2026 HAFS 미적분학 Ⅱ — 2학기 중간고사 예상문제 풀이 (고위험 드릴)Updated 2026-10-01

\(x^4=(x^2)^2\) 이고 분자 \(2x\) 가 정확히 \((x^2)'\) → \(u=x^2,\ du=2x\,dx\).
\(\displaystyle\int\frac{2x}{1+x^4}dx=\int\frac{1}{1+u^2}du=\arctan u+C=\arctan(x^2)+C\).
검산: \(\big(\arctan(x^2)\big)'=\dfrac{2x}{1+x^4}\) ✔
함정 해설 — ① 분자를 무시하고 원형 \(\frac1{1+x^2}\) 로 봄 · ② \(\int\frac{2x}{1+x^2}dx\) (메모의 ②번 적분)와 혼동 · ④ 교재 50번(분자 \(x\))의 답 \(\tfrac12\arctan(x^2)\) 을 그대로 외운 경우 — 분자가 \(2x\) 면 \(\tfrac12\) 이 없다 · ⑤ "분자 = 분모의 도함수"로 착각 (\((1+x^4)'=4x^3\neq2x\)).

변수 \(x\) 가 아래끝에 있다 → 먼저 뒤집는다: \(F(x)=-\displaystyle\int_3^{x}\sqrt{1+t^3}\,dt\).
FTC 1: \(F'(x)=-\sqrt{1+x^3}\) → \(F'(2)=-\sqrt9=-3\).
함정 해설 — ① 뒤집을 때 생기는 \(-\) 누락 · ③ 변수 대신 상수 끝 \(3\) 을 대입 (\(-\sqrt{28}\)) · ④ FTC 2 처럼 \(f(3)-f(2)\) 를 계산 · ⑤ "끝 하나가 상수라 미분하면 0" 착각.

FTC 1 + 연쇄법칙: \(g'(x)=f(2x)\cdot(2x)'=2\sqrt{(2x)^2+9}\).
\(g'(2)=2\sqrt{16+9}=2\cdot5=10\).
함정 해설 — ① 속미분 \(2\) 누락 (메모가 경고한 바로 그 실수) · ② \(\int_1^x\) 인 것처럼 \(f(x)\) 에 \(x=2\) 대입 · ③ \(f(x)\cdot2\) — 속미분은 곱했지만 위끝 \(2x\) 를 대입하지 않음 · ⑤ 속미분 \((2x)'=2\) 대신 \(2x=4\) 를 곱함 (\(4\cdot5\)).

틀: \(\displaystyle\sum\frac{b-a}{n}\,f\!\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)\) (선생님 판서).
\(\Delta x=\frac2n\) 이고 \(x_i=3+\frac{2i}{n}\) → \(a=3,\ b-a=2,\ b=5,\ f(x)=x^2\). 폭과 간격이 둘 다 \(\frac2n\) 이라 계수 없이 \(\displaystyle\int_3^5x^2dx\ \left(=\tfrac{98}{3}\right)\).
함정 해설 — ① 시작점 \(a=3\) 을 버림 · ③ 폭을 \(\frac1n\) 로 읽어 \(2\) 가 빠짐 (값은 정답의 절반 \(\tfrac{49}{3}\)) · ④ 폭의 \(2\) 를 밖으로 한 번 더 뺌 · ⑤ \(b=3+2\cdot2\) 로 간격을 두 번 더함.
⚠️ \(\displaystyle\int_0^2(3+x)^2dx\) 도 같은 값이다 — 시험에서 "모양이 다른 정답"이 나올 수 있으니 선택지가 헷갈리면 값으로 비교하라.

\(f(x)=\dfrac{2^x}{\ln2}+3\arctan x+C\).
\(f(0)=\dfrac{1}{\ln2}+0+C=5\Rightarrow C=5-\dfrac1{\ln2}\).
\(f(1)=\dfrac{2}{\ln2}+\dfrac{3\pi}{4}+5-\dfrac1{\ln2}=\dfrac{1}{\ln2}+\dfrac{3\pi}{4}+5\).
함정 해설 — ② \(2^x\ln2\) (미분 공식과 뒤집음 — 2025 Q2 ② 와 같은 함정) · ③ \(C\) 를 안 구함 · ④ \(2^0/\ln2\neq0\) 을 잊고 \(C=5\) 로 둠 · ⑤ \(\arctan1=\frac\pi2\) 착각.

