Stewart Early Transcendentals 9/E (Metric) · §4.7 ~ Chapter 6 Problems Plus · 2학년 2학기 중간(1차 지필, 10/13~10/16) 대비
이 노트 읽는 법
- 🔥 = 선생님이 교재에 쓴 출제 신호 메모를 원문 그대로 인용한 것(빨간 펜). "반드시 출제", "기본문제로 출제", "T/F", "빈칸문제" 등이 붙은 개념이 최우선.
- 문제 번호·개념 옆 파란 ○·☆ = 선생님이 찍어 주신 것(정연이가 파란 펜으로 표시) — 빨간 마킹과 같은 출제 신호로 읽는다. 아래에서는 "선생님 지정 ☆(파란 펜)"로 적었다.
- ✍️ 수업 필기(파란 펜) = 정연이가 수업 중 받아 적은 손글씨 메모. 풀이 요령으로 읽는다.
- 메모 "AI"·"발표" = 인공지능·발표 수행평가에 들어가는 문제 표시라 시험과 무관하다.
- 📝 2025 기출 = 작년 2학기 중간(22문항 · 전체 영어 · 선택형 100점)에 실제로 나온 형태. 유형 분포: indefinite 4 · definite 3 · FTC 4 · substitution 3 · average 2 · linear density 1 · velocity 1 · area 1 · disk 1 · shell 1 · work 1.
- 범위: 교재 484쪽(Chapter 6 Problems Plus 14 아래) 선생님 메모 "중간 끝". 즉 §4.7 ~ 6장 끝.
- ⚠️ 2025 기출에는 §4.7 최적화·§4.8 Newton 법이 0문항이었다. 작년 시험 범위가 올해와 같은지는 확인되지 않았다. 올해 범위는 선생님 메모상 §4.7 부터이고, 선생님이 §4.7·4장 Problems Plus 에 마킹(동그라미)을 많이 했으며 §4.7 에는 출제 신호 메모("☆ 음함수 미분 ← 이거 많이 나옴", "너무 사랑하심", "재작년 서술형 빈칸 기출")가 있고, #14 의 "전년도 기출"도 정연 확인 결과 재작년 이전 시험의 기출이다(선생님이 예전에 최적화를 낸 적 있음). 표본이 1개년뿐이므로 0문항으로 단정하지 말 것.
- 각 Part 끝의 링크는 마킹 풀이집(calculus2_marked_solutions.html)의 해당 문제 카드로 바로 간다.
최적화 문제 표준 절차
1. 문제 이해 — 미지수는? 주어진 조건은?
2. 그림 그리기.
3. 기호 도입 — 최대·최소로 만들 양을 $Q$ 로.
4. 목적함수(objective function) $Q$ 를 식으로.
5. 제약조건(constraint)으로 변수를 하나만 남겨 $Q=f(x)$ + 정의역.
6. §4.1·§4.3 방법으로 절대최댓값·최솟값 — 닫힌구간이면 닫힌구간법(임계수 + 양 끝점 비교).
✍️ 선생님 메모 (Example 1 옆): "말로 나오는 문제 → 그림 그리기", "제약조건(constraint) · 목적함수(objective function)", "미분해서 0이 되는 critical point 구해야 함"
First Derivative Test for Absolute Extreme Values (선생님 지정 ☆(파란 펜))
$c$ 가 어떤 구간에서 연속인 $f$ 의 임계수일 때
(a) $x\lt c$ 인 모든 $x$ 에서 $f'(x)\gt 0$, $x\gt c$ 인 모든 $x$ 에서 $f'(x)\lt 0$ 이면 $f(c)$ 는 절대최댓값.
(b) 부호가 반대면 $f(c)$ 는 절대최솟값.
→ 열린구간(예: $r\gt 0$)이라 끝점 비교를 못 하고 임계수가 하나뿐일 때 쓴다.
예제 — 강을 따라 울타리 1200 m, 강 쪽은 울타리 없음 (Example 1)
$A=xy,\ 2x+y=1200 \Rightarrow A(x)=1200x-2x^2\ (0\le x\le 600)$, $A'(x)=1200-4x=0\Rightarrow x=300,\ y=600$.
끝점 $A(0)=A(600)=0$ 이므로 최대 넓이 $180{,}000\ \text{m}^2$.
🔥 ✍️ 선생님 메모: "☆ 음함수 미분 ← 이거 많이 나옴"
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 5 옆): "음함수 미분 — 서술형 빈칸 문제로 출제 가능"
✍️ 선생님 메모 (Note 2 옆): "ratio(비례식)로 변환 — 왜 비례식으로 두는가"
변수를 하나로 소거하지 않고, 목적함수와 제약조건을 동시에 미분해 두 변수의 비를 답으로 얻는 방법이다.
예제 — 음함수 미분 풀이 세 가지
① Example 1 (울타리): $A=xy,\ 2x+y=1200$ → $dA=y\,dx+x\,dy=0,\ 2\,dx+dy=0$ → $dy=-2\,dx$ 대입 → $y=2x$ (세로 : 가로 $=1:2$).
② Note 2 (1 L 캔): $A=2\pi r^2+2\pi rh,\ \pi r^2h=1000$ 을 $r$ 로 미분 → $4\pi r+2\pi rh'+2\pi h=0,\ \pi r^2h'+2\pi rh=0$ → $2r+rh'+h=0,\ rh'+2h=0$ → 빼면 $h=2r$ (높이 = 지름). 실제 값은 $r=\sqrt[3]{500/\pi}$ cm.
③ Example 5 (반원에 내접하는 직사각형): $A=2xy,\ x^2+y^2=r^2$ → $y\,dx+x\,dy=0,\ x\,dx+y\,dy=0$ → $x=y$, 즉 $x=r/\sqrt2$, 최대 넓이 $r^2$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§4.7 #81): "시야각", "arctan → 양함수 미분 / tan → 음함수 미분 ← 너무 사랑하심(자주 냄)"
선생님 지정 ☆(파란 펜) #81 · 수업 필기: "이거 풀면 84도 가능"
예제 — 눈높이보다 1 m 위에서 4 m 위까지 걸린 그림, 벽에서 $x$ m 떨어져 볼 때 시야각 최대
양함수(arctan): $\theta(x)=\tan^{-1}\dfrac4x-\tan^{-1}\dfrac1x$ → $\theta'(x)=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=2$ (일반형 $x=\sqrt{ab}$).
음함수(tan): $\tan\theta=\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{4/x-1/x}{1+4/x^2}=\dfrac{3x}{x^2+4}$ 를 $x$ 로 미분하면 $\sec^2\theta\cdot\theta'=\dfrac{3(4-x^2)}{(x^2+4)^2}$, $\theta'=0\Rightarrow x=2$. 이때 $\tan\theta=\dfrac34$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§4.7 #77): "재작년 서술형 빈칸 기출", "각도로 음함수 미분 ☆ ← rare case"
빛이 매질 1(속도 $v_1$)에서 매질 2(속도 $v_2$)로 갈 때 걸리는 시간 $T$ 를 최소로 하는 경로는 $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}=\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}$ 를 만족한다. 경계 위 점 $C$ 의 위치가 바뀌면 $\theta_1,\theta_2$ 가 함께 바뀌므로(수업 필기), 각을 변수로 두고 음함수 미분한다. 빈칸형으로 나오면 $T'(x)=0$ 식에서 $\dfrac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\sin\theta_1$ 로 바꾸는 줄이 핵심.
거리 최소화는 $d$ 대신 $d^2$ — Example 3: $y^2=2x$ 위에서 $(1,4)$ 에 가장 가까운 점. $d^2=f(y)=\left(\tfrac12y^2-1\right)^2+(y-4)^2$, $f'(y)=y^3-8=0\Rightarrow y=2$, 점 $(2,2)$, 거리 $\sqrt5$. ($d\ge0$ 이므로 $d$ 의 최소점 = $d^2$ 의 최소점.) #73 의 선생님 메모 "(b)가 어려우면 제곱?" 도 같은 요령.
