2026 HAFS 미적분학 I — 1학기 중간고사 예상문제 풀이 v2

항목	내용
과목명	미적분학 I (Calculus I)
시행 예상	2026년 4월 중순~하순 (2024·2025 선례)
문항 수	선택형 22문항
총점	100.0점
배점 범위	4.2점 ~ 5.1점 (점진 증가)
출제 언어	전체 영어
범위	Stewart Metric 9판 §1.5 ~ §3.5

유형	문항 수	비율
Limits (도함수 정의·무한대·합성)	6	27.3%
Derivatives 기본	3	13.6%
참/거짓 복합	2	9.1%
Tangent line	2	9.1%
Implicit differentiation	2	9.1%
Chain rule (지수·삼각 합성)	2	9.1%
Inverse trig 도함수	1	4.5%
ε-δ 정밀 정의	1	4.5%
순간속도 (운동학)	1	4.5%
증명 빈칸 Ⓐ	1	4.5%
Orthogonal trajectories	1	4.5%

번호	배점	유형	정답
1	4.2	Limits	④ 48
2	4.2	Limits	② 1/6
3	4.2	Limits	① −1/27
4	4.3	Limits	⑤ 0
5	4.3	Limits	② 2
6	4.3	Limits	⑤ −π/2
7	4.4	Derivatives	① −9/(2x²√x)
8	4.4	Derivatives	③ 6ln3+3(ln3)²
9	4.4	Derivatives	① (2x+2xe^x−x²e^x)/(1+e^x)²
10	4.5	참/거짓	⑤ ⒶⒷⒸ
11	4.5	참/거짓	④ Ⓐ and Ⓒ
12	4.5	Tangent line	⑤ 2−2ln2
13	4.6	Tangent line	④ 4√2
14	4.6	Implicit	③ −1
15	4.6	Implicit	④ −4
16	4.7	Chain rule	① 0
17	4.7	Chain rule	② (17/13)e^arctan(5/12)
18	4.8	Inverse trig	③ 1/4
19	4.8	ε-δ	⑤ ε/3
20	4.9	운동학	③ 49 m/s
21	5.0	증명 빈칸	① p·x^(p−1) / (q·y^(q−1))
22	5.1	Orthogonal	② 2x²+y²=K

#	유형	2024 근거	2025 근거	교과서 §
1	Limits (도함수 정의·다항)	Q1 (3+x)²−9	Q1 (2+x)³−8	§2.7
2	Limits (도함수 정의·유리화)	Q2 √(4+x)−2	Q3 1/√(4+x)	§2.3 #31
3	Limits (도함수 정의·분수)	Q3 1/(3+x)	Q2 1/(2+x)²	§2.3
4	Limits (단측·지수)	Q4 1/(x+1)	Q6 e^(−1/x)	§2.6 #38
5	Limits (무한대 유리화)	Q6 √(4x²+3x+5)−2x	Q4 √(4x²+9x)−2x	§2.6 #29·32
6	Limits (합성·역삼각)	Q8 arctan(ln 1/x)	—	§2.6 #40
7	Derivatives (음지수)	Q18 1/√x	Q7 2/√x	§3.1
8	Derivatives (곱·대입)	—	Q8·Q9 ln2 대입	§3.2
9	Derivatives (몫)	Q20 e^x/(1+x²)	—	§3.2 #27
10	참/거짓 (연속·미분가능)	Q9~13 (5개)	Q11	§2.5, §2.7 #58
11	참/거짓 (무한대 유리화)	—	Q12	§2.6
12	Tangent line (y절편)	—	Q13, Q14	§3.1 #88
13	Tangent line (외접 상수)	Q22 y=8x−16 접선	—	§3.1 #67·81·83
14	Implicit (2차)	—	Q10 x²+2xy+2y²	§3.5 #5
15	Implicit (무리지수)	—	Q15 x^(2/3)+y^(2/3)	§3.5 #50
16	Chain rule (지수·삼각 합성)	—	Q17, Q18	§3.4 #25, #47
17	Chain rule + arctan 대입	—	Q19 arctan(3/4)	§3.3
18	Inverse trig 도함수	—	Q16 arcsin'	§1.5 #77
19	ε-δ (선형)	Q14~16	Q5	§2.4 #3, #19
20	순간속도 (자유낙하)	Q17 490m	—	§2.7 #12·13
21	증명 빈칸 Ⓐ	Q21 x^n 음지수	Q21 arctan(2x)	§3.5 #52
22	Orthogonal trajectories	—	Q22 x²/4+y²=C	§3.5 #53~58

Q1. Limits 4.2점

출제 근거: 2024 Q1 · 2025 Q1 구조 변형 (a=4, n=3) / 교과서 §2.7

Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(4+x)^3 - 64}{x}\).