간격은 \(\frac3n\) 인데 곱해진 폭은 \(\frac1n\) → \(\frac1n=\frac13\cdot\frac3n\).
\(\Rightarrow\ \dfrac13\displaystyle\int_1^4\sqrt x\,dx=\dfrac13\cdot\dfrac23\left[x^{3/2}\right]_1^4=\dfrac29(8-1)=\dfrac{14}{9}\). (같은 값: \(\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+3x}\,dx\).)
함정 해설 — ① 폭 계수 \(\frac13\) 누락 (2025 Q7 ③ 과 같은 실수) · ② \(\frac13\) 은 붙였지만 아래끝 \(1\) 을 빼먹음 · ③ 둘 다 빠뜨림 · ④ \(\frac{3i}{n}\) 의 3 과 시작점 1 을 무시하고 \(\int_0^1\sqrt x\).

\(u=\ln x,\ du=\frac1x dx\). 구간도 바꾼다: \(x=1\to u=0\), \(x=e^2\to u=2\).
\(\displaystyle\int_0^2u^2\,du=\left[\frac{u^3}{3}\right]_0^2=\frac83\).
함정 해설 — ① \(\frac13\) 누락 · ② Example 9 (\(\int u\,du\)) 모양으로 착각해 \(\frac{u^2}{2}\big|_0^2\) · ③ 구간을 \(u\) 로 안 바꾸고 \(x\) 값 \(1,e^2\) 을 그대로 \(\frac{u^3}{3}\) 에 넣음 — 가장 흔한 치환 실수 · ⑤ 적분 대신 \(u^2\) 에 \(2\) 대입.

\(e^{2x}=(e^x)^2\), 분자 \(e^x=(e^x)'\) → \(u=e^x\). \(x=0\to u=1\), \(x=\ln\sqrt3\to u=\sqrt3\).
\(\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\frac{du}{1+u^2}=\arctan\sqrt3-\arctan1=\frac\pi3-\frac\pi4=\frac{\pi}{12}\).
함정 해설 — ① 아래끝을 \(u=0\) 으로 둠 (\(x=0\) 을 그대로 씀, \(e^0=1\)) · ② \(\ln\) 형으로 착각: \((1+e^{2x})'=2e^{2x}\neq e^x\) 인데 \(\frac12\ln(1+e^{2x})\) 로 계산 · ③ \(\arctan1=\frac\pi6\) 착각 · ④ \(\arctan1\) 한쪽 값만.

Ⓐ T. \(u=2x+2,\ du=2dx\), \(x:-1\to2\Rightarrow u:0\to6\). \(\frac12\displaystyle\int_0^6f(u)du=6\) (가로 압축 → 넓이 절반).
Ⓑ F. \(u=6-x,\ du=-dx\), \(x:0\to6\Rightarrow u:6\to0\). \(\displaystyle\int_6^0f(u)(-du)=\int_0^6f(u)du=12\). 구간이 뒤집히는 \(-\) 와 \(du=-dx\) 의 \(-\) 가 상쇄된다 (반사 reflection 은 넓이를 안 바꾼다 — 2025 Q14 Ⓒ 와 같은 원리).
Ⓒ T. \(u=1-x\) (교재 97번): \(\displaystyle\int_1^0(1-u)^2u^7(-du)=\int_0^1u^7(1-u)^2du\). 값은 둘 다 \(\tfrac{1}{360}\).
함정 해설 — 2025 는 "셋 다 참"이었다. 같은 모양을 기대하고 ① 로 찍는 습관이 가장 위험하다. 부호가 한 번만 바뀐다고 보면 ⑤ 쪽으로 간다.

일반형: \(\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=f(b(x))\,b'(x)-f(a(x))\,a'(x)\).
\(g'(x)=\sqrt{x^4+9}\cdot2x-\sqrt{(1-2x)^2+9}\cdot(-2)\).
\(x=2\): 위끝 \(4\) → \(\sqrt{25}=5\), 아래끝 \(-3\) → \(\sqrt{18}=3\sqrt2\). \(g'(2)=5\cdot4+2\cdot3\sqrt2=20+6\sqrt2\).
함정 해설 — ① 아래끝의 \(-\) 와 속미분 \((1-2x)'=-2\) 의 \(-\) 가 곱해져 plus 가 되는 것을 놓침 (메모 "minus… plus?" 의 바로 그 지점) · ② 속미분 둘 다 누락 · ③ 아래끝 항을 통째로 무시 · ④ \((x^2)'=2x\) 에 \(x=2\) 를 안 넣고 \(2\) 로 씀.