경영·경제 응용 — 수요함수 $p(x)$, 수입 $R(x)=x\,p(x)$, 이윤 $P(x)=R(x)-C(x)$. 한계비용 $C'$, 한계수입 $R'$ = 도함수. Example 6: $p(x)=450-\tfrac12x$ → $R'(x)=450-x=0\Rightarrow x=450,\ p=225$. (선생님 메모: 여기서도 음함수 미분 $dp+\tfrac12dD=0$ 가능)
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§4.7 #14 강가 사다리꼴 밭): "전년도 기출" — 정연 확인: 전년도가 아니라 재작년 또는 그 이전 기출(선생님이 예전에 낸 적 있다고 언급). 그래서 2025 2학기 중간 22문항에 최적화가 0문항인 것과 모순되지 않고, 선생님이 예전에 최적화를 출제한 적이 있다는 점은 §4.7 을 버리면 안 되는 추가 근거다.
빈출 함정 — ① 정의역·끝점을 빠뜨리지 말 것(닫힌구간이면 $f(a),f(b)$ 비교 필수). ② 임계수를 구한 뒤 그것이 최대인지 최소인지 판정(닫힌구간법 또는 절대극값 1계 판정)까지 해야 한다. ③ 목적함수 대신 제약조건 식을 최대·최소화 대상으로 삼는 실수(음함수 미분 풀이에서 제약조건을 함께 미분하는 것은 옳다). ④ 각도로 풀 때 $\theta$ 의 범위(예: $0\lt\theta\lt\pi/2$)를 정의역으로 적을 것.
이 개념으로 풀 마킹 문제
Newton 법 (선생님 지정 ☆(파란 펜))
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\qquad (f'(x_n)\ne 0)$$
유도(선생님 메모): 점 $(x_n,f(x_n))$ 에서의 접선 $y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)$ 의 $x$ 절편이 $x_{n+1}$. 즉 기울기 $\dfrac{f(x_n)-0}{x_n-x_{n+1}}=f'(x_n)$.
예제 — $x^3-2x-5=0$, $x_1=2$ (Example 1)
$f'(x)=3x^2-2$. $x_2=2-\dfrac{-1}{10}=2.1$, $x_3=2.1-\dfrac{0.061}{11.23}\approx 2.0946$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§4.8 #29): "거듭제곱근 → 정수" (로 떨어지는 값) "출제 · 유리함수도 출제 · 다항함수 → DNE?" ('정수' 판독 불확실)
✍️ 선생님 메모 (Example 2 옆): "계산기 없이 풀 수 있는 예시만 출제"
제곱근 알고리즘 — $\sqrt a$ 는 $f(x)=x^2-a$ 의 근
$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-a}{2x_n}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$
예: $\sqrt{10}$, $x_1=3$ → $x_2=\tfrac12\left(3+\tfrac{10}{3}\right)=\dfrac{19}{6}$. 계산기 없이 분수로 끝나는 형태가 출제 형태.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§4.8 #31, #33): "T/F 후보"
| 상황 | 무슨 일이 생기나 |
|---|---|
| $f'(x_1)=0$ (수평 접선) — #31: $x^3-3x+6=0,\ x_1=1$ | $f'(1)=0$ → $x_2$ 정의 불가. 접선이 $x$ 축과 만나지 않는다. |
| $f'(x_1)$ 이 0 에 가까움 | $x_2$ 가 멀리 튀어 $x_1$ 보다 나쁜 근사, 정의역 밖으로 나갈 수도 있음 |
| $\sqrt[3]{x}=0$ — #33 | $x_{n+1}=-2x_n$ → $\lvert x_n\rvert$ 가 매번 2배, 발산 ($x_1\ne0$ 이면 항상 실패) |
| $\pm\sqrt{\lvert x\rvert}$ 꼴 — #34 | $x_{n+1}=-x_n$ → $\pm x_1$ 사이를 영원히 왕복 |
| 근이 여러 개 | 초기값에 따라 원하지 않는 근으로 수렴할 수 있음 |
빈출 함정 — ① 공식의 부호: $x_n\,\mathbf{-}\,\dfrac{f}{f'}$ (더하기 아님), 분모는 $f'$ (분자·분모 뒤집지 말 것). ② "Newton 법은 초기값과 상관없이 항상 수렴한다" → 거짓(선생님 메모: T/F 후보). ③ $x_3$ 을 물으면 두 번 반복이다($x_1$ 이 주어진 값).
이 개념으로 풀 마킹 문제
역도함수 (antiderivative)
구간 $I$ 의 모든 $x$ 에서 $F'(x)=f(x)$ 이면 $F$ 를 $f$ 의 역도함수라 한다(메모: = 부정적분).
Theorem 1 — $F$ 가 구간 $I$ 에서 $f$ 의 역도함수이면, $I$ 에서 가장 일반적인 역도함수는 $F(x)+C$ ($C$ = 적분상수). 메모: "부정적분 ≠ 정적분".
구간마다 상수가 다를 수 있다 — $f(x)=\dfrac1x$ 의 일반 역도함수는 $F(x)=\begin{cases}\ln x+C_1 & x\gt 0\\ \ln(-x)+C_2 & x\lt 0\end{cases}$ (교재에서 $C_1, C_2$ 에 동그라미). 정의역이 끊어져 있으면 조각마다 상수가 하나씩.
| 함수 $f(x)$ | 역도함수 $F(x)$ (+C) | 함수 $f(x)$ | 역도함수 $F(x)$ (+C) |
|---|---|---|---|
| $x^n\ (n\ne-1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $\dfrac1x$ | $\ln\lvert x\rvert$ (절댓값 주의) |
| $e^x$ | $e^x$ | $b^x$ | $\dfrac{b^x}{\ln b}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x$ | $\sec x\tan x$ | $\sec x$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\tan^{-1}x$ |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ | $\cosh x$ | $\sinh x$ |
외우지 말고 유도하기 (여백 메모 ☆) — $y=\sin^{-1}x \Rightarrow x=\sin y \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $\ y=\tan^{-1}x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sec^2y}=\dfrac{1}{1+x^2}$ ⇒ 역미분하면 $\tan^{-1}x+C$.
📝 2025 기출 Q1~Q4 (4.2~4.3점) — $\int x^2dx$, $\int 2^xdx$, $\int\dfrac{1}{1+x^2}dx$, $\int\sinh x\,dx$ 가 그대로 나왔다. 오답 선택지: $(\ln2)2^x$ (미분과 적분을 뒤집은 값), $-\cosh x$ (삼각함수처럼 부호를 붙인 값), $\sin^{-1}x$·$\sinh^{-1}x$·$\tanh^{-1}x$ (분모 모양 혼동).
예제 — $f'(x)=e^x+\dfrac{20}{1+x^2},\ f(0)=-2$ (Example 3)
$f(x)=e^x+20\tan^{-1}x+C$, $f(0)=1+0+C=-2 \Rightarrow C=-3$ → $f(x)=e^x+20\tan^{-1}x-3$.
예제 — $f''(x)=12x^2+6x-4,\ f(0)=4,\ f(1)=1$ (Example 4)
$f'(x)=4x^3+3x^2-4x+C$, $f(x)=x^4+x^3-2x^2+Cx+D$. $f(0)=D=4$, $f(1)=1+1-2+C+4=1\Rightarrow C=-3$ → $f(x)=x^4+x^3-2x^2-3x+4$.
$f''$ 에서 시작하면 상수가 두 개($C, D$) — 조건도 두 개 필요.
$f$ 의 그래프로 $F$ 그리기 (Example 5) — $f\gt0$ 이면 $F$ 증가, $f\lt0$ 이면 $F$ 감소, $f=0$ 에서 $F$ 는 수평접선, $f$ 의 극값 위치 = $F$ 의 변곡점.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 7 옆): "자유낙하 → 기본 문제로 출제할 듯"
예제 — 높이 130 m 절벽에서 15 m/s 로 위로 던진 공 (Example 7)
$a(t)=-9.8 \Rightarrow v(t)=-9.8t+15\ (v(0)=15) \Rightarrow s(t)=-4.9t^2+15t+130\ (s(0)=130)$.