① 12
② 16
③ 24
④ 48
⑤ 64

풀이

도함수 정의: \(f(x)=x^3\)의 \(x=4\)에서의 미분계수.
\(f'(x) = 3x^2\), \(f'(4) = 3 \cdot 16 = 48\).

정답: ④ 48

Q2. Limits 4.2점

출제 근거: 2024 Q2 √(4+x)−2 변형 (a=9) / 교과서 §2.3 #31

Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{9+x} - 3}{x}\).

① \(\dfrac{1}{3}\)
② \(\dfrac{1}{6}\)
③ \(\dfrac{1}{9}\)
④ \(\dfrac{1}{12}\)
⑤ \(\dfrac{1}{18}\)

풀이

\(f(x)=\sqrt{x}\)의 \(x=9\)에서의 미분계수.
\(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), \(f'(9) = \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{6}\).

정답: ② \(\dfrac{1}{6}\)

Q3. Limits 4.2점

출제 근거: 2024 Q3 1/(3+x) / 2025 Q2 1/(2+x)² 구조 변형 (n=3, a=3)

Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{(3+x)^3} - \dfrac{1}{27}}{x}\).

① \(-\dfrac{1}{27}\)
② \(-\dfrac{1}{81}\)
③ \(-\dfrac{1}{9}\)
④ \(\dfrac{1}{27}\)
⑤ \(\dfrac{1}{81}\)

풀이

\(f(x) = x^{-3}\)의 \(x=3\)에서의 미분계수.
\(f'(x) = -3 x^{-4}\), \(f'(3) = -\dfrac{3}{81} = -\dfrac{1}{27}\).

정답: ① \(-\dfrac{1}{27}\)

Q4. Limits 4.3점

출제 근거: 2025 Q6 e^(−1/x) at 0⁺ 부호 뒤집기 (0⁻) / 교과서 §2.6 #38

Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} e^{1/x}\).

① \(-\infty\)
② \(\dfrac{1}{e}\)
③ 1
④ \(e\)
⑤ 0

풀이

\(x \to 0^-\) 이면 \(\dfrac{1}{x} \to -\infty\).
따라서 \(e^{1/x} \to e^{-\infty} = 0\).

정답: ⑤ 0

Q5. Limits 4.3점

출제 근거: 2024 Q6 / 2025 Q4 구조 변형 (계수 9,12,1) / 교과서 §2.6 #29·32

Find \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\!\left(\sqrt{9x^2 + 12x + 1} - 3x\right)\).

① 1
② 2
③ \(\dfrac{3}{2}\)
④ 3
⑤ 4

풀이

유리화: \(\dfrac{(9x^2 + 12x + 1) - 9x^2}{\sqrt{9x^2 + 12x + 1} + 3x} = \dfrac{12x + 1}{\sqrt{9x^2 + 12x + 1} + 3x}\).
분자·분모를 \(x\)로 나누면 \(\dfrac{12 + 1/x}{\sqrt{9 + 12/x + 1/x^2} + 3} \to \dfrac{12}{3+3} = 2\).

정답: ② 2

Q6. Limits 4.3점

출제 근거: 2024 Q8 arctan(ln 1/x) 변형 (지수 합성) / 교과서 §2.6 #40

Find \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \arctan\!\left(e^x - \dfrac{1}{e^x}\right)\).

① \(-\infty\)
② \(-\dfrac{\pi}{4}\)
③ 0
④ \(\dfrac{\pi}{4}\)
⑤ \(-\dfrac{\pi}{2}\)

풀이

\(x \to -\infty\) 이면 \(e^x \to 0^+\) 이고 \(\dfrac{1}{e^x} = e^{-x} \to +\infty\).
따라서 괄호 안 \(e^x - e^{-x} \to -\infty\). \(\arctan(-\infty) = -\dfrac{\pi}{2}\).

정답: ⑤ \(-\dfrac{\pi}{2}\)

Q7. Derivatives 4.4점

출제 근거: 2024 Q18 1/√x / 2025 Q7 2/√x 구조 변형 (n=−3/2) / §3.1

Find \(y'\) when \(y = \dfrac{3}{x\sqrt{x}}\).

