2024 HAFS 미적분학 I — 1학기 중간고사 완전 분석Updated 2026-04-20
시행일: 2024.04.19 | 2학년 1A, 1B반 (국제과정) | 22문항 선택형 100점
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시험 형식 요약
항목 내용 과목명 미적분학 I (Calculus I) 시행일 2024.04.19 (1교시) 문항 수 선택형 22문항 (논술형 0) 총점 100점 배점 4.2 ~ 5.1 점진 증가 출제 언어 전체 영어 출제교사 엄명회
유형별 분포
유형 문항 수 비율 Limits 8 36.4% 참/거짓 (True/False) 5 22.7% ε-δ 3 13.6% Derivatives 3 13.6% 순간속도 (Instantaneous velocity) 1 4.5% 미분공식 유도 1 4.5% Tangent line 1 4.5%
정답표
번호 배점 유형 정답 1 4.2 Limits ⑤ 6 2 4.2 Limits ① 1/4 3 4.2 Limits ④ −1/9 4 4.3 Limits ① −∞ 5 4.3 Limits ④ −1 6 4.3 Limits ③ 3/4 7 4.4 Limits ② −3 8 4.4 Limits ② π/2 9 4.4 참/거짓 ⑤ Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ 10 4.5 참/거짓 ② Ⓐ and Ⓑ only 11 4.5 참/거짓 ① Ⓐ only 12 4.5 참/거짓 ⑤ Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ 13 4.6 참/거짓 ④ Ⓐ and Ⓒ only 14 4.6 ε-δ ④ √(ε/2) 15 4.6 ε-δ ⑤ 2²−(2−ε)² 16 4.7 ε-δ ① ε/3 17 4.7 순간속도 ③ 98 18 4.8 Derivatives ④ −1/(2x√x) 19 4.8 Derivatives ③ (ln 2)·2ˣ 20 4.9 Derivatives ① eˣ(1−x)²/(1+x²)² 21 5.0 미분공식 유도 ② −mx^(m−1)/(xᵐ)² 22 5.1 Tangent line ③ 1
22문항 전체 분석
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(3+x)^2 - 3^2}{x}\).
① \(0\)
② \(2\)
③ \(3\)
④ \(4\)
⑤ \(6\)
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이 식은 \(f(x)=x^2\)의 \(x=3\)에서의 도함수 정의이다.
전개: \((3+x)^2 - 9 = 6x + x^2\). \(x\)로 나누면 \(6+x\). \(x\to 0\) → \(6\).
정답: ⑤ 6
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} - 2}{x}\).
① \(\dfrac{1}{4}\)
② \(\dfrac{1}{2}\)
③ \(1\)
④ \(2\)
⑤ \(4\)
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유리화: \(\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{4+x}+2}{\sqrt{4+x}+2} = \dfrac{x}{x(\sqrt{4+x}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{4+x}+2}\).
\(x\to 0\): \(\dfrac{1}{\sqrt{4}+2} = \dfrac{1}{4}\).
정답: ① \(\dfrac{1}{4}\)
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{3+x} - \dfrac{1}{3}}{x}\).
① \(-\dfrac{2}{3}\)
② \(-\dfrac{1}{6}\)
③ \(-\dfrac{2}{9}\)
④ \(-\dfrac{1}{9}\)
⑤ \(-\dfrac{1}{18}\)
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분자 통분: \(\dfrac{1}{3+x} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 - (3+x)}{3(3+x)} = \dfrac{-x}{3(3+x)}\).
\(x\)로 나누면 \(\dfrac{-1}{3(3+x)}\). \(x\to 0\): \(-\dfrac{1}{9}\).
(혹은 \(f(x)=1/x\)의 \(x=3\)에서의 도함수: \(f'(3) = -1/3^2 = -1/9\).)
정답: ④ \(-\dfrac{1}{9}\)
Find \(\displaystyle\lim_{x \to -1^{-}} \dfrac{1}{x+1}\).
① \(-\infty\)
② \(-\dfrac{1}{2}\)
③ \(0\)
④ \(\dfrac{1}{2}\)
⑤ \(\infty\)
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\(x\to -1^-\) 이면 \(x+1 \to 0^-\) (음수 쪽에서 0으로 접근).