최고점: $v=0 \Rightarrow t=\dfrac{15}{9.8}\approx1.5$ s. 착지: $s=0 \Rightarrow t=\dfrac{15+\sqrt{2773}}{9.8}\approx6.9$ s.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§4.9 #78 선밀도 → 질량): "이것도 기본 · 밀도함수? 질량?" — 선밀도 $\rho(x)$ 를 역미분(적분)하면 질량. 📝 2025 Q9 (linear density) 로 실제 출제: $\rho(x)=6\sqrt x$, 길이 4 → 질량 $\int_0^4 6\sqrt x\,dx=32$.
빈출 함정 — ① $\int\dfrac1x\,dx=\ln\lvert x\rvert+C$ — 절댓값을 빼먹지 말 것. ② $\int\sinh x\,dx=+\cosh x$ (음수 아님). ③ $\int b^x\,dx$ 는 $\ln b$ 로 나눈다(곱하면 미분). ④ 초기조건을 대입하기 전에 $+C$ 를 붙였는지 확인.
이 개념으로 풀 마킹 문제
넓이 (Definition 2)
$f$ 가 연속이면 $$A=\lim_{n\to\infty}R_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n},\quad x_i=a+i\,\Delta x.$$
왼쪽 끝점($L_n$)이나 임의의 표본점(sample point) $x_i^*$ 를 써도 극한은 같다.
✍️ 선생님 판서 — 구간 $[1,2]$ 를 $n$ 등분했을 때 $k$ 번째 직사각형 $=\dfrac{2-1}{n}\times f\!\left(1+\dfrac{2-1}{n}\cdot k\right)$. 일반형 $\dfrac{b-a}{n}\,f\!\left(a+\dfrac{b-a}{n}k\right)$ 를 기억할 것 — 폭 × 높이.
각 소구간에서 $f$ 의 최솟값으로 만든 합이 하합(lower sum), 최댓값으로 만든 합이 상합(upper sum).
| $f$ 의 모양 | 하합(lower) | 상합(upper) |
|---|---|---|
| 증가 (increasing) | 왼쪽 끝점 $L_n$ | 오른쪽 끝점 $R_n$ |
| 감소 (decreasing) | 오른쪽 끝점 $R_n$ | 왼쪽 끝점 $L_n$ |
속도가 일정하면 거리 = 속도 × 시간. 속도가 변하면 짧은 시간 구간마다 속도를 일정하다고 보고 더한 뒤 극한: $d=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\,\Delta t$ = 속도 그래프 아래 넓이.
예제 — 5 초 간격 속도(m/s) $8,9,10,12,13,12,11$ ($t=0\sim30$) (Example 4)
왼쪽 끝점: $5(8+9+10+12+13+12)=320$ m, 오른쪽 끝점: $5(9+10+12+13+12+11)=335$ m. 구간은 6 개(값은 7 개).
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§5.1 #20~#23): "기본문제로 출제 가능"
읽는 법 — $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}{n}\,f\!\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)$ 에서 폭 $\dfrac{b-a}{n}$ 과 시작점 $a$ 를 먼저 찾는다.
예: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac1n\left(\frac in\right)^3$ → $b-a=1,\ a=0,\ f(x)=x^3$ → $y=x^3$ 아래 $0\le x\le1$ 영역, 넓이 $\dfrac14$.
예: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac3n\sqrt{1+\frac{3i}{n}}$ → $b-a=3,\ a=1,\ f(x)=\sqrt x$ → $\displaystyle\int_1^4\sqrt x\,dx=\frac{14}{3}$.
📝 2025 Q7 — $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2k}{n}\right)^2$ 의 정답은 $\dfrac12\displaystyle\int_1^3x^2\,dx$. $x_k$ 의 간격은 $\dfrac2n$ 인데 곱한 폭은 $\dfrac1n$ → 폭 계수 $\dfrac12$ 가 남는다. 구간만 맞춘 $\displaystyle\int_1^3x^2\,dx$ 가 오답 선택지였다.
빈출 함정 — ① 폭과 표본점 간격이 다르면 계수가 남는다(2025 Q7). ② 감소함수에서는 lower ↔ right, upper ↔ left 로 뒤바뀐다. ③ 표에서 값이 7 개면 소구간은 6 개.
이 개념으로 풀 마킹 문제
정적분 (Definition 2)
$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\,\Delta x,\qquad \Delta x=\frac{b-a}{n}.$$
표본점 $x_i^*$ 는 $[x_{i-1},x_i]$ 안의 임의의 점(선생님 메모). 극한이 존재하고 표본점을 어떻게 골라도 같은 값이면 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 적분가능(integrable).
Theorem 4 (오른쪽 끝점): $f$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하면 $x_i=a+i\,\Delta x$ 로 두어도 된다.
합 공식 (Sums of Powers, 선생님 지정 ☆(파란 펜))
$$\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\qquad \sum_{i=1}^{n}i^3=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$$
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 3 옆): "evaluate(극한 계산)까지 하는 문제는 X, express(정적분으로 나타내기)까지만 ." → 출제 포인트는 리만합 ↔ 정적분 변환.
예제 — 선생님 메모 "기하학적으로" (Example 5)
$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac{\pi}{4}$ (반지름 1 인 사분원). $\ \displaystyle\int_0^3(x-1)\,dx=A_1-A_2=2-\frac12=1.5$ ($x$ 축 위 삼각형 − 아래 삼각형).
📝 2025 Q5 — $\displaystyle\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx=\pi$ (반지름 2 인 사분원 $\tfrac14\pi\cdot2^2$). 치환하지 말고 도형 넓이로 끝낸다. ✍️ 선생님 메모 (§5.2 #36): "기하학으로 접근".
중점법칙 (Midpoint Rule)
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=1}^{n}f(\bar x_i)\,\Delta x,\quad \bar x_i=\tfrac12(x_{i-1}+x_i).$
| 성질 | 식 |
|---|---|
| 상수 | $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$ |
| 선형성 | $\int_a^b[f\pm g]=\int_a^b f\pm\int_a^b g$, $\ \int_a^b cf=c\int_a^b f$ |
| 구간 뒤집기·같은 끝 | $\int_b^a f=-\int_a^b f$, $\ \int_a^a f=0$ |
| 구간 합치기 (Property 5, "구간 주의") | $\int_a^c f+\int_c^b f=\int_a^b f$ ($c$ 가 구간 밖이어도 성립) |
| 비교 (Property 6~8, $a\le b$ 일 때만) | $f\ge0\Rightarrow\int_a^b f\ge0$; $\ m\le f\le M \Rightarrow m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$ |
빈출 함정 — ① 정적분은 부호 있는 넓이: $x$ 축 아래는 빼진다. ② 비교 성질은 $a\le b$ 일 때만. ③ 리만합에서 $\dfrac1n$ 을 먼저 떼어 놓고 나머지를 $f(x_i)$ 로 읽는다(✍️ 수업 필기 #83: "$\frac{1}{n}$ 앞에 빼고 생각").
이 개념으로 풀 마킹 문제
FTC Part 1
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면 $g(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 에 대해 $g'(x)=f(x)$.
연쇄법칙 일반형: $$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt=f(g(x))\,g'(x),\qquad \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt=f(v(x))\,v'(x)-f(u(x))\,u'(x).$$
FTC Part 2
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $F'=f$ 이면 $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
역도함수는 아무거나 하나면 된다 ($+C$ 불필요).
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 2): "기본문제로 출제" — $g(x)=\displaystyle\int_0^x\sqrt{1+t^2}\,dt \Rightarrow g'(x)=\sqrt{1+x^2}$.
📝 2025 Q11 에 그대로 나왔다: $g'(1)=\sqrt2$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 4): "☆☆☆ 반드시 출제 · chain rule" — $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{x^4}\sec t\,dt=\sec(x^4)\cdot4x^3$.
"$\int_1^{x}$ 와 $\int_1^{2x}$ 인 경우를 비교하는 문제 출제" — $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{x}f(t)\,dt=f(x)$, $\ \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^{2x}f(t)\,dt=2f(2x)$ (속미분 2 를 잊지 말 것).
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§5.3 #68·#69): "반드시 출제" — 위끝·아래끝이 모두 $x$ 의 함수.
풀이(수업 필기): 상수 하나를 끼워 두 적분으로 나눈다.