① \(-\dfrac{9}{2x^2\sqrt{x}}\)
② \(-\dfrac{3}{2x^2\sqrt{x}}\)
③ \(-\dfrac{9}{x^2\sqrt{x}}\)
④ \(\dfrac{9}{2x^2\sqrt{x}}\)
⑤ \(-\dfrac{3}{x\sqrt{x}}\)

풀이

\(y = 3x^{-3/2}\).
\(y' = 3 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) x^{-5/2} = -\dfrac{9}{2} x^{-5/2} = -\dfrac{9}{2x^2 \sqrt{x}}\).
(단, \(x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2}\) 이므로 \(x^{-5/2} = \dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}\).)

정답: ① \(-\dfrac{9}{2x^2\sqrt{x}}\)

Q8. Derivatives 4.4점

출제 근거: 2025 Q8·Q9 xe^(2x) at ln2 변형 (x²·e^x at ln3) / §3.2

Find \(f'(\ln 3)\) when \(f(x) = x^2 e^{x}\).

① \(3\ln 3 + (\ln 3)^2\)
② \(3\ln 3 + 3(\ln 3)^2\)
③ \(6\ln 3 + 3(\ln 3)^2\)
④ \(6\ln 3 + (\ln 3)^2\)
⑤ \(6\ln 3 + 6(\ln 3)^2\)

풀이

Product rule: \(f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(2x + x^2)\).
\(x = \ln 3\): \(e^{\ln 3} = 3\). \(f'(\ln 3) = 3\big(2\ln 3 + (\ln 3)^2\big) = 6\ln 3 + 3(\ln 3)^2\).

정답: ③ \(6\ln 3 + 3(\ln 3)^2\)

Q9. Derivatives 4.4점

출제 근거: 2024 Q20 e^x/(1+x²) 구조 역전 (x²/(1+e^x)) / §3.2 #27

Find \(f'(x)\) when \(f(x) = \dfrac{x^2}{1 + e^{x}}\).

① \(\dfrac{2x + 2xe^x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)
② \(\dfrac{2x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)
③ \(\dfrac{2x(1+e^x)}{(1+e^x)^2}\)
④ \(\dfrac{x^2 e^x - 2x}{(1+e^x)^2}\)
⑤ \(\dfrac{2x + x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)

풀이

Quotient rule: \(f'(x) = \dfrac{2x(1+e^x) - x^2 \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \dfrac{2x + 2xe^x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\).

정답: ① \(\dfrac{2x + 2xe^x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)

Q10. 참/거짓 4.5점

출제 근거: 2024 Q12 x·sin(1/x) → x²·sin(1/x) 강화 (미분가능성) / §2.5, §2.7 #58

Let \(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & (x \neq 0)\\ 0 & (x = 0)\end{cases}\). Choose every CORRECT statement:
Ⓐ \(f(0) = 0\)
Ⓑ \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0\)
Ⓒ \(f\) is differentiable at \(x = 0\).

① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ

풀이

Ⓐ TRUE. 정의에 의해 \(f(0) = 0\).
Ⓑ TRUE. \(|x^2 \sin(1/x)| \le x^2 \to 0\) (Squeeze).
Ⓒ TRUE. \(f'(0) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h \sin(1/h) = 0\) (Squeeze).

정답: ⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ

Q11. 참/거짓 4.5점

출제 근거: 2025 Q12 무한대 유리화 3연타 구조 변형 (−∞ 방향 포함) / §2.6

Choose every TRUE statement:
Ⓐ \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\!\left(\sqrt{x^2+x} - x\right) = \dfrac{1}{2}\)
Ⓑ \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\!\left(\sqrt{x^2+x} - 2x\right) = \infty\)
Ⓒ \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\!\left(\sqrt{x^2+x} + x\right) = -\dfrac{1}{2}\)

① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ

풀이

Ⓐ TRUE. 유리화: \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \to \dfrac{1}{2}\).
Ⓑ FALSE. 최고차 계수 비교: \(\sqrt{x^2+x} \sim x\), \(2x\)와 차이 \(\to -x \to -\infty\) (\(+\infty\)가 아님).
Ⓒ TRUE. \(x \to -\infty\) 이면 \(|x| = -x\). 유리화: \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}-x}\). 분자·분모를 \(x\) (음수)로 나누면 \(\dfrac{1}{-\sqrt{1+1/x}-1} \to -\dfrac{1}{2}\).

