2026 HAFS 미적분학 I — 1학기 중간고사 예상문제 풀이 v3 Updated 2026-04-23
2024·2025 기출 + 교과서 동그라미 마킹 + 쌤 핵심문제 픽 4축 교차분석 | 25문항 선택형 100.0점 | Stewart Metric 9판 §1.5 ~ §3.5
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시험 형식 요약 (예상)
항목 내용 과목명 미적분학 I (Calculus I) 시행 예상 2026년 4월 중순~하순 (2024·2025 선례) 문항 수 선택형 25문항 (v2 22문항 + 신규 3문항) 총점 100.0점 배점 범위 3.6점 ~ 4.6점 (점진 증가) 출제 언어 전체 영어 범위 Stewart Metric 9판 §1.5 ~ §3.5
유형별 분포 (2026 예상)
유형 문항 수 비율 Limits (도함수 정의·무한대·합성) 6 24.0% 연속성 (그래프 박스 + piecewise) 🆕 2 8.0% Derivatives 기본 (다항·곱·몫) 3 12.0% 참/거짓 복합 2 8.0% Tangent line (직접 작성 + y절편 + 외접) 🆕 3 12.0% Implicit differentiation 2 8.0% Chain rule (지수·삼각 합성) 2 8.0% Inverse trig 도함수 1 4.0% ε-δ 정밀 정의 1 4.0% 순간속도 (운동학) 1 4.0% 증명 빈칸 Ⓐ 1 4.0% Orthogonal trajectories 1 4.0% 합계 25 100%
정답표
번호 배점 유형 정답 1 3.6 Limits ④ 48 2 3.6 Limits ② 1/6 3 3.6 Limits ① −1/27 4 3.7 Limits ⑤ 0 5 3.7 Limits ② 2 6 3.7 Limits ⑤ −π/2 7 🆕 3.8 연속성 ① Ⓐ only 8 3.8 Derivatives ① −9/(2x²√x) 9 3.8 Derivatives ③ 6ln3+3(ln3)² 10 3.8 Derivatives ① (2x+2xe^x−x²e^x)/(1+e^x)² 11 4.0 참/거짓 ⑤ ⒶⒷⒸ 12 4.0 참/거짓 ④ Ⓐ and Ⓒ 13 🆕 4.0 연속성 (a, b 결정) ③ 10 14 🆕 4.0 Tangent line (작성) ① y = 9x − 16 15 4.0 Tangent line ⑤ 2−2ln2 16 4.0 Tangent line ④ 4√2 17 4.1 Implicit ③ −1 18 4.1 Implicit ④ −4 19 4.2 Chain rule ① 0 20 4.2 Chain rule ② (17/13)e^arctan(5/12) 21 4.2 Inverse trig ③ 1/4 22 4.4 ε-δ ⑤ ε/3 23 4.5 운동학 ③ 49 m/s 24 4.6 증명 빈칸 ① p·x^(p−1) / (q·y^(q−1)) 25 4.6 Orthogonal ② 2x²+y²=K
출제 근거 4축 교차분석 (2024 · 2025 · 동그라미 · 쌤 핵심)
# 유형 2024 근거 2025 근거 교과서 § 핵심문제 픽 1 Limits (도함수 정의·다항) Q1 (3+x)²−9 Q1 (2+x)³−8 §2.7 §2.7 #57·58 2 Limits (도함수 정의·유리화) Q2 √(4+x)−2 Q3 1/√(4+x) §2.3 #31 §2.3 #25 3 Limits (도함수 정의·분수) Q3 1/(3+x) Q2 1/(2+x)² §2.3 §2.3 #23 4 Limits (단측·지수) Q4 1/(x+1) Q6 e^(−1/x) §2.6 #38 §2.6 #37·38 5 Limits (무한대 유리화) Q6 √(4x²+3x+5)−2x Q4 √(4x²+9x)−2x §2.6 #29·32 §2.6 #39·40 6 Limits (합성·역삼각) Q8 arctan(ln 1/x) — §2.6 #40 §2.6 #43·44·45 7 🆕 연속성 박스 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Q9~Q13 형식 Q11 §2.5 #5·6·71~73 §2.5 #5·6 ★★★ "안 낼 수가 없다" 8 Derivatives (음지수) Q18 1/√x Q7 2/√x §3.1 §3.1 #88 영역 9 