#69: $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}e^{t^2}dt=\frac{d}{dx}\left[-\int_a^{x}e^{t^2}dt+\int_a^{x^2}e^{t^2}dt\right]=-e^{x^2}+2xe^{x^4}$.
#68: $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{1-2x}^{1+2x}t\sin t\,dt=2(1+2x)\sin(1+2x)+2(1-2x)\sin(1-2x)$ (아래끝의 속미분 $-2$ 와 앞의 $-$ 가 만나 $+$).
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Chapter 5 Review #51~#54): "☆ 반드시 출제" — FTC1 + 연쇄법칙. 변수가 아래끝에 있으면 부호 $-$.
📝 2025 FTC 4문항 — Q11 $g'(1)$ (기본형) · Q12 $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\frac{t}{1+t^2}dt=\frac{2x^3}{1+x^4}$ (오답 $\dfrac{x^2}{1+x^4}$ = 연쇄법칙 누락) · Q13 $g(x)=\displaystyle\int_1^x e^{-t^2}dt$ 의 $x=1$ 접선 $y=\dfrac{x-1}{e}$ ($g(1)=0$, $g'(1)=e^{-1}$) · Q17 $xe^x=\displaystyle\int_0^{\sqrt x}f(t)\,dt$ 양변 미분 → $f(\sqrt x)=2\sqrt x(1+x)e^x$, $f(4)$ 는 $x=16$ 대입 → $136e^{16}$.
공통 신호: "계산하지 마라" — 피적분함수가 적분되지 않거나($e^{-t^2}$) 미지 함수 $f$ 면 FTC1 으로 미분해서 푼다.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 7): "나올 가능성 큼" — $\displaystyle\int_3^6\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert\Big]_3^6=\ln6-\ln3=\ln2$. 같은 원리로 $\displaystyle\int_a^{2a}\frac{dx}{x}=\ln2\ (a\gt0)$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 9): "$\int\frac{1}{\sqrt x}$, $\int\frac1x$, $\int\frac1{x^2}$ 세 가지 경우 다 알기 → 구간 안에서 불연속(discontinuous)인지 아닌지 서술·T/F 출제"
$\displaystyle\int_{-1}^{3}\frac{1}{x^2}dx=\left[-\frac1x\right]_{-1}^{3}=-\frac43$ 은 틀린 계산. $\dfrac1{x^2}$ 이 $x=0$ 에서 무한 불연속이라 FTC 를 쓸 수 없다(양수 함수의 적분이 음수일 수 없다 — 실제로는 발산).
역삼각으로 떨어지는 정적분 (선생님 지정 ☆(파란 펜) #52 · 수업 필기 "→ arcsin") — $4\displaystyle\int_{1/2}^{1/\sqrt2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=4\left[\sin^{-1}x\right]_{1/2}^{1/\sqrt2}=4\left(\frac\pi4-\frac\pi6\right)=\frac\pi3$.
적분변수(dummy variable) 확인 (✍️ 수업 필기 #34) — $\displaystyle\int_{-5}^{5}e\,dx=10e$ ($e$ 는 상수). 그러나 적분변수가 $e$ 인 $\displaystyle\int_{-5}^{5}e\,de=0$ (기함수). 무엇으로 적분하는지부터 본다.
예제 — $\displaystyle\lim_{x\to3}\left(\frac{x}{x-3}\int_3^x\frac{\sin t}{t}\,dt\right)$
$F(x)=\displaystyle\int_3^x\frac{\sin t}{t}dt$ 로 두면 $F(3)=0$, $\dfrac{F(x)-F(3)}{x-3}\to F'(3)=\dfrac{\sin3}{3}$ → 답 $3\cdot\dfrac{\sin 3}{3}=\sin3$. (로피탈 + FTC1 로도 가능. 적분 자체는 계산하지 않는다.)
적분 안에 $x$ 가 있을 때 (✍️ 수업 필기 PP6: "$x^2$ 는 상수 → 밖으로 빼내기 가능") — $f(x)=\displaystyle\int_0^x x^2\sin(t^2)\,dt=x^2\int_0^x\sin(t^2)\,dt$ → 곱의 법칙: $f'(x)=2x\displaystyle\int_0^x\sin(t^2)\,dt+x^2\sin(x^2)$. 바로 $x^2\sin(x^2)$ 로 쓰면 틀린다.
빈출 함정 — ① 위끝이 $g(x)$ 면 $g'(x)$ 를 곱한다(2025 Q12 오답). ② 변수가 아래끝이면 부호 $-$. ③ $f(4)$ 를 구할 때 $\sqrt x=4$ 즉 $x=16$ 을 넣는다(2025 Q17). ④ 불연속점이 구간 안에 있으면 FTC2 적용 불가. ⑤ 적분 안의 $x$ 는 먼저 밖으로.
이 개념으로 풀 마킹 문제
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Table 1 옆): "기본. $\tan^{-1}$ 출제 가능." → $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+1}=\tan^{-1}x+C$, $\ \displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1}x+C$ 까지 외워 둘 것. (2025 Q3 에 $\int\frac{1}{1+x^2}dx$ 출제)
부정적분 $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 는 함수들의 모임, 정적분 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 는 수. 공식표는 §4.9 표와 같다(부록 A 참고).
🔥 ✍️ 선생님 메모: "T/F로 나올 수 있음." — 부정적분 공식은 한 구간에서만 성립한다. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac1x+C$ 이지만 $x\ne0$ 전체의 일반 역도함수는 $F(x)=-\dfrac1x+C_1\ (x\lt0)$, $-\dfrac1x+C_2\ (x\gt0)$ 로 상수가 둘.
변화율의 적분 = 순변화량
$$\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
물의 부피 $V'(t)$, 반응 농도, 선밀도 $\rho(x)$ → 질량, 인구 증가율, 한계비용 $C'(x)$ 등.
🔥 ✍️ 선생님 메모: "단위 주의☆" — $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 의 단위 = ($f(x)$ 의 단위) × ($x$ 의 단위). 예: MW × h = MWh, (kg/m) × m = kg.
✍️ 선생님 메모 (#64): 기울기는 단위가 없다 — km/km 로 단위가 상쇄된다. ✍️ 선생님 메모 (#67): 정답 = newton·meter = J.
| 양 | 식 | 의미 |
|---|---|---|
| 변위 (displacement) | $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt=s(t_2)-s(t_1)$ | "변위 = 위치의 변화량" — 부호 상쇄 |
| 총 이동거리 (distance) | $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\lvert v(t)\rvert\,dt$ | "절댓값" — $v=0$ 에서 끊어 각각 양수로 |
예제 — $v(t)=t^2-t-6=(t-3)(t+2)$, $1\le t\le4$ (Example 6)
변위 $=\displaystyle\int_1^4 v\,dt=-\frac92$ m. 이동거리 $=\displaystyle\int_1^3(-v)\,dt+\int_3^4 v\,dt=\frac{22}{3}+\frac{17}{6}=\frac{61}{6}\approx10.17$ m (부호가 $t=3$ 에서 바뀜).
📝 2025 Q10 (velocity) — $v(t)=-t^3+t^2+2t=-t(t-2)(t+1)$, $0\le t\le3$ 의 distance. $t=2$ 에서 부호가 바뀐다 → $\dfrac83+\dfrac{59}{12}=\dfrac{91}{12}$. 변위는 $-\dfrac94$ 로 전혀 다른 값.
빈출 함정 — ① "distance" 는 $\int\lvert v\rvert$, "displacement" 는 $\int v$. ② 부호가 바뀌는 시각을 인수분해로 먼저 찾는다. ③ 단위: 적분하면 단위가 곱해진다(선밀도 kg/m × m = kg).
이 개념으로 풀 마킹 문제
The Substitution Rule
$u=g(x)$ 가 미분가능하고 그 치역이 구간 $I$ 이며 $f$ 가 $I$ 에서 연속이면 $$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.$$
연쇄법칙을 거꾸로 쓴 것. $du=g'(x)\,dx$ 처럼 미분을 문자처럼 다뤄도 된다.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 2 Solution 2): "☆ 시험 빈칸문제 가능" — 루트를 통째로 치환
$\displaystyle\int\sqrt{2x+1}\,dx$: $u=\sqrt{2x+1}$ → $u^2=2x+1$, $2u\,du=2\,dx$ → $dx=u\,du$ → $\displaystyle\int u\cdot u\,du=\frac{u^3}{3}+C=\frac13(2x+1)^{3/2}+C$.