정답: ④ Ⓐ and Ⓒ only

Q12. Tangent line 4.5점

출제 근거: 2025 Q13 y=−x² / Q14 xy=8 구조 변형 (지수함수) / §3.1

Find the \(y\)-intercept of the tangent line to the curve \(y = e^{x}\) at \(x = \ln 2\).

① \(-2\ln 2\)
② \(2\ln 2\)
③ \(2 - \ln 2\)
④ \(2 + 2\ln 2\)
⑤ \(2 - 2\ln 2\)

풀이

\(f(\ln 2) = e^{\ln 2} = 2\), \(f'(x) = e^x\) → \(f'(\ln 2) = 2\).
접선: \(y - 2 = 2(x - \ln 2) \Rightarrow y = 2x + (2 - 2\ln 2)\).
\(x = 0\) 대입 → \(y\)-절편 \(= 2 - 2\ln 2\).

정답: ⑤ \(2 - 2\ln 2\)

Q13. Tangent line 4.6점

출제 근거: 2024 Q22 y=8x−16 ∈ y=ax² 접선 구조 변형 (3차곡선·기울기 6) / §3.1 #67·81·83

The line \(y = 6x - a\) is tangent to the curve \(y = x^{3}\) with \(a > 0\). Find the value of \(a\).

① \(\sqrt{2}\)
② \(2\sqrt{2}\)
③ \(3\sqrt{2}\)
④ \(4\sqrt{2}\)
⑤ \(5\sqrt{2}\)

풀이

접점 \(t\)에서 기울기 일치: \(3t^2 = 6 \Rightarrow t^2 = 2\). \(a > 0\) 조건을 만족시키려면 \(t = \sqrt{2}\).
\(y\)-값 일치: \(t^3 = 6t - a \Rightarrow a = 6t - t^3 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
(\(t = -\sqrt{2}\) 이면 \(a = -4\sqrt{2} < 0\) 으로 조건 불만족.)

정답: ④ \(4\sqrt{2}\)

Q14. Implicit 4.6점

출제 근거: 2025 Q10 x²+2xy+2y²=5 구조 변형 (계수 1) / §3.5 #5

Find the slope of the tangent line to the curve \(x^2 + xy + y^2 = 3\) at the point \((1, 1)\).

① \(-2\)
② \(-\dfrac{3}{2}\)
③ \(-1\)
④ \(-\dfrac{2}{3}\)
⑤ \(-\dfrac{1}{2}\)

풀이

양변 미분: \(2x + (y + x y') + 2y y' = 0\).
\((1, 1)\) 대입: \(2 + 1 + y' + 2y' = 0 \Rightarrow 3y' = -3 \Rightarrow y' = -1\).

정답: ③ \(-1\)

Q15. Implicit 4.6점

출제 근거: 2025 Q15 x^(2/3)+y^(2/3)=13 구조 변형 (지수 1/3) / §3.5 #50

Find the slope of the tangent line to the curve \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3\) at the point \((1, 8)\).

① \(-1\)
② \(-2\)
③ \(-3\)
④ \(-4\)
⑤ \(-8\)

풀이

검증: \(1^{1/3} + 8^{1/3} = 1 + 2 = 3\) ✓
양변 미분: \(\dfrac{1}{3} x^{-2/3} + \dfrac{1}{3} y^{-2/3} y' = 0 \Rightarrow y' = -\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2/3}\).
\((1, 8)\) 대입: \(y' = -(8/1)^{2/3} = -4\).

정답: ④ \(-4\)

Q16. Chain rule 4.7점

출제 근거: 2025 Q17 e^(x²) / Q18 e^(e^x) 구조 변형 (3중 합성) / §3.4 #47

Find \(\dfrac{d}{dx}\!\left(e^{\sin(x^2)}\right)\) at \(x = \sqrt{\pi/2}\).

① 0
② \(2\sqrt{\pi/2}\)
③ \(e \sqrt{\pi/2}\)
④ \(2e\sqrt{\pi/2}\)
⑤ \(-2e\sqrt{\pi/2}\)

풀이

Chain rule: \(\dfrac{d}{dx}\!\left[e^{\sin(x^2)}\right] = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x\).
\(x^2 = \pi/2\) 대입: \(\cos(\pi/2) = 0\) 이므로 전체 값 \(= 0\).