Derivatives (곱·대입) — Q8·Q9 ln2 대입 §3.2 §3.2 #24 10 Derivatives (몫) Q20 e^x/(1+x²) — §3.2 #27 §3.2 #27 11 참/거짓 (연속·미분가능) Q9~13 (5개) Q11 §2.5, §2.7 #58 §2.3 #55~58 (Squeeze) 12 참/거짓 (무한대 유리화) — Q12 §2.6 §2.6 #29~31·39~40 13 🆕 piecewise 연속 a, b 결정 — — §2.5 #49~51 §2.5 #49·50·51 14 🆕 접선 방정식 직접 작성 — — §2.7 #49~52 §2.7 #49·50·51·52 (쌤 강조) 15 Tangent line (y절편) — Q13, Q14 §3.1 #88 §3.1 #88 16 Tangent line (외접 상수) Q22 y=8x−16 접선 — §3.1 #67·81·83 §3.1 #84 17 Implicit (2차) — Q10 x²+2xy+2y² §3.5 #5 §3.5 #5 18 Implicit (무리지수) — Q15 x^(2/3)+y^(2/3) §3.5 #50 §3.5 #39·50 19 Chain rule (지수·삼각 합성) — Q17, Q18 §3.4 #25·47 §3.4 #5·52 20 Chain rule + arctan 대입 — Q19 arctan(3/4) §3.3 §3.3 #27·28·29·30 21 Inverse trig 도함수 — Q16 arcsin' §1.5 #77 (직접 항목 없음) 22 ε-δ (선형) Q14~16 Q5 §2.4 #3, #19 §2.4 #14·33·39 23 순간속도 (자유낙하) Q17 490m — §2.7 #12·13 §2.7 #12·13 24 증명 빈칸 Ⓐ Q21 x^n 음지수 Q21 arctan(2x) §3.5 #52 §3.5 #51·52 영역 25 Orthogonal trajectories — Q22 x²/4+y²=C §3.5 #53~58 §3.5 #53~56
25문항 예상문제 전체
출제 근거: 2024 Q1 · 2025 Q1 구조 변형 (a=4, n=3) / §2.7 · 핵심 §2.7 #57·58
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(4+x)^3 - 64}{x}\).
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도함수 정의: \(f(x)=x^3\)의 \(x=4\)에서의 미분계수.
\(f'(x) = 3x^2\), \(f'(4) = 3 \cdot 16 = 48\).
정답: ④ 48
출제 근거: 2024 Q2 √(4+x)−2 변형 (a=9) / §2.3 #31 · 핵심 §2.3 #25
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{9+x} - 3}{x}\).
① \(\dfrac{1}{3}\)
② \(\dfrac{1}{6}\)
③ \(\dfrac{1}{9}\)
④ \(\dfrac{1}{12}\)
⑤ \(\dfrac{1}{18}\)
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\(f(x)=\sqrt{x}\)의 \(x=9\)에서의 미분계수.
\(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), \(f'(9) = \dfrac{1}{2\sqrt{9}} = \dfrac{1}{6}\).
정답: ② \(\dfrac{1}{6}\)
출제 근거: 2024 Q3 1/(3+x) / 2025 Q2 1/(2+x)² 구조 변형 (n=3, a=3) · 핵심 §2.3 #23
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{(3+x)^3} - \dfrac{1}{27}}{x}\).
① \(-\dfrac{1}{27}\)
② \(-\dfrac{1}{81}\)
③ \(-\dfrac{1}{9}\)
④ \(\dfrac{1}{27}\)
⑤ \(\dfrac{1}{81}\)
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\(f(x) = x^{-3}\)의 \(x=3\)에서의 미분계수.