(풀이 1: $u=2x+1$, $du=2\,dx$ → $\tfrac12\int\sqrt u\,du$ — 같은 답)
자주 쓰는 치환 결과
$\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{1-4x^2}}dx=-\frac14\sqrt{1-4x^2}+C$ ($u=1-4x^2$) · $\displaystyle\int e^{5x}dx=\frac15e^{5x}+C$
$\displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\lvert\cos x\rvert+C=\ln\lvert\sec x\rvert+C$ ($u=\cos x$, 공식 5)
정리 6
$g'$ 이 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f$ 가 $u=g(x)$ 의 치역에서 연속이면 $$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.$$
① 부정적분을 구해 $x$ 로 되돌린 뒤 FTC. ② 적분 구간도 $u$ 값으로 바꾸고 $x$ 로 되돌리지 않는다.
예: $\displaystyle\int_0^4\sqrt{2x+1}\,dx=\int_1^9\tfrac12\sqrt u\,du=\frac{26}{3}$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Example 9 ☆☆☆): "반드시 출제 · 실전문제 시험"
$\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{x}dx$: $u=\ln x,\ du=\frac1x dx$, $x=1\to u=0,\ x=e\to u=1$ → $\displaystyle\int_0^1u\,du=\frac12$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§5.5 #50): "☆☆ 출제 가능성 큼" — 비슷한 세 적분을 구분하라
① $\displaystyle\int\frac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x+C$
② $\displaystyle\int\frac{2x}{1+x^2}dx=\ln(1+x^2)+C$ (분자 = 분모의 도함수 → 로그)
③ $\displaystyle\int\frac{2x}{1+x^4}dx$: $u=x^2,\ du=2x\,dx$ → $\displaystyle\int\frac{du}{1+u^2}=\tan^{-1}(x^2)+C$. (#50 은 $\displaystyle\int\frac{x}{1+x^4}dx=\frac12\tan^{-1}(x^2)+C$)
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§5.5 #66 ☆☆): $u=e^x,\ du=e^x\,dx$ 로 두면 $\displaystyle\int\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}=\int\frac{du}{1+u^2}$ (50번과 같은 arctan 형). $\displaystyle\int_0^1\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx=\int_1^e\frac{du}{1+u^2}=\tan^{-1}e-\frac\pi4$.
치환 후 도형 넓이로 (선생님 지정 ☆(파란 펜) #84) — $\displaystyle\int_0^1x\sqrt{1-x^4}\,dx$: $u=x^2$ → $\dfrac12\displaystyle\int_0^1\sqrt{1-u^2}\,du=\frac12\cdot\frac\pi4=\frac\pi8$ (사분원). 원·쌍곡선 모양 메모(#70·#71): $y=\sqrt{a^2-x^2}$ 는 원, $y=\sqrt{x^2+a^2}$ 는 쌍곡선의 일부. $\displaystyle\int_0^a x\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{a^3}{3}$.
$f$ 가 $[-a,a]$ 에서 연속일 때
(a) 우함수 $f(-x)=f(x)$ → $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^af(x)\,dx$
(b) 기함수 $f(-x)=-f(x)$ → $\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0$
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§5.5 #95·#96): "T/F 주요"(판독 추정) · (#97): "☆ T/F" · 수업 필기 95–97 괄호 + "T/F"
| 변환 | 치환 | 결과 |
|---|---|---|
| 반사 (reflection) #95 | $u=-x$ | $\displaystyle\int_a^b f(-x)\,dx=\int_{-b}^{-a}f(x)\,dx$ |
| 평행이동 (translation) #96 | $u=x+c$ | $\displaystyle\int_a^b f(x+c)\,dx=\int_{a+c}^{b+c}f(x)\,dx$ |
| 뒤집기 $1-x$ #97 | $u=1-x$ | $\displaystyle\int_0^1x^a(1-x)^b\,dx=\int_0^1x^b(1-x)^a\,dx$ |
| 가로 압축 (dilation) #93 | $u=2x$ | $\displaystyle\int_0^2 f(2x)\,dx=\frac12\int_0^4f(u)\,du$ |
| $xf(x^2)$ #94 | $u=x^2$ | $\displaystyle\int_0^3 xf(x^2)\,dx=\frac12\int_0^9f(u)\,du$ |
📝 2025 Q14 (substitution) — $\displaystyle\int_0^4f=8$ 일 때 Ⓐ $\displaystyle\int_0^2f(2x)dx=4$ Ⓑ $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x+2)dx=8$ Ⓒ $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(2-x)dx=8$ — 셋 다 참. 압축은 넓이 절반, 평행이동·뒤집기는 넓이 불변. 위 T/F 표가 그대로 출제된 형태.
📝 2025 Q15 $\displaystyle\int_{3/5}^{4/5}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac15$ ($u=1-x^2$) · Q16 $\displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\lvert\cos x\rvert$ 로 $\ln\dfrac{2\sqrt5}{3}$ · Q6 $\displaystyle\int_0^2e^{2x}dx=\frac{e^4-1}{2}$ (오답 $e^4-1$ = 속미분 2 로 나누기 누락).
빈출 함정 — ① $du$ 에 붙는 계수($\tfrac12$, $-1$)를 빠뜨림. ② 정적분에서 $u$ 로 바꾼 뒤 구간을 안 바꾸거나, 구간을 바꿔 놓고 다시 $x$ 를 대입. ③ $u=-x$ 류에서 구간이 뒤집히면 $-$ 부호와 함께 원래대로 돌아온다. ④ 분자에 $x$ 가 있으면 삼각치환이 아니라 $u=1-x^2$ (2025 Q15).
이 개념으로 풀 마킹 문제
곡선 사이 넓이 (정의 2·3)
$f,g$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 모든 $x\in[a,b]$ 에서 $f(x)\ge g(x)$ 이면 $\displaystyle A=\int_a^b[f(x)-g(x)]\,dx$ (위 − 아래).
일반적으로 $\displaystyle A=\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx$.
✍️ 선생님 메모: "양수, 음수 구간 나눠서" — $f-g$ 의 부호가 바뀌면 교점에서 구간을 나눠 각각 (위 − 아래)로 적분한다.
예제
Example 1: $y=e^x$(위), $y=x$(아래), $0\le x\le1$ → $\displaystyle\int_0^1(e^x-x)\,dx=e-1.5$.
Example 2: $y=x^2$, $y=2x-x^2$ → 교점 $x=0,1$, $\displaystyle\int_0^1(2x-2x^2)\,dx=\frac13$.
Example 4: $y=\sin x,\ y=\cos x,\ 0\le x\le\frac\pi2$ → $x=\frac\pi4$ 에서 위아래가 바뀜 → $2\sqrt2-2$.
좌우 경계가 $x=f(y)$ 꼴이면
$$A=\int_c^d(x_R-x_L)\,dy.$$
Example 5: $y=x-1$ 과 $y^2=2x+6$ → $x_R=y+1,\ x_L=\tfrac12y^2-3$, $\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(-\tfrac12y^2+y+4\right)dy=18$.
✍️ 선생님 메모 (NOTE 옆): "주의" — Example 5 를 $x$ 로 적분하면 아래 경계가 두 곡선이라 영역을 둘로 나눠야 한다. 경계가 한 식으로 되는 방향을 골라라.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§6.1 #61): "기본문제 · T/F" (참/거짓형으로 출제 가능)
$\displaystyle\int_0^T(v_A-v_B)\,dt$ = 시각 $T$ 에 A 가 B 보다 앞선 거리. 앞서던 쪽이 그 뒤 더 느려지는 경우($v_A-v_B$ 가 $+$ 에서 $-$ 로 바뀔 때), 두 속도가 같아지는 순간은 간격이 극대인 순간이지 따라잡는 순간이 아니다. 따라잡는 시각은 두 곡선 사이 넓이가 같아지는 $T$.
