분을 빠뜨리지 않았나? 합성함수는 바깥 → 안쪽 순서로 두 번 미분한다. (예: sin 2x → 2 cos 2x. Q8에서 계수 2가 빠진 흔적이 있다.)
2. 구하라는 것이 값인지 위치(x)인지 확인하고, 마지막 줄에 값을 써 보자. 임계점만 구하고 끝내지 않는다(Q4는 f(2) 계산이, Q9·Q10은 값 정리가 보이지 않거나 흐트러져 있다).
3. 식을 세운 뒤 멈추지 않았나? 식까지 쓴 문항은 마지막 줄에 숫자(답)까지 써서 선지와 맞춰 본다(Q14·16·20·21).
4. 사용한 공식이 맞나? 비슷한 공식(예: 넓이는 sin, 그 미분은 cos)이 헷갈리면 시작할 때 한 줄로 확인한다(Q15).
5. 부호와 단위(일반 점검). 감소하면 음수, 묻는 것이 속도(speed)인지 변화율(rate)인지 확인한다.

시험 중 시간 (근거: 후반 문항에서 풀이가 식 세우기에서 끊기고 연필 ④ 표시가 이어짐)

• 막히는 문항은 표시해 두고 넘어가서 남은 시간에 돌아오는 순서를 정해 보자. (일반적인 시험 요령이고, 이 분석에서 효과가 확인된 것은 아니다.)

② 시간이 날 때 — 미적분 Ⅰ 관련변화율

관련변화율은 항상 "관계식 → 양변을 t로 미분 → 숫자 대입(미분한 뒤에!)" 순서다. 숫자를 먼저 대입하면 변하는 양이 상수가 되어 틀린다. 시험에 나온 관계식 6가지를 정리했다(확인유형은 이 시험지에서 가져왔다).

표가 길면 옆으로 밀어서 볼 수 있다.

③ 시험 준비 방식 (미적분 Ⅱ 시험에도 적용해 볼 수 있다)

• §4-2에서 보듯 실제 문항 대부분이 교재 예제·연습문제의 변형이었다. 교재의 예제와 연습문제를 수치만 바꿔서 다시 풀어 보는 준비가 이번 시험에서는 잘 맞았다.
• 선생님 동그라미 표시가 있는 문제를 먼저 풀되, 표시가 없는 연습문제도 같은 유형이면 나올 수 있다(Q13, Q16).
• 한 절에 문항이 몰릴 수 있으니(3.9절 43.1점), 시험 범위의 여러 절에서 예제와 연습문제를 골고루 한 번씩 풀어 두는 방법을 생각해 볼 수 있다(한 시험을 사후에 대조한 경향이라 다음 시험도 같다는 보장은 없다).

6. 정답표와 핵심 풀이 확인

공식 답지가 없어 22문항을 직접 풀어 정답을 정했다(수식 계산으로 검산했고, 독립 검토에서도 22/22 일치). "표시"는 시험지에서 읽은 것이며 추정이다.

표시 보는 법: ○ 연필로 고른 답이 정답 · ✕ 연필로 고른 답이 정답과 다름 · ? 연필 표시가 없어 시험 때 답을 알 수 없음

6-2. 시험 문항 원문 (개인 학습용) 확인

시험지에 인쇄된 문항과 선지를 옮겼다. 문항을 눌러 펼치면 정답과 네 표시(추정)를 볼 수 있다. 원문의 오탈자(Q16의 "the the", Q19의 "7-meters")는 그대로 두었고, 원문에서 선분 위에 줄이 그어진 표기(Q20의 OA·OB·AB, Q21의 OP)는 윗줄로 나타냈다. 상자 안 진술은 [상자] 아래에 적었다.

7. 다시 풀어 볼 문항 진단 카드 (직접 채우기)

표에서 ✕ 또는 ?인 12문항을 다시 풀어 본 뒤 이유를 체크해 보자. 체크하면 이 기기에 저장된다. 같은 이유에 표시가 몰리면 그것이 먼저 손볼 곳이다. 해당하지 않는 칸은 비워 두면 된다.

• "식·관계를 세우지 못했다"가 많으면: §5 ②의 관계식 6가지를 먼저 익히자.
• "계산(미분·정리) 실수"가 많으면: §5 ①의 1번(안쪽 미분)과 4번(공식 확인)을 점검하자.
• "값 구하기·대입 마무리"가 많으면: §5 ①의 2·3번(값을 구하는지, 끝까지 가기)을 손보자.
• "풀지 못하고 넘어갔다·시간 부족"이 많으면: 막히는 문항을 표시하고 돌아오는 순서를 연습해 보자.

8. 이 분석의 근거와 한계

• 근거: 1학기 기말 시험지 PDF(8쪽 스캔, 이미지로 읽음) · 2024·2025 1학기 2차 지필 기출 PDF · 6월 준비자료(2026 기말 예상시험지·개념노트).
• 공식 답지가 없어 정답은 직접 풀어 정했다. 점수를 직접 알지 못해 연필로 고른 답이 정답인 10문항(44.0점)과 연필 표시가 없는 4문항(18.4점)은 시험지 표시를 읽은 추정이다(연필 V·사선으로 읽은 Q14·16·19~22는 동그라미보다 근거가 약하다).
• "연필 동그라미 = 시험 때 고른 답"은 읽는 방식이며 확정이 아니다. 검은 펜 표시는 누가 언제 썼는지 알 수 없어 득점 판단에 쓰지 않았다. 문항 번호 옆 ✓ 표시는 의미를 몰라 분석에서 뺐다.
• 표본이 한 번의 시험이라 다음 시험이 같은 구성으로 나온다는 근거는 없다. 선택형 22문항·100점·배점 점진 증가는 2024~2026 세 해에서 같았고, 후반부에 관련변화율이 몰린 것은 2025·2026에서 확인된다.