\(f'(x) = -3 x^{-4}\), \(f'(3) = -\dfrac{3}{81} = -\dfrac{1}{27}\).
정답: ① \(-\dfrac{1}{27}\)
출제 근거: 2025 Q6 e^(−1/x) at 0⁺ 부호 뒤집기 (0⁻) / §2.6 #38 · 핵심 §2.6 #37·38
Find \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} e^{1/x}\).
① \(-\infty\)
② \(\dfrac{1}{e}\)
③ 1
④ \(e\)
⑤ 0
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\(x \to 0^-\) 이면 \(\dfrac{1}{x} \to -\infty\).
따라서 \(e^{1/x} \to e^{-\infty} = 0\).
정답: ⑤ 0
출제 근거: 2024 Q6 / 2025 Q4 구조 변형 (계수 9,12,1) / §2.6 #29·32 · 핵심 §2.6 #39·40
Find \(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\!\left(\sqrt{9x^2 + 12x + 1} - 3x\right)\).
① 1
② 2
③ \(\dfrac{3}{2}\)
④ 3
⑤ 4
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유리화: \(\dfrac{(9x^2 + 12x + 1) - 9x^2}{\sqrt{9x^2 + 12x + 1} + 3x} = \dfrac{12x + 1}{\sqrt{9x^2 + 12x + 1} + 3x}\).
분자·분모를 \(x\)로 나누면 \(\dfrac{12 + 1/x}{\sqrt{9 + 12/x + 1/x^2} + 3} \to \dfrac{12}{3+3} = 2\).
정답: ② 2
출제 근거: 2024 Q8 arctan(ln 1/x) 변형 (지수 합성) / §2.6 #40 · 핵심 §2.6 #43·44·45
Find \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \arctan\!\left(e^x - \dfrac{1}{e^x}\right)\).
① \(-\infty\)
② \(-\dfrac{\pi}{4}\)
③ 0
④ \(\dfrac{\pi}{4}\)
⑤ \(-\dfrac{\pi}{2}\)
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\(x \to -\infty\) 이면 \(e^x \to 0^+\) 이고 \(\dfrac{1}{e^x} = e^{-x} \to +\infty\).
따라서 괄호 안 \(e^x - e^{-x} \to -\infty\). \(\arctan(-\infty) = -\dfrac{\pi}{2}\).
정답: ⑤ \(-\dfrac{\pi}{2}\)
출제 근거: 핵심 §2.5 #5·6 ★★★ "안 낼 수가 없다" / 동그라미 §2.5 #5·6·71~73 / 2024 Q9~Q13 형식 (제거가능 vs 무한 불연속)
Let \(f\) be defined as
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 3 \\[4pt]
5, & x = 3 \\[4pt]
6, & 3 < x < 5 \\[4pt]
\dfrac{1}{x - 5}, & x > 5
\end{cases} \]
Choose every TRUE statement:
① Ⓐ only
② Ⓑ only
③ Ⓐ and Ⓑ only
④ Ⓑ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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Ⓐ
TRUE . \(\lim_{x \to 3^-}\dfrac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x \to 3^-}(x+3) = 6\).
\(\lim_{x \to 3^+} f(x) = 6\). 양측 일치 → 극한 존재 = 6.
Ⓑ
FALSE . \(f(3) = 5 \neq 6 = \lim_{x \to 3} f(x)\). 제거가능(removable) 불연속.
Ⓒ
FALSE . \(f(5)\) is not defined (\(5\)는 정의역에서 제외). 또한 \(\lim_{x \to 5^+} \dfrac{1}{x-5} = +\infty\). 무한 불연속.
정답: ① Ⓐ only
출제 근거: 2024 Q18 1/√x / 2025 Q7 2/√x 구조 변형 (n=−3/2) / §3.1 · 핵심 §3.1 #88 영역
Find \(y'\) when \(y = \dfrac{3}{x\sqrt{x}}\).