📝 2025 Q18 (area between curves) — $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\lvert\cos x-\sin2x\rvert\,dx$. $\cos x-\sin2x=\cos x(1-2\sin x)$ → $x=\frac\pi6$ 에서 부호 전환 → $\frac14+\frac14=\frac12$. 절댓값을 무시하면 0.
대칭 활용 (선생님 지정 ☆(파란 펜) #63 · 수업 필기 "어려움") — 루프 $y^2=x^2(x+3)$ 의 넓이 $=2\displaystyle\int_{-3}^{0}\sqrt{x^2(x+3)}\,dx=2\int_{-3}^{0}(-x)\sqrt{x+3}\,dx$ ($x\lt0$ 이므로 $\sqrt{x^2}=-x$), 치환 $u=x+3$ → $\dfrac{24\sqrt3}{5}$.
빈출 함정 — ① 교점을 먼저 구하지 않고 주어진 구간 전체를 한 번에 적분. ② $\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert$ — 음수 구간에서 $-x$. ③ $y$ 적분에서는 (오른쪽 − 왼쪽). ④ 넓이는 항상 양수 — 음수가 나오면 위아래를 바꾼 것.
이 개념으로 풀 마킹 문제
Definition of Volume
$x=a$ 와 $x=b$ 사이의 입체에서, $x$ 를 지나고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $A(x)$ ($A$ 는 연속함수)이면 $$V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}A(x_i^*)\,\Delta x=\int_a^bA(x)\,dx.$$
✍️ 선생님 메모: "$y$축이 아니라 $x$축에 수직, 회전체라면 회전축에 수직" · 회전축에 perpendicular / parallel 을 먼저 확인 · 리만 합 $\lim\sum f(x)\Delta x=\int f(x)\,dx$ 의 확장
✍️ 선생님 메모: $\int 2\pi r\,dr=\pi r^2$ (원둘레 → 원넓이), $\int 4\pi r^2\,dr=\tfrac43\pi r^3$ (구의 겉넓이 → 구의 부피) — 얇은 껍질을 안쪽부터 쌓아 적분.
| 방법 | 단면 | 부피 |
|---|---|---|
| 원판 (disk) | $A=\pi(\text{반지름})^2$ | $\displaystyle\int_a^b\pi[R(x)]^2\,dx$ |
| 와셔 (washer) | $A=\pi(\text{바깥})^2-\pi(\text{안쪽})^2$ | $\displaystyle\int_a^b\pi\left([R_{out}]^2-[R_{in}]^2\right)dx$ |
예제 — 같은 영역($y=x$, $y=x^2$ 사이), 다른 회전축 (Example 4~6)
$x$ 축 둘레: 바깥 $x$, 안쪽 $x^2$ → $\displaystyle\int_0^1\pi(x^2-x^4)\,dx=\frac{2\pi}{15}$.
직선 $y=2$ 둘레: 바깥 $2-x^2$, 안쪽 $2-x$ → $\displaystyle\int_0^1\pi\left[(2-x^2)^2-(2-x)^2\right]dx=\frac{8\pi}{15}$.
직선 $x=-1$ 둘레: "$y$축에 평행 = $x$축에 수직" → $y$ 로 적분. 바깥 $1+\sqrt y$, 안쪽 $1+y$ → $\dfrac{\pi}{2}$.
✍️ 선생님 메모 (Example 3): "꼭 주의☆", "축에 따라 방법 달라짐. 주의!" — $y=x^3,\ y=8,\ x=0$ 을 $y$ 축 둘레로 회전 → $y$ 로 적분, 반지름 $x=\sqrt[3]y$ → $\displaystyle\int_0^8\pi y^{2/3}\,dy=\frac{96\pi}{5}$.
✍️ 선생님 메모 (Example 5): "제곱 잊지 말기" — $\pi(R_{out}-R_{in})^2$ 도 $\pi(R_{out}-R_{in})$ 도 아니다.
예제
구 (Example 1): $A(x)=\pi(r^2-x^2)$ → $\displaystyle\int_{-r}^{r}\pi(r^2-x^2)\,dx=\frac43\pi r^3$.
원판 밑면 + 정삼각형 단면 (Example 7): $A(x)=\sqrt3(1-x^2)$ → $\dfrac{4\sqrt3}{3}$. (메모: "정삼각형 / isosceles = 이등변" 구분)
사각뿔 (Example 8): $s=\dfrac Lhx$, $A=\dfrac{L^2}{h^2}x^2$ → $\dfrac{L^2h}{3}$. 꼭짓점을 원점에 두지 않아도 $\displaystyle\int_0^h\frac{L^2}{h^2}(h-y)^2dy=\frac{L^2h}{3}$ (선생님 메모: 대칭시켜도 넓이는 변하지 않음).
쐐기 (Example 9): $A(x)=\dfrac{16-x^2}{2\sqrt3}$ → $\dfrac{128}{3\sqrt3}$.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§6.2 #79 카발리에리): "기본" — 반구 = 원기둥 − 원뿔. 높이 $y$ 의 단면이 둘 다 $\pi(r^2-y^2)$ 이므로 부피가 같다: $\pi r^3-\tfrac13\pi r^3=\tfrac23\pi r^3$.
📝 2025 Q19 (volume-disk) — $y=x^{1/2}$, $y=x^{2/3}$ 사이를 $x$ 축 둘레로. $0\lt x\lt1$ 에서 지수가 작을수록 크다 → 바깥 $x^{1/2}$. $\pi\displaystyle\int_0^1(x-x^{4/3})\,dx=\frac{\pi}{14}$.
빈출 함정 — ① 바깥·안쪽 반지름을 각각 제곱. ② 회전축이 $y=2$ 나 $x=-1$ 이면 반지름 = 축까지의 거리($2-y$, $1+x$). ③ 회전축에 수직인 단면 → 원판·와셔. $y$ 축(또는 수직선) 둘레면 $dy$. ④ $0\lt x\lt1$ 에서 $x^{1/2}\gt x^{2/3}$ (1 보다 큰 쪽과 반대).
이 개념으로 풀 마킹 문제
원통껍질 (cylindrical shell)
$V=2\pi rh\,\Delta r$ = [둘레(circumference)] × [높이(height)] × [두께(thickness)].
공식 2: $y=f(x)$ 아래 영역($0\le a\lt b$)을 $y$ 축 둘레로 회전하면 $$V=\int_a^b 2\pi x\,f(x)\,dx\qquad(\text{반지름 } x,\ \text{높이 } f(x),\ \text{두께 } dx).$$
| 직사각형 띠의 방향 | 방법 |
|---|---|
| 회전축에 수직 | 원판 / 와셔 (§6.2) |
| 회전축에 평행 | 원통껍질 |
| 경계가 $y=f(x)$ 로 쓰기 쉬움 | $dx$ |
| 경계가 $x=g(y)$ 로 쓰기 쉬움 | $dy$ |
예제 — $y=x^2$ 와 $y=2x$ 사이를 $x=-1$ 둘레로 (Example 5)
(a) 껍질: 반지름 $x+1$, 높이 $2x-x^2$ → $\displaystyle\int_0^2 2\pi(x+1)(2x-x^2)\,dx=\frac{16\pi}{3}$.
(b) 와셔: $\displaystyle\int_0^4\pi\left[(\sqrt y+1)^2-\left(\tfrac12y+1\right)^2\right]dy=\frac{16\pi}{3}$. 두 방법이 같은 값.
📝 2025 Q20 (volume-shell) — $y=x^2(3-x)$, $y=0$ 을 $y$ 축 둘레로. $x$ 에 대해 풀기 어려우니(풀 필요 없이) 껍질: $2\pi\displaystyle\int_0^3x\cdot x^2(3-x)\,dx=\frac{243\pi}{10}$.
📝 2025 출제 패턴 ⑤ "회전체는 방법 선택이 곧 정답" — Q19 와셔, Q20 껍질, Q21 가로 원판(일)이 한 문제씩.