정답: ① 0

Q17. Chain rule 4.7점

출제 근거: 2025 Q19 e^x cos x at arctan(3/4) 구조 변형 (5-12-13 삼각비) / §3.3

Find \(\dfrac{d}{dx}\!\left(e^{x} \sin x\right)\) at \(x = \arctan\!\left(\dfrac{5}{12}\right)\).

① \(\dfrac{7}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
② \(\dfrac{17}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
③ \(\dfrac{5}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
④ \(\dfrac{12}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
⑤ \(-\dfrac{7}{13} e^{\arctan(5/12)}\)

풀이

Product rule: \(\dfrac{d}{dx}(e^x \sin x) = e^x(\sin x + \cos x)\).
\(\tan\theta = 5/12\) (\(0 < \theta < \pi/2\)) → 5-12-13 삼각형: \(\sin\theta = 5/13\), \(\cos\theta = 12/13\).
\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{5 + 12}{13} = \dfrac{17}{13}\). 결과: \(\dfrac{17}{13} e^{\arctan(5/12)}\).

정답: ② \(\dfrac{17}{13} e^{\arctan(5/12)}\)

Q18. Inverse trig 4.8점

출제 근거: 2025 Q16 arcsin' at 4/5 구조 변형 (arctan at √3) / §1.5 #77

Find \(\dfrac{d}{dx}(\arctan x)\) at \(x = \sqrt{3}\).

① \(\dfrac{1}{2}\)
② \(\dfrac{1}{3}\)
③ \(\dfrac{1}{4}\)
④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
⑤ \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

풀이

\(\dfrac{d}{dx}(\arctan x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\).
\(x = \sqrt{3}\) 대입: \(\dfrac{1}{1 + 3} = \dfrac{1}{4}\).

정답: ③ \(\dfrac{1}{4}\)

Q19. ε-δ 4.8점

출제 근거: 2024 Q14~16 / 2025 Q5 구조 변형 (선형 3x+1) / §2.4 #3·#19

Let \(f(x) = 3x + 1\) so that \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 7\). For a given \(\epsilon > 0\), find the LARGEST \(\delta\) (in terms of \(\epsilon\)) such that \[ |x - 2| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - 7| < \epsilon. \]

① \(\epsilon\)
② \(\dfrac{\epsilon}{2}\)
③ \(3\epsilon\)
④ \(\sqrt{\epsilon/3}\)
⑤ \(\dfrac{\epsilon}{3}\)

풀이

\(|f(x) - 7| = |3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|\).
\(3|x - 2| < \epsilon \Leftrightarrow |x - 2| < \dfrac{\epsilon}{3}\). 최대 \(\delta = \dfrac{\epsilon}{3}\).

정답: ⑤ \(\dfrac{\epsilon}{3}\)

Q20. 운동학 4.9점

출제 근거: 2024 Q17 490m 자유낙하 구조 변형 (122.5m, t=5s) / §2.7 #12·13

A ball is dropped from a height of \(h = 122.5\) m above the ground. Using \(g = 9.8\) m/s², find the instantaneous speed (m/s) of the ball at the moment it hits the ground. (Air resistance is negligible.)

① 9.8 m/s
② 24.5 m/s
③ 49 m/s
④ 98 m/s
⑤ 245 m/s

풀이

낙하 거리 \(s(t) = \dfrac{1}{2} g t^2 = 4.9 t^2\). \(4.9 t^2 = 122.5 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5\)s.
순간속도 \(v(t) = s'(t) = g t\). \(v(5) = 9.8 \times 5 = 49\) m/s.

정답: ③ 49 m/s

Q21. 증명 빈칸 5.0점

출제 근거: 2024 Q21 x^n (n<0) / 2025 Q21 arctan(2x) 유도 패턴 / §3.5 #52

The box below is the process of verifying \(\displaystyle \dfrac{d}{dx}\!\left(x^{p/q}\right) = \dfrac{p}{q} x^{p/q - 1}\) (\(p, q\) are integers with \(q \neq 0\)) using implicit differentiation. Choose the CORRECT expression for Ⓐ.

Let \(y = x^{p/q}\). Then \(y^{q} = x^{p}\).
Differentiate both sides with respect to \(x\):
\( q \cdot y^{q-1} \cdot \dfrac{dy}{dx} = p \cdot x^{p-1} \).
Solve for \(\dfrac{dy}{dx}\):
\(\dfrac{dy}{dx} = \) Ⓐ
Replacing \(y = x^{p/q}\) produces
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{p}{q} x^{\,p/q - 1}\).