① \(-\dfrac{9}{2x^2\sqrt{x}}\)
② \(-\dfrac{3}{2x^2\sqrt{x}}\)
③ \(-\dfrac{9}{x^2\sqrt{x}}\)
④ \(\dfrac{9}{2x^2\sqrt{x}}\)
⑤ \(-\dfrac{3}{x\sqrt{x}}\)
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\(y = 3x^{-3/2}\).
\(y' = 3 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) x^{-5/2} = -\dfrac{9}{2} x^{-5/2} = -\dfrac{9}{2x^2 \sqrt{x}}\).
(단, \(x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{5/2}\) 이므로 \(x^{-5/2} = \dfrac{1}{x^2\sqrt{x}}\).)
정답: ① \(-\dfrac{9}{2x^2\sqrt{x}}\)
출제 근거: 2025 Q8·Q9 xe^(2x) at ln2 변형 (x²·e^x at ln3) / §3.2 · 핵심 §3.2 #24
Find \(f'(\ln 3)\) when \(f(x) = x^2 e^{x}\).
① \(3\ln 3 + (\ln 3)^2\)
② \(3\ln 3 + 3(\ln 3)^2\)
③ \(6\ln 3 + 3(\ln 3)^2\)
④ \(6\ln 3 + (\ln 3)^2\)
⑤ \(6\ln 3 + 6(\ln 3)^2\)
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Product rule: \(f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x(2x + x^2)\).
\(x = \ln 3\): \(e^{\ln 3} = 3\). \(f'(\ln 3) = 3\big(2\ln 3 + (\ln 3)^2\big) = 6\ln 3 + 3(\ln 3)^2\).
정답: ③ \(6\ln 3 + 3(\ln 3)^2\)
출제 근거: 2024 Q20 e^x/(1+x²) 구조 역전 (x²/(1+e^x)) / §3.2 #27 · 핵심 §3.2 #27
Find \(f'(x)\) when \(f(x) = \dfrac{x^2}{1 + e^{x}}\).
① \(\dfrac{2x + 2xe^x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)
② \(\dfrac{2x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)
③ \(\dfrac{2x(1+e^x)}{(1+e^x)^2}\)
④ \(\dfrac{x^2 e^x - 2x}{(1+e^x)^2}\)
⑤ \(\dfrac{2x + x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)
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Quotient rule: \(f'(x) = \dfrac{2x(1+e^x) - x^2 \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \dfrac{2x + 2xe^x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\).
정답: ① \(\dfrac{2x + 2xe^x - x^2 e^x}{(1+e^x)^2}\)
출제 근거: 2024 Q12 x·sin(1/x) → x²·sin(1/x) 강화 (미분가능성) / §2.5, §2.7 #58 · 핵심 §2.3 #55~58 (Squeeze)
Let \(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & (x \neq 0)\\ 0 & (x = 0)\end{cases}\). Choose every CORRECT statement:
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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Ⓐ
TRUE . 정의에 의해 \(f(0) = 0\).
Ⓑ
TRUE . \(|x^2 \sin(1/x)| \le x^2 \to 0\) (Squeeze).
Ⓒ
TRUE . \(f'(0) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h\to 0} h \sin(1/h) = 0\) (Squeeze).
정답: ⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
출제 근거: 2025 Q12 무한대 유리화 3연타 구조 변형 (−∞ 방향 포함) / §2.6 · 핵심 §2.6 #29~31·39~40
Choose every TRUE statement:
① Ⓐ only
② Ⓐ and Ⓑ only
③ Ⓑ and Ⓒ only
④ Ⓐ and Ⓒ only
⑤ Ⓐ, Ⓑ and Ⓒ
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Ⓐ
TRUE . 유리화: \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} \to \dfrac{1}{2}\).