껍질법으로 공식 유도 (수업 필기 #61~#63) — 구: $2\displaystyle\int_0^r2\pi x\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac43\pi r^3$ · 원뿔: $\displaystyle\int_0^r2\pi x\left(h-\frac hrx\right)dx=\frac13\pi r^2h$ · 토러스: 평행이동 후 기함수 부분은 0, 나머지는 반원 넓이 → $2\pi^2r^2R$.
빈출 함정 — ① 반지름은 회전축까지의 거리: 축이 $x=-1$ 이면 $x+1$, 축이 $x=2$ 이면 $2-x$. ② $2\pi$ 를 빠뜨림. ③ 높이는 (위 − 아래). ④ 수평축($y=5$ 등) 둘레 껍질은 $dy$ 로: $\displaystyle\int2\pi(5-y)(\text{가로 길이})\,dy$.
이 개념으로 풀 마킹 문제
기본식
뉴턴 제2법칙 $F=ma=m\dfrac{d^2s}{dt^2}$. SI: 질량 kg, 거리 m, 힘 N $=$ kg·m/s², 일 J $=$ N·m.
일정한 힘: $W=Fd$. 변하는 힘 $f(x)$ (정의 4): $$W=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)\,\Delta x=\int_a^bf(x)\,dx.$$
필기: 힘이 constant 가 아닐 때는 $F$-$d$ 그래프 아래 넓이 = 일.
예제
Example 1: 1.2 kg 책을 0.7 m 올림 → $F=mg=(1.2)(9.8)=11.76$ N, $W\approx8.2$ J. 무게(weight)로 주어지면 $g$ 를 곱하지 않는다.
Example 2: $f(x)=x^2+2x$ N, $x=1\to3$ → $\displaystyle\int_1^3(x^2+2x)\,dx=\frac{50}{3}$ J.
$f(x)=kx$ ($x$ = 자연 길이에서 늘어난 길이)
Example 3: 40 N 으로 5 cm $=0.05$ m 늘어남 → $k=800$ N/m. 5 cm → 8 cm 로 늘리는 일 $=\displaystyle\int_{0.05}^{0.08}800x\,dx=1.56$ J. (적분 구간은 늘어난 길이이지 전체 길이가 아니다)
🔥 ✍️ 선생님 메모: "시험에서는 J 이라는 단위 사용 ✗, 곱으로 나타냄 — N·cm 이런 식으로" (예: $\tfrac12\cdot8\cdot64$ N·cm).
📝 2025 Q21 도 답의 단위가 "centimeter-gram" 이었다.
예제 — 90 kg, 21 m 케이블을 꼭대기로 감아올림 (Example 4)
선밀도 $\dfrac{90}{21}=\dfrac{30}{7}$ kg/m → 조각 무게 $\dfrac{30}{7}(9.8)\Delta x=42\Delta x$ N, 끌어올릴 거리 $x$ → $\displaystyle\int_0^{21}42x\,dx=21\cdot 441=9261$ J. (교재 인쇄값 18,900 J 는 오타 — $42\cdot\tfrac{21^2}{2}=9261$)
위쪽 6 m 만 감을 때: $\displaystyle\int_0^6 42x\,dx+42\cdot15\cdot6=756+3780=4536$ J (아래 15 m 는 통째로 6 m 올라감).
물 퍼 올리기 공식 틀
$$W=\int(\text{밀도}\times g)\times(\text{층의 넓이})\times(\text{들어 올릴 거리})\,dy$$
Example 5 (역원뿔 탱크): 층 반지름 $\tfrac25(10-x)$, 무게 $1568\pi(10-x)^2\Delta x$, 거리 $x$ → $\displaystyle\int_2^{10}1568\pi x(10-x)^2dx\approx3.4\times10^6$ J.
필기: "전체 무게 × 무게중심이 이동한 거리" 로도 확인 가능 (원뿔의 무게중심은 밑면에서 $\tfrac h4$).
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§6.4 #24 구형 탱크): "☆ 점수 주는 문제 · sphere 의 무게중심 = 구의 중심" — 반지름 3 m 구, 주둥이는 꼭대기보다 1 m 위. 무게중심 검산: $1000\cdot\tfrac43\pi\cdot27\cdot9.8\cdot(3+1)=1{,}411{,}200\pi$ J.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (Chapter 6 Review T/F #10): "F" · "가래떡 늘리면 질량 X, 무게중심 있나? ↳ T/F"
"케이블의 위쪽 절반을 감아올리는 일은 전체 일의 절반이다" → 거짓. 전체 $\dfrac{\rho gL^2}{2}$, 위쪽 절반을 감으면 $\dfrac{\rho gL^2}{8}+\dfrac{\rho gL^2}{4}=\dfrac34$ 배. 일은 길이가 아니라 $L^2$ 에 비례.
📝 2025 Q21 (work) — $y=x^2$, $y=4$ 를 $y$ 축 둘레로 회전한 탱크, 물 1 g/cm³ (weighs → $g$ 곱하지 않음), 꼭대기로 퍼냄. 층 부피 $\pi y\,dy$, 거리 $4-y$ → $\pi\displaystyle\int_0^4y(4-y)\,dy=\frac{32\pi}{3}$. 거리를 $y$ 로 쓰면 오답 $\dfrac{64\pi}{3}$.
빈출 함정 — ① 들어 올릴 거리는 꼭대기(또는 주둥이)까지: $4-y$, $x+1$ 등. ② 질량(kg)이면 $g=9.8$ 을 곱하고, 무게(weighs, N·lb·gram-weight)면 곱하지 않는다. ③ Hooke 법칙의 $x$ 는 늘어난 길이. ④ 단위를 cm 로 두면 N·cm.
이 개념으로 풀 마킹 문제
Average Value
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx.$$
분모 $b-a$ 에 밑줄 + 메모 "구간". 여백 메모: "area / width = average height".
선생님 메모 (가중평균) — 높이 40 인 구간 길이 1, 높이 80 인 구간 길이 3 이면 평균값 $=\dfrac{40\times1+80\times3}{1+3}=70$. 즉 $70\times4=40\times1+80\times3$ — 넓이가 같도록 한 높이가 평균이다.
The Mean Value Theorem for Integrals
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이면 $$f(c)=f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx,\quad\text{즉}\quad\int_a^bf(x)\,dx=f(c)(b-a)$$ 인 $c\in[a,b]$ 가 존재한다. (메모: 산을 평균 높이에서 잘라 골짜기를 메우면 flat — "평균 기울기와 순간 기울기가 같아짐", 미분의 MVT 와 같은 구조)
예제 — $f(x)=1+x^2$, $[-1,2]$ (Example 2)
$f_{\text{avg}}=\dfrac13\displaystyle\int_{-1}^{2}(1+x^2)\,dx=2$ → $1+c^2=2$ → $c=\pm1$ (둘 다 구간 안).
Example 3 (메모 "기본응용"): $v_{\text{avg}}=\dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt=\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$ = 평균속도.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§6.5 #24): "기본응용 · 자유낙하", "계산 / T/F"
자유낙하 $s=\tfrac12gt^2$, 시간 $T$ 후 속도 $v_T$ — $t$ 에 대한 평균 $=\tfrac12v_T$, $s$ 에 대한 평균 $=\tfrac23v_T$. 무엇에 대해 평균하느냐에 따라 값이 다르다.
🔥 ✍️ 선생님 메모 (§6.5 #25): "T/F" — $f$ 가 $[a,b]$ 에서 위로 오목(concave up)이면 $f_{\text{avg}}\gt f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$. 예: $f=x^2$, $[0,1]$: $f_{\text{avg}}=\tfrac13\gt f(\tfrac12)=\tfrac14$.
📝 2025 average 2문항 — Q8 $f(x)=\lvert x-1\rvert$, $[-2,4]$: 꼭짓점 $x=1$ 에서 잘라 두 삼각형 $\frac92+\frac92=9$, $\dfrac96=1.5$. Q22 선밀도 $12\sqrt{1+x}$ kg/m, 길이 8 m 의 평균밀도 $=\dfrac18\displaystyle\int_0^812\sqrt{1+x}\,dx=\frac{208}{8}=26$. (Q9 총질량과 짝 — 적분 후 길이로 한 번 더 나누느냐의 차이)
빈출 함정 — ① $\dfrac{1}{b-a}$ 를 빠뜨리면 평균이 아니라 적분값. ② $x$ 축 아래 부분은 빼진다(선생님 메모 #15: "음(−)"). ③ MVT for Integrals 의 $c$ 를 구하면 구간 안에 있는지 확인. ④ 평균밀도 = 총질량 ÷ 길이.