따라서 \(\dfrac{1}{x+1} \to -\infty\).
정답: ① \(-\infty\)
Find \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2 - x^2}{1 + x^2}\).
① \(2\)
② \(1\)
③ \(0\)
④ \(-1\)
⑤ \(-2\)
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분자·분모 최고차항 \(x^2\)로 나누기: \(\dfrac{2/x^2 - 1}{1/x^2 + 1}\).
\(x\to\infty\): \(\dfrac{0-1}{0+1} = -1\).
정답: ④ \(-1\)
Find \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{4x^2 + 3x + 5} - 2x \right)\).
① \(\dfrac{1}{4}\)
② \(\dfrac{1}{2}\)
③ \(\dfrac{3}{4}\)
④ \(\dfrac{5}{4}\)
⑤ \(\dfrac{3}{2}\)
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켤레식 곱하기: \(\dfrac{(4x^2+3x+5) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+3x+5}+2x} = \dfrac{3x+5}{\sqrt{4x^2+3x+5}+2x}\).
\(x\)로 나누기: \(\dfrac{3+5/x}{\sqrt{4+3/x+5/x^2}+2} \to \dfrac{3}{2+2} = \dfrac{3}{4}\).
정답: ③ \(\dfrac{3}{4}\)
Find \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2e^x - 3e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\).
① \(-\dfrac{3}{2}\)
② \(-3\)
③ \(1\)
④ \(2\)
⑤ \(3\)
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\(x\to -\infty\)이므로 지배항 \(e^{-x}\)로 분자·분모를 나눈다:
\(\dfrac{2e^{2x} - 3}{e^{2x} + 1}\).
\(x\to -\infty\) → \(e^{2x}\to 0\): \(\dfrac{0-3}{0+1} = -3\).
정답: ② \(-3\)
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} \arctan\!\left( \ln\!\left( \dfrac{1}{x} \right) \right)\).
① \(\infty\)
② \(\dfrac{\pi}{2}\)
③ \(0\)
④ \(-\dfrac{\pi}{2}\)
⑤ \(-\infty\)
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\(x\to 0^+\) 이면 \(\dfrac{1}{x}\to +\infty\), 따라서 \(\ln(1/x)\to +\infty\).
\(\arctan(+\infty) = \dfrac{\pi}{2}\).
정답: ② \(\dfrac{\pi}{2}\)
Choose every true statement in the box below when \(f(x) = |x|\) where \(|x|\) denotes the absolute value function.
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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Ⓐ \(f(0) = |0| = 0\) →
TRUE .
Ⓑ \(\lim_{x\to 0^+} |x| = 0\) → 존재 →
TRUE .
Ⓒ 좌극한 \(\lim_{x\to 0^-} |x| = 0\), 우극한 \(=0\), 따라서 양측극한 \(=0\) 존재 →
TRUE .
→ Ⓐ T, Ⓑ T, Ⓒ T → 정답 ⑤
정답: ⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
Choose every true statement in the box below when \(f(x) = \dfrac{|x|}{x}\) (\(x \ne 0\)).
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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\(f(x) = \mathrm{sgn}(x)\) (부호함수), \(x>0\)에서 1, \(x<0\)에서 \(-1\).
Ⓐ \(f(1) = 1/1 = 1\) →
TRUE .
Ⓑ \(\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1\) → 존재 →
TRUE .
Ⓒ 우극한 \(=1\), 좌극한 \(=-1\) → 양측극한
존재하지 않음 →
FALSE .
→ Ⓐ T, Ⓑ T, Ⓒ F → 정답 ②
정답: ② Ⓐ and Ⓑ only
Choose every true statement in the box below when \(f(x) = [x]\) where \([x]\) denotes the greatest integer function.
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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풀이
Ⓐ \([0] = 0\) →
TRUE .
Ⓑ \(x\to 0^-\) 이면 \(x\in(-1,0)\)에서 \([x] = -1\). 따라서 \(\lim_{x\to 0^-}[x] = -1 \ne 0\) →
FALSE .
Ⓒ 우극한 \(\lim_{x\to 0^+}[x] = 0\), 좌극한 \(=-1\), 일치하지 않아 양측극한 존재하지 않음 →
FALSE .