Ⓑ
FALSE . 최고차 계수 비교: \(\sqrt{x^2+x} \sim x\), \(2x\)와 차이 \(\to -x \to -\infty\) (\(+\infty\)가 아님).
Ⓒ
TRUE . \(x \to -\infty\) 이면 \(|x| = -x\). 유리화:
\(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}-x}\). 분자·분모를 \(x\) (음수)로 나누면 \(\dfrac{1}{-\sqrt{1+1/x}-1} \to -\dfrac{1}{2}\).
정답: ④ Ⓐ and Ⓒ only
출제 근거: 핵심 §2.5 #49·50·51 / 동그라미 §2.5 #49~51 / 한국형 piecewise a·b 결정 — v2 미포함
Suppose \(f\) is continuous on \((-\infty, \infty)\), where
\[ f(x) = \begin{cases}
ax + b, & x < 0 \\[2pt]
3x^2 + 2, & 0 \le x \le 2 \\[2pt]
ax - b, & x > 2
\end{cases} \]
Find \(a + b\).
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Step 1. \(x = 0\) 연속: \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-}(ax+b) = b\). \(f(0) = 3(0)^2 + 2 = 2\).
좌극한 \(=\) 함숫값 \(\Rightarrow b = 2\).
Step 2. \(x = 2\) 연속: \(f(2) = 3(2)^2 + 2 = 14\). \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+}(ax - b) = 2a - b = 2a - 2\).
함숫값 \(=\) 우극한 \(\Rightarrow 2a - 2 = 14 \Rightarrow a = 8\).
Step 3. \(a + b = 8 + 2 = 10\).
정답: ③ 10
출제 근거: 핵심 §2.7 #49·50·51·52 (쌤 강조 묶음) / 동그라미 §2.7 #49~52 / v2는 외접·y절편만 → 직접 작성 보강
Find the equation of the tangent line to the curve \(f(x) = x^3 - 3x\) at \(x = 2\).
① \(y = 9x - 16\)
② \(y = 9x - 8\)
③ \(y = 9x + 16\)
④ \(y = 6x - 10\)
⑤ \(y = 3x - 4\)
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Step 1. 접점의 \(y\)값: \(f(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2\).
Step 2. 도함수: \(f'(x) = 3x^2 - 3\). 접선의 기울기: \(f'(2) = 12 - 3 = 9\).
Step 3. 접선식 (점-기울기 형): \(y - 2 = 9(x - 2) \Rightarrow y = 9x - 16\).
정답: ① \(y = 9x - 16\)
출제 근거: 2025 Q13 y=−x² / Q14 xy=8 구조 변형 (지수함수) / §3.1 · 핵심 §3.1 #88
Find the \(y\)-intercept of the tangent line to the curve \(y = e^{x}\) at \(x = \ln 2\).
① \(-2\ln 2\)
② \(2\ln 2\)
③ \(2 - \ln 2\)
④ \(2 + 2\ln 2\)
⑤ \(2 - 2\ln 2\)
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\(f(\ln 2) = e^{\ln 2} = 2\), \(f'(x) = e^x\) → \(f'(\ln 2) = 2\).
접선: \(y - 2 = 2(x - \ln 2) \Rightarrow y = 2x + (2 - 2\ln 2)\).
\(x = 0\) 대입 → \(y\)-절편 \(= 2 - 2\ln 2\).
정답: ⑤ \(2 - 2\ln 2\)
출제 근거: 2024 Q22 y=8x−16 ∈ y=ax² 접선 구조 변형 (3차곡선·기울기 6) / §3.1 #67·81·83 · 핵심 §3.1 #84
The line \(y = 6x - a\) is tangent to the curve \(y = x^{3}\) with \(a > 0\). Find the value of \(a\).
① \(\sqrt{2}\)
② \(2\sqrt{2}\)
③ \(3\sqrt{2}\)
④ \(4\sqrt{2}\)
⑤ \(5\sqrt{2}\)
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접점 \(t\)에서 기울기 일치: \(3t^2 = 6 \Rightarrow t^2 = 2\). \(a > 0\) 조건을 만족시키려면 \(t = \sqrt{2}\).