이 개념으로 풀 마킹 문제
| 피적분함수 | 부정적분 (+C) |
|---|---|
| $x^n\ (n\ne-1)$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac1x$ | $\ln\lvert x\rvert$ |
| $e^x$ · $b^x$ | $e^x$ · $\dfrac{b^x}{\ln b}$ |
| $\sin x$ · $\cos x$ | $-\cos x$ · $\sin x$ |
| $\sec^2x$ · $\sec x\tan x$ | $\tan x$ · $\sec x$ |
| $\tan x$ | $\ln\lvert\sec x\rvert=-\ln\lvert\cos x\rvert$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\sin^{-1}x$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\tan^{-1}x$ |
| $\sinh x$ · $\cosh x$ | $\cosh x$ · $\sinh x$ |
| $f(ax+b)\ (a\ne0)$ | $\dfrac1aF(ax+b)$ (예: $\int e^{2x}dx=\tfrac12e^{2x}$) |
| 주제 | 핵심 |
|---|---|
| 리만합 | $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{b-a}{n}f\!\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)=\int_a^bf(x)\,dx$ |
| 합 공식 | $\sum i=\frac{n(n+1)}2$, $\sum i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$, $\sum i^3=\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2$ |
| FTC1 | $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt=f(v)v'-f(u)u'$ |
| FTC2 | $\displaystyle\int_a^bf=F(b)-F(a)$ (구간 안 불연속 금지) |
| 순변화 | $\displaystyle\int_a^bF'(x)\,dx=F(b)-F(a)$ · 변위 $\int v$ · 이동거리 $\int\lvert v\rvert$ |
| 치환 | $\displaystyle\int_a^bf(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du$ |
| 대칭 | 우함수 $2\int_0^a$ · 기함수 $0$ |
| Newton 법 | $x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ · 제곱근 $x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac a{x_n}\right)$ |
| 양 | 공식 |
|---|---|
| 곡선 사이 넓이 | $\displaystyle\int_a^b\lvert f-g\rvert\,dx$ · $\displaystyle\int_c^d(x_R-x_L)\,dy$ |
| 단면 부피 | $\displaystyle\int_a^bA(x)\,dx$ |
| 원판 · 와셔 | $\displaystyle\int\pi R^2\,dx$ · $\displaystyle\int\pi\left(R_{out}^2-R_{in}^2\right)dx$ |
| 원통껍질 | $\displaystyle\int2\pi\,(\text{반지름})(\text{높이})\,dx$ |
| 일 | $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ · Hooke $f=kx$ · 퍼 올리기 $\int\rho g\,A(y)\,(\text{거리})\,dy$ |
| 평균값 | $f_{\text{avg}}=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf\,dx$ · 적분 MVT $\int_a^bf=f(c)(b-a)$ |
| 질량 · 평균밀도 | $m=\displaystyle\int_0^L\rho(x)\,dx$ · $\rho_{\text{avg}}=\dfrac mL$ |
📝 2025 출제 패턴 ② — "계산을 틀려서가 아니라 절차를 한 칸 건너뛰면 반드시 선택지에 그 답이 있다." 아래 표 가운데 2025 Q2·Q4·Q6·Q7·Q12·Q17·Q21 행의 틀린 값은 실제 오답 선택지였다. Q8·Q10·Q18·Q19 행의 틀린 값은 선택지에는 없었지만 같은 절차를 건너뛸 때 나오는 값이다. 근거가 선생님 메모·수업 필기인 행은 2025 문항이 아니다.
| # | 함정 | 틀린 값 → 옳은 값 | 근거 |
|---|---|---|---|
| 1 | $\int b^x$ 에서 $\ln b$ 를 곱함 | $(\ln2)2^x$ → $\dfrac{2^x}{\ln2}$ | 2025 Q2 |
| 2 | $\int\sinh$ 에 삼각함수처럼 $-$ | $-\cosh x$ → $\cosh x$ | 2025 Q4 |
| 3 | 안쪽 미분으로 나누기 누락 | $e^4-1$ → $\dfrac{e^4-1}{2}$ | 2025 Q6 |
| 4 | 리만합의 폭 계수 누락 | $\int_1^3x^2$ → $\dfrac12\int_1^3x^2$ | 2025 Q7 |
| 5 | FTC1 연쇄법칙 누락 | $\dfrac{x^2}{1+x^4}$ → $\dfrac{2x^3}{1+x^4}$ | 2025 Q12 · 🔥 "☆☆☆ 반드시 출제 · chain rule" |
| 6 | $\int_1^{2x}$ 에서 속미분 2 누락 | $f(2x)$ → $2f(2x)$ | 🔥 Example 4 메모 |
| 7 | 변수가 아래끝인데 부호 그대로 | $+f(u)u'$ → $-f(u)u'$ | 🔥 §5.3 #68·#69 "반드시 출제" |
| 8 | $f(\sqrt x)$ 에서 $f(4)$ 를 $x=4$ 로 | $x=4$ → $x=16$ ($136e^{16}$) | 2025 Q17 |
| 9 | distance 를 $\int v$ 로 | $-\dfrac94$ → $\dfrac{91}{12}$ | 2025 Q10 · 선생님 메모 "절댓값" |
| 10 | 절댓값 적분을 한 번에 | $0$ → $\dfrac12$ | 2025 Q18 · 선생님 메모 "양수, 음수 구간 나눠서" |
| 11 | 불연속점을 지나는 FTC2 | $\int_{-1}^3\frac1{x^2}=-\frac43$ → 발산(적용 불가) | 🔥 Example 9 메모 "T/F 출제" |
| 12 | $x\ne0$ 전체에 상수 하나 | $-\frac1x+C$ → 구간마다 $C_1, C_2$ | 🔥 "T/F로 나올 수 있음." |
| 13 | 와셔에서 제곱 누락 / 안팎 뒤바꿈 | $\pi(R-r)$, $-\frac{\pi}{14}$ → $\pi(R^2-r^2)$, $\frac{\pi}{14}$ | 선생님 메모 "제곱 잊지 말기" · 2025 Q19 |
| 14 | 회전축에 따라 적분변수 선택 실수 | $y$ 축 둘레인데 $dx$ 원판 | 선생님 메모 "꼭 주의☆", "축에 따라 방법 달라짐. 주의!" |
| 15 | 퍼 올리는 거리를 $y$ 로 | $\dfrac{64\pi}{3}$ → $\dfrac{32\pi}{3}$ (거리 $4-y$) | 2025 Q21 |
| 16 | 무게(weighs)인데 $g$ 를 곱함 / J 로 씀 | N·cm, centimeter-gram 처럼 곱으로 | 🔥 "시험에서는 J 이라는 단위 사용 ✗" |
| 17 | 케이블 위쪽 절반 = 전체 일의 절반 | $\frac12$ → $\frac34$ (거짓) | 🔥 R6 T/F #10 "F" |
| 18 | 평균값에서 $\frac1{b-a}$ 누락 | $9$ → $1.5$ | 2025 Q8 |
| 19 | $t$ 평균과 $s$ 평균 혼동 | $\tfrac12v_T$ vs $\tfrac23v_T$ | 🔥 §6.5 #24 "계산 / T/F" |
| 20 | Newton 법은 항상 수렴 | 거짓 ($f'=0$, $\sqrt[3]x$) | 🔥 §4.8 #31·#33 "T/F 후보" |
| 21 | 적분변수가 무엇인지 안 봄 | $\int_{-5}^5e\,dx=10e$ vs $\int_{-5}^5e\,de=0$ | 수업 필기 §5.3 #34 |
| 22 | 적분 안의 $x$ 를 그대로 두고 FTC1 | $x^2\sin(x^2)$ → $2x\int_0^x\sin t^2\,dt+x^2\sin x^2$ | 수업 필기 R5 PP6 |