→ Ⓐ T, Ⓑ F, Ⓒ F → 정답 ①
정답: ① Ⓐ only
Choose every true statement in the box below when
\(f(x) = \begin{cases} x \sin\!\left( \dfrac{1}{x} \right) & (x \ne 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}\).
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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풀이
Ⓐ \(f(1) = 1 \cdot \sin(1/1) = \sin(1)\) →
TRUE .
Ⓑ Squeeze: \(-|x| \le x\sin(1/x) \le |x|\). \(x\to 0^-\) 이면 양변 모두 \(\to 0\). 따라서 좌극한 \(=0\) →
TRUE .
Ⓒ 양측극한 \(=0\)이고 \(f(0)=0\)이므로 \(x=0\)에서 연속 →
TRUE .
→ Ⓐ T, Ⓑ T, Ⓒ T → 정답 ⑤
정답: ⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
Let \(f(x) = [x] + [-x]\) where \([x]\) denotes the greatest integer function. Choose every true statement.
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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Ⓐ \(f(0) = [0] + [-0] = 0 + 0 = 0\) →
TRUE .
Ⓑ \(x\) 가 \(1/2\) 근방 \((0,1)\)에 있으면 \([x] = 0\), \(-x\in(-1,0)\) 이므로 \([-x] = -1\). 따라서 \(f(x) = -1\).
\(\lim_{x\to 1/2} f(x) = -1 \ne 0\) →
FALSE .
Ⓒ 좌측 \(x\in(0,1)\): \(f = 0 + (-1) = -1\). 우측 \(x\in(1,2)\): \([x]=1\), \(-x\in(-2,-1)\), \([-x]=-2\), \(f = 1+(-2) = -1\). 따라서 양측극한 \(=-1\) →
TRUE .
→ Ⓐ T, Ⓑ F, Ⓒ T → 정답 ④
정답: ④ Ⓐ and Ⓒ only
Let \(f(x) = 2x^2\). Express the largest possible choice of \(\delta\) as a function of \(\epsilon\) (\(\epsilon > 0\)), such that if \(|x| < \delta\) then \(|f(x)| < \epsilon\).
① \(2\sqrt{\epsilon}\)
② \(\sqrt{2\epsilon}\)
③ \(\sqrt{\epsilon}\)
④ \(\sqrt{\dfrac{\epsilon}{2}}\)
⑤ \(\dfrac{\sqrt{\epsilon}}{2}\)
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\(|f(x)| = 2x^2 < \epsilon \Leftrightarrow x^2 < \dfrac{\epsilon}{2} \Leftrightarrow |x| < \sqrt{\dfrac{\epsilon}{2}}\).
따라서 최댓값 \(\delta = \sqrt{\dfrac{\epsilon}{2}}\).
(검증: \(|x| < \sqrt{\epsilon/2}\) 이면 \(2x^2 < 2 \cdot \epsilon/2 = \epsilon\) ✓)
정답: ④ \(\sqrt{\dfrac{\epsilon}{2}}\)
Let \(f(x) = \sqrt{x}\). Express the largest possible choice of \(\delta\) as a function of \(\epsilon\) (\(0 < \epsilon < 2\)), such that if \(|x - 4| < \delta\) then \(|f(x) - 2| < \epsilon\).
① \(\epsilon^2\)
② \((4 + \epsilon)^2 - 4^2\)
③ \(4^2 - (4 - \epsilon)^2\)
④ \((2 + \epsilon)^2 - 2^2\)
⑤ \(2^2 - (2 - \epsilon)^2\)
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\(|\sqrt{x} - 2| < \epsilon \Leftrightarrow 2 - \epsilon < \sqrt{x} < 2 + \epsilon\).
\(0 < \epsilon < 2\) 이므로 \(2 - \epsilon > 0\). 양변 제곱: \((2-\epsilon)^2 < x < (2+\epsilon)^2\).
\(x - 4\) 의 범위: \((2-\epsilon)^2 - 4 < x-4 < (2+\epsilon)^2 - 4\).
왼쪽 폭: \(4 - (2-\epsilon)^2 = 4\epsilon - \epsilon^2\).
오른쪽 폭: \((2+\epsilon)^2 - 4 = 4\epsilon + \epsilon^2\).