\(y\)-값 일치: \(t^3 = 6t - a \Rightarrow a = 6t - t^3 = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\).
(\(t = -\sqrt{2}\) 이면 \(a = -4\sqrt{2} < 0\) 으로 조건 불만족.)
정답: ④ \(4\sqrt{2}\)
출제 근거: 2025 Q10 x²+2xy+2y²=5 구조 변형 (계수 1) / §3.5 #5 · 핵심 §3.5 #5
Find the slope of the tangent line to the curve \(x^2 + xy + y^2 = 3\) at the point \((1, 1)\).
① \(-2\)
② \(-\dfrac{3}{2}\)
③ \(-1\)
④ \(-\dfrac{2}{3}\)
⑤ \(-\dfrac{1}{2}\)
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양변 미분: \(2x + (y + x y') + 2y y' = 0\).
\((1, 1)\) 대입: \(2 + 1 + y' + 2y' = 0 \Rightarrow 3y' = -3 \Rightarrow y' = -1\).
정답: ③ \(-1\)
출제 근거: 2025 Q15 x^(2/3)+y^(2/3)=13 구조 변형 (지수 1/3) / §3.5 #50 · 핵심 §3.5 #39·50
Find the slope of the tangent line to the curve \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3\) at the point \((1, 8)\).
① \(-1\)
② \(-2\)
③ \(-3\)
④ \(-4\)
⑤ \(-8\)
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검증: \(1^{1/3} + 8^{1/3} = 1 + 2 = 3\) ✓
양변 미분: \(\dfrac{1}{3} x^{-2/3} + \dfrac{1}{3} y^{-2/3} y' = 0 \Rightarrow y' = -\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2/3}\).
\((1, 8)\) 대입: \(y' = -(8/1)^{2/3} = -4\).
정답: ④ \(-4\)
출제 근거: 2025 Q17 e^(x²) / Q18 e^(e^x) 구조 변형 (3중 합성) / §3.4 #47 · 핵심 §3.4 #5·52
Find \(\dfrac{d}{dx}\!\left(e^{\sin(x^2)}\right)\) at \(x = \sqrt{\pi/2}\).
① 0
② \(2\sqrt{\pi/2}\)
③ \(e \sqrt{\pi/2}\)
④ \(2e\sqrt{\pi/2}\)
⑤ \(-2e\sqrt{\pi/2}\)
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Chain rule: \(\dfrac{d}{dx}\!\left[e^{\sin(x^2)}\right] = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x\).
\(x^2 = \pi/2\) 대입: \(\cos(\pi/2) = 0\) 이므로 전체 값 \(= 0\).
정답: ① 0
출제 근거: 2025 Q19 e^x cos x at arctan(3/4) 구조 변형 (5-12-13 삼각비) / §3.3 · 핵심 §3.3 #27·28·29·30
Find \(\dfrac{d}{dx}\!\left(e^{x} \sin x\right)\) at \(x = \arctan\!\left(\dfrac{5}{12}\right)\).
① \(\dfrac{7}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
② \(\dfrac{17}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
③ \(\dfrac{5}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
④ \(\dfrac{12}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
⑤ \(-\dfrac{7}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
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Product rule: \(\dfrac{d}{dx}(e^x \sin x) = e^x(\sin x + \cos x)\).
\(\tan\theta = 5/12\) (\(0 < \theta < \pi/2\)) → 5-12-13 삼각형: \(\sin\theta = 5/13\), \(\cos\theta = 12/13\).
\(\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{5 + 12}{13} = \dfrac{17}{13}\). 결과: \(\dfrac{17}{13} e^{\arctan(5/12)}\).
정답: ② \(\dfrac{17}{13} e^{\arctan(5/12)}\)
출제 근거: 2025 Q16 arcsin' at 4/5 구조 변형 (arctan at √3) / §1.5 #77 · (핵심에 직접 항목 없음)
Find \(\dfrac{d}{dx}(\arctan x)\) at \(x = \sqrt{3}\).