① \(\dfrac{p \, x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\)
② \(\dfrac{p \, x^{p-1}}{y^{q-1}}\)
③ \(\dfrac{p \, x^{p}}{q \, y^{q}}\)
④ \(\dfrac{x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\)
⑤ \(\dfrac{p \, y^{q-1}}{q \, x^{p-1}}\)

풀이

\(q \, y^{q-1} \dfrac{dy}{dx} = p \, x^{p-1}\)의 양변을 \(q y^{q-1}\)로 나눈다.
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{p \, x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\).
다음 단계에서 \(y = x^{p/q}\) 대입하면 \(y^{q-1} = x^{p(q-1)/q} = x^{p - p/q}\) 이므로 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{p}{q} x^{\,p - 1 - p + p/q} = \dfrac{p}{q} x^{\,p/q - 1}\) ✓

정답: ① \(\dfrac{p \, x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\)

Q22. Orthogonal 5.1점

출제 근거: 2025 Q22 x²/4+y²=C 타원족 구조 변형 (포물선족) / §3.5 #53~58

Choose the curves that are orthogonal to the family of parabolas \(y^2 = C x\). (\(C\) and \(K\) are constants.)

① \(x^2 + 2 y^2 = K\)
② \(2 x^2 + y^2 = K\)
③ \(x^2 + y^2 = K\)
④ \(y^2 - 2 x^2 = K\)
⑤ \(y = K x^{-1/2}\)

풀이

원족 미분: \(2 y y' = C \Rightarrow y' = \dfrac{C}{2 y}\). 원족 식에서 \(C = \dfrac{y^2}{x}\) 대입: \(y' = \dfrac{y}{2 x}\).
직교 조건: \(y'_{\perp} = -\dfrac{2 x}{y}\). 분리변수: \(y \, dy = -2 x \, dx\).
적분: \(\dfrac{y^2}{2} = -x^2 + C' \Rightarrow 2 x^2 + y^2 = K\) (타원족).

정답: ② \(2 x^2 + y^2 = K\)

출제 패턴 핵심 요약 (2024·2025 교차분석)

난이도 설계: Q1~6 워밍업 (중) → Q7~13 중상 (상) → Q14~17 상위 (상) → Q18~22 최상위 (최상)
도함수 정의 3연타 고정: Q1~3 — 2024·2025에서 동일 패턴 2년 연속. 2026도 동일 구조 유지 (a·n만 변경)
무한대 유리화 근거리 복제: 2024 Q6 `√(4x²+3x+5)−2x` · 2025 Q4 `√(4x²+9x)−2x` · 2026 Q5 `√(9x²+12x+1)−3x` — 계수만 교체되는 고전 패턴
참/거짓 축소 추세: 2024 5문항 → 2025 2문항 → 2026 2문항 유지 (Q10 미분가능성, Q11 −∞ 부호 처리)
음함수 미분 유지: 2025에서 신규 등장 (Q10, Q15, Q22 3문항) → 2026도 Q14·Q15·Q22 3문항 유지
Chain rule 복합: 2025 Q17·18·20 → 2026 Q16 (3중 합성 e^sin(x²)), Q17 (5-12-13 삼각비)
ε-δ 축소: 2024 3문항 → 2025 1문항 → 2026 1문항 (선형 3x+1로 난이도 조절)
순간속도 격년 회귀: 2024 Q17 자유낙하 → 2025 미출제 → 2026 Q20 자유낙하 복귀 (교과서 §2.7 #12·13 직결)
증명 빈칸 Ⓐ 고정: 2024·2025 모두 Q21. 2026도 Q21에 유리지수 공식 유도 (§3.5 #52)
직교 궤적 유지: 2025 Q22 타원족 → 2026 Q22 포물선족 (교과서 §3.5 #53~58 미출제분)
3-4-5 → 5-12-13 삼각비 확장: 2025는 3-4-5만 사용 → 2026은 5-12-13으로 확장 (피타고라스 트리플 변주)

2026 HAFS 미적분학 I — 1학기 중간고사 예상문제 풀이 v2Updated 2026-04-21

시험 형식 요약 (예상)

유형별 분포 (2026 예상)

정답표

출제 근거 및 교차분석 요약

22문항 예상문제 전체

출제 패턴 핵심 요약 (2024·2025 교차분석)