\(0 < \epsilon < 2\) 에서 \(4\epsilon - \epsilon^2 < 4\epsilon + \epsilon^2\) 이므로 \(\delta = \min = 2^2 - (2-\epsilon)^2\).
정답: ⑤ \(2^2 - (2-\epsilon)^2\)
Let
\(f(x) = \begin{cases} 2x & (x \text{ is rational}) \\ 3x & (x \text{ is irrational}) \end{cases}\).
Express the largest possible choice of \(\delta\) as a function of \(\epsilon\) (\(\epsilon > 0\)), such that if \(|x| < \delta\) then \(|f(x)| < \epsilon\).
① \(\dfrac{\epsilon}{3}\)
② \(\dfrac{\epsilon}{2}\)
③ \(\epsilon\)
④ \(2\epsilon\)
⑤ \(3\epsilon\)
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\(|f(x)|\) 의 최댓값은 \(3|x|\) (무리수일 때).
모든 \(x\) (유리·무리 무관)에 대해 \(|f(x)| < \epsilon\) 이 되려면 \(3|x| < \epsilon\) 즉 \(|x| < \dfrac{\epsilon}{3}\).
따라서 \(\delta = \dfrac{\epsilon}{3}\) (유리수 \(x\)의 경우 \(2|x| < 2\epsilon/3 < \epsilon\) 로 자동 만족).
정답: ① \(\dfrac{\epsilon}{3}\)
Suppose that a ball is dropped from the height of \(490\,m\) above the ground. Find the instantaneous velocity (\(m/s\)) of the ball when it hits the ground. Assume the acceleration due to gravity is \(9.8\,m/s^2\).
① \(9.8\)
② \(49\)
③ \(98\)
④ \(490\)
⑤ \(980\)
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낙하거리 \(s(t) = \dfrac{1}{2} g t^2 = 4.9 t^2\).
착지: \(490 = 4.9 t^2 \Rightarrow t^2 = 100 \Rightarrow t = 10\) s.
순간속도: \(v(t) = s'(t) = g t = 9.8 \cdot 10 = 98\) m/s.
정답: ③ 98
Find \(\dfrac{dy}{dx}\) when \(y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\).
① \(-\dfrac{1}{x \sqrt{x}}\)
② \(\dfrac{1}{x \sqrt{x}}\)
③ \(\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}\)
④ \(-\dfrac{1}{2x \sqrt{x}}\)
⑤ \(\dfrac{1}{2x \sqrt{x}}\)
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풀이
\(y = x^{-1/2}\), \(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{2} x^{-3/2} = -\dfrac{1}{2 x^{3/2}} = -\dfrac{1}{2 x \sqrt{x}}\).
정답: ④ \(-\dfrac{1}{2x \sqrt{x}}\)
Find \(\dfrac{dy}{dx}\) when \(y = 2^x\).
① \(2^x\)
② \(e^x\)
③ \((\ln 2) 2^x\)
④ \((\ln e) 2^x\)
⑤ \((\ln 2) e^x\)
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\(a^x\) 의 미분 공식: \(\dfrac{d}{dx}(a^x) = (\ln a) a^x\).
따라서 \(\dfrac{d}{dx}(2^x) = (\ln 2) \cdot 2^x\).
(유도: \(2^x = e^{x \ln 2}\), 체인룰 → \((\ln 2) e^{x\ln 2} = (\ln 2) 2^x\).)
정답: ③ \((\ln 2) 2^x\)
Find \(\dfrac{dy}{dx}\) when \(f(x) = \dfrac{e^x}{1 + x^2}\).
① \(\dfrac{e^x (1 - x)^2}{(1 + x^2)^2}\)
② \(\dfrac{e^x (1 + x)^2}{(1 + x^2)^2}\)
③ \(\dfrac{e^x (1 - x^2)}{(1 + x^2)^2}\)
④ \(\dfrac{e^x (1 - x)^2}{1 + x^2}\)
⑤ \(\dfrac{e^x (1 + x)^2}{1 + x^2}\)
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풀이
몫의 미분법: \(f'(x) = \dfrac{e^x(1+x^2) - e^x(2x)}{(1+x^2)^2} = \dfrac{e^x(1 - 2x + x^2)}{(1+x^2)^2} = \dfrac{e^x(1-x)^2}{(1+x^2)^2}\).