① \(\dfrac{1}{2}\)
② \(\dfrac{1}{3}\)
③ \(\dfrac{1}{4}\)
④ \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
⑤ \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
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\(\dfrac{d}{dx}(\arctan x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\).
\(x = \sqrt{3}\) 대입: \(\dfrac{1}{1 + 3} = \dfrac{1}{4}\).
정답: ③ \(\dfrac{1}{4}\)
출제 근거: 2024 Q14~16 / 2025 Q5 구조 변형 (선형 3x+1) / §2.4 #3·#19 · 핵심 §2.4 #14·33·39
Let \(f(x) = 3x + 1\) so that \(\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = 7\). For a given \(\epsilon > 0\), find the LARGEST \(\delta\) (in terms of \(\epsilon\)) such that
\[ |x - 2| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - 7| < \epsilon. \]
① \(\epsilon\)
② \(\dfrac{\epsilon}{2}\)
③ \(3\epsilon\)
④ \(\sqrt{\epsilon/3}\)
⑤ \(\dfrac{\epsilon}{3}\)
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\(|f(x) - 7| = |3x + 1 - 7| = |3x - 6| = 3|x - 2|\).
\(3|x - 2| < \epsilon \Leftrightarrow |x - 2| < \dfrac{\epsilon}{3}\). 최대 \(\delta = \dfrac{\epsilon}{3}\).
정답: ⑤ \(\dfrac{\epsilon}{3}\)
출제 근거: 2024 Q17 490m 자유낙하 구조 변형 (122.5m, t=5s) / §2.7 #12·13 · 핵심 §2.7 #12·13
A ball is dropped from a height of \(h = 122.5\) m above the ground. Using \(g = 9.8\) m/s², find the instantaneous speed (m/s) of the ball at the moment it hits the ground. (Air resistance is negligible.)
① 9.8 m/s
② 24.5 m/s
③ 49 m/s
④ 98 m/s
⑤ 245 m/s
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낙하 거리 \(s(t) = \dfrac{1}{2} g t^2 = 4.9 t^2\). \(4.9 t^2 = 122.5 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5\)s.
순간속도 \(v(t) = s'(t) = g t\). \(v(5) = 9.8 \times 5 = 49\) m/s.
정답: ③ 49 m/s
출제 근거: 2024 Q21 x^n (n<0) / 2025 Q21 arctan(2x) 유도 패턴 / §3.5 #52 · 핵심 §3.5 #51·52 영역
The box below is the process of verifying
\(\displaystyle \dfrac{d}{dx}\!\left(x^{p/q}\right) = \dfrac{p}{q} x^{p/q - 1}\)
(\(p, q\) are integers with \(q \neq 0\)) using implicit differentiation.
Choose the
CORRECT expression for Ⓐ.
Let \(y = x^{p/q}\). Then \(y^{q} = x^{p}\).Ⓐ
① \(\dfrac{p \, x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\)
② \(\dfrac{p \, x^{p-1}}{y^{q-1}}\)
③ \(\dfrac{p \, x^{p}}{q \, y^{q}}\)
④ \(\dfrac{x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\)
⑤ \(\dfrac{p \, y^{q-1}}{q \, x^{p-1}}\)
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\(q \, y^{q-1} \dfrac{dy}{dx} = p \, x^{p-1}\)의 양변을 \(q y^{q-1}\)로 나눈다.
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{p \, x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\).
다음 단계에서 \(y = x^{p/q}\) 대입하면 \(y^{q-1} = x^{p(q-1)/q} = x^{p - p/q}\) 이므로
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{p}{q} x^{\,p - 1 - p + p/q} = \dfrac{p}{q} x^{\,p/q - 1}\) ✓
정답: ① \(\dfrac{p \, x^{p-1}}{q \, y^{q-1}}\)
출제 근거: 2025 Q22 x²/4+y²=C 타원족 구조 변형 (포물선족) / §3.5 #53~58 · 핵심 §3.5 #53~56
Choose the curves that are orthogonal to the family of parabolas \(y^2 = C x\). (\(C\) and \(K\) are constants.)