정답: ① \(\dfrac{e^x (1 - x)^2}{(1 + x^2)^2}\)
The box below is the process of verifying \(\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}\) is valid when \(n\) is negative integer, using the Quotient Rule. Choose the correct expression for Ⓐ.
Let \(m = -n\) where \(m\) is a positive integer, then
① \(-\dfrac{m x^{-m-1}}{(x^m)^2}\)
② \(-\dfrac{m x^{m-1}}{(x^m)^2}\)
③ \(-\dfrac{m x^{-m-1}}{x^m}\)
④ \(-\dfrac{m x^{m-1}}{x^m}\)
⑤ \(-\dfrac{m x^{-m-1}}{x^{-m}}\)
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풀이
몫의 미분법 \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\) 에서 \(u = 1\), \(v = x^m\) 로 두면 \(u' = 0\), \(v' = m x^{m-1}\) (\(m\) 은 양의 정수이므로 거듭제곱 규칙 적용 가능).
따라서 Ⓐ \(= \dfrac{0 \cdot x^m - 1 \cdot m x^{m-1}}{(x^m)^2} = -\dfrac{m x^{m-1}}{(x^m)^2}\).
검증: \(-\dfrac{m x^{m-1}}{x^{2m}} = -m x^{m-1-2m} = -m x^{-m-1}\). \(m = -n\) 대입: \(-(-n) x^{-(-n)-1} = n x^{n-1}\) ✓
정답: ② \(-\dfrac{m x^{m-1}}{(x^m)^2}\)
Find the value of a constant \(a\) (\(a > 0\)) such that the line \(y = 8x - 16\) is tangent to the curve \(y = a x^2\).
① \(\dfrac{1}{4}\)
② \(\dfrac{1}{2}\)
③ \(1\)
④ \(2\)
⑤ \(4\)
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접선 조건 두 가지를 세운다. 접점 \(x = t\) 에서:
① 접선 기울기 일치: \((ax^2)' = 2ax\) 이므로 \(2at = 8 \Rightarrow t = \dfrac{4}{a}\).
② \(y\) 값 일치: \(a t^2 = 8t - 16\).
\(t = 4/a\) 대입: \(a \cdot \dfrac{16}{a^2} = 8 \cdot \dfrac{4}{a} - 16\) → \(\dfrac{16}{a} = \dfrac{32}{a} - 16\) → \(16 = \dfrac{16}{a}\) → \(a = 1\).
(검증: \(a=1\) → 접점 \(t=4\), \(y = 4^2 = 16\); 직선: \(8(4)-16 = 16\) ✓ 기울기 \(2t = 8\) ✓)
정답: ③ 1
출제 패턴 핵심 요약
난이도 설계: Q1~6 워밍업 → Q7~13 참/거짓·극한 중심 → Q14~17 ε-δ + 응용 → Q18~22 미분/응용 최상Limits가 36.4% (8문항): 도함수 정의형(Q1~3), 단측·무한대 극한(Q4~7), 합성함수 역삼각(Q8)참/거짓 5문항 (22.7%): 절댓값·부호함수·최대정수함수·xsin(1/x)·[x]+[−x] — 양측극한 존재성·연속성을 명제별로 판별ε-δ 3문항 (13.6%, 2025의 3배): Q14(이차함수), Q15(√x at x=4), Q16(유리/무리 구분 함수) — 대학수학 수준의 정밀 논법최대정수함수 집중 출제: Q11, Q13 — [x] 와 [−x] 의 구간별 값을 정확히 계산해야 함순간속도 (Q17): 자유낙하 운동학 응용 — s(t)=½gt² → v = s'(t) = gt증명 과정 빈칸 (Q21): 몫의 미분법으로 \(x^n\) (음의 정수 지수) 미분 공식 유도Tangent line 1문항 (Q22, 최고 배점): 접선 조건(기울기·점 일치) 두 식을 연립해 상수 결정2025 대비 차이: 2024는 참/거짓·ε-δ 비중이 크고 역삼각 4문항·직교 궤적은 없음. Limits·True/False 기초 탄탄한지가 핵심.