① \(x^2 + 2 y^2 = K\)
② \(2 x^2 + y^2 = K\)
③ \(x^2 + y^2 = K\)
④ \(y^2 - 2 x^2 = K\)
⑤ \(y = K x^{-1/2}\)
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원족 미분: \(2 y y' = C \Rightarrow y' = \dfrac{C}{2 y}\). 원족 식에서 \(C = \dfrac{y^2}{x}\) 대입:
\(y' = \dfrac{y}{2 x}\).
직교 조건: \(y'_{\perp} = -\dfrac{2 x}{y}\). 분리변수: \(y \, dy = -2 x \, dx\).
적분: \(\dfrac{y^2}{2} = -x^2 + C' \Rightarrow 2 x^2 + y^2 = K\) (타원족).
정답: ② \(2 x^2 + y^2 = K\)
출제 패턴 핵심 요약 (4축 교차분석: 2024·2025·동그라미·핵심)
난이도 설계 (25문항): Q1~6 워밍업 (중) → Q7~12 중상 (상) → Q13~18 상위 (상) → Q19~25 최상위 (최상)도함수 정의 3연타 고정: Q1~3 — 2024·2025·핵심 §2.7 #57·58 모두 일치. 2026도 동일 구조 유지 (a·n만 변경)무한대 유리화 근거리 복제: 2024 Q6 · 2025 Q4 · 2026 Q5 `√(9x²+12x+1)−3x` — 계수만 교체되는 고전 패턴 (핵심 §2.6 #39·40 직결)🆕 연속성 박스 신규 (Q7): 핵심 §2.5 #5·6 ★★★ "안 낼 수가 없다" → 박스 Ⓐ Ⓑ Ⓒ 패턴 도입. 제거가능 vs 무한 불연속 동시 검증참/거짓 축소 추세 + Squeeze: 2024 5문항 → 2025·2026 2문항 (Q11 미분가능성, Q12 −∞ 부호 처리). 핵심 §2.3 #55~58 직결🆕 piecewise 연속 a, b 결정 (Q13): 핵심 §2.5 #49~51 → 한국형 "연속이 되는 상수" 결정 패턴. v2 미포함🆕 접선 방정식 직접 작성 (Q14): 핵심 §2.7 #49~52 (쌤 강조 묶음) → 외접·y절편 외 "접선식 자체 작성" 보강. v2는 결과물 검증만 있었음음함수 미분 유지: 2025 신규 등장 (Q10·Q15·Q22 3문항) → 2026도 Q17·Q18·Q25 3문항 유지 (핵심 §3.5 #5·39·50 직결)Chain rule 복합: 2025 Q17·18·20 → 2026 Q19 (3중 합성 e^sin(x²)), Q20 (5-12-13 삼각비). 핵심 §3.4 #5·52, §3.3 #27~30ε-δ 축소·고정: 2024 3문항 → 2025·2026 1문항 (선형 3x+1로 난이도 조절). 핵심 §2.4 #14·33·39 직결순간속도 격년 회귀: 2024 Q17 자유낙하 → 2025 미출제 → 2026 Q23 자유낙하 복귀 (핵심 §2.7 #12·13)증명 빈칸 Ⓐ 고정: 2024·2025 모두 Q21. 2026도 Q24에 유리지수 공식 유도 (핵심 §3.5 #51·52 영역)직교 궤적 유지: 2025 Q22 타원족 → 2026 Q25 포물선족 (핵심 §3.5 #53~56 직결)3-4-5 → 5-12-13 삼각비 확장: 2025는 3-4-5만 사용 → 2026은 5-12-13으로 확장 (피타고라스 트리플 변주)