양변을 \(x\) 로 미분. 좌변 (FTC 1 + 연쇄법칙): \(f(x^2)\cdot2x\). 우변 (곱의 법칙): \((3x^2+x^3)e^{x-2}\).
\(\Rightarrow f(x^2)=\dfrac{(3x^2+x^3)e^{x-2}}{2x}\).
🔴 \(f(4)\) 는 \(x^2=4\), 즉 \(x=2\) 를 넣는다: \(f(4)=\dfrac{(12+8)\cdot1}{4}=5\).
함정 해설 — ① \(2x\) 로 나누지 않음 · ③ \(x=4\) 를 대입 — 실제로는 \(f(16)=14e^2\) 을 구한 것 (2025 Q17 과 같은 함정) · ④ 곱의 법칙 누락 (\(3x^2e^{x-2}\) 만) · ⑤ 지수 부분만 미분 (\(x^3e^{x-2}\)).

Ⓐ F. \(\frac1{x^2}\) 은 \(x=0\) 에서 무한 불연속 → 구간 \([-1,2]\) 에서 FTC 2 를 쓸 수 없다. \(\left[-\frac1x\right]_{-1}^{2}=-\frac32\) 은 틀린 계산 (양수 함수의 적분이 음수일 수 없다). 실제로 이 적분은 발산한다.
Ⓑ T. \(\ln3a-\ln a=\ln3\) — \(a\) 에 무관 (Example 7 \(\int_3^6\frac{dx}{x}=\ln2\) 의 일반화).
Ⓒ F. 반례: \(G(x)=-\frac1x\ (x\gt0)\), \(G(x)=-\frac1x+1\ (x\lt0)\) 도 \(G'=\frac1{x^2}\). 정의역이 두 구간이라 상수가 둘이다.
함정 해설 — Ⓐ 는 계산 결과가 "깔끔하게" 나와서 참으로 보인다. 적분 전에 구간 안에 불연속점이 있는지부터 확인.

(A) \(u^2=x+3\) → \(2u\,du=dx\) → \(2u\).
(B) \(u=\sqrt{1+3}=\) \(2\). (구간을 \(u\) 로 바꾸면 \(x\) 로 되돌릴 필요가 없다.)
(C) \((u^2-3)\cdot u\cdot2u=\) \(2u^4-6u^2\).
(D) \(\left[\frac25u^5-2u^3\right]_1^2=\left(\frac{64}{5}-16\right)-\left(\frac25-2\right)=-\frac{16}{5}+\frac85=\) \(-\frac85\).
(부정적분으로 쓰면 \(\frac25(x+3)^{5/2}-2(x+3)^{3/2}+C\), 미분하면 \(x\sqrt{x+3}\) ✔)
함정 해설 — (A) 에 \(\frac{1}{2\sqrt{x+3}}\) 처럼 \(x\) 를 섞어 쓰면 \(u\) 적분이 안 된다 · (B) 를 \(x\) 값 \(1\) 로 두는 실수 · (D) 가 음수인 것은 정상 — \([-2,0]\) 에서 \(x\lt0\) 인 부분의 넓이가 더 크다.

\(v=(t-3)(t+1)\): \((0,3)\) 에서 \(v\lt0\), \((3,4)\) 에서 \(v\gt0\) → \(t=3\) 에서 끊는다.
\(\displaystyle\int_0^3v\,dt=-9\) → \(9\), \(\displaystyle\int_3^4v\,dt=\frac73\). distance \(=9+\frac73=\frac{34}{3}\).
함정 해설 — ① displacement(변위) \(\int_0^4v\,dt=-\frac{20}{3}\) · ② 변위의 절댓값 \(\left|\int v\right|\neq\int|v|\) · ③ 앞 구간만 · ⑤ 뒤 구간만. (꼭짓점 \(t=1\) 에서 잘못 끊어도 \(\frac{20}{3}\) 이 나온다 — 끊는 점은 \(v=0\) 인 곳.)

\(f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-(-1)}\displaystyle\int_{-1}^{3}x^2dx=\dfrac14\cdot\dfrac{27+1}{3}=\dfrac73\).
\(c^2=\frac73\Rightarrow c=\pm\sqrt{\frac73}=\pm\frac{\sqrt{21}}{3}\approx\pm1.528\). 그런데 \(-1.528\notin[-1,3]\) → \(c=\frac{\sqrt{21}}3\) 하나뿐.
함정 해설 — ② 구간 확인 누락 (교재 Example 2 는 둘 다 구간 안이었다 — 그 기억이 함정) · ③ \(f_{\text{avg}}\) 를 \(c\) 로 착각 · ④ 구간의 중점 · ⑤ \(\sqrt{7/3}\) 를 \(\sqrt7/3\) 로 잘못 정리.

Ⓐ T. \(v=gt\): \(\frac1T\displaystyle\int_0^Tgt\,dt=\frac{gT}{2}=\frac12v_T\).
Ⓑ F. \(s\) 의 함수로 쓰면 \(v=\sqrt{2gs}\): \(\frac1S\displaystyle\int_0^S\sqrt{2gs}\,ds=\frac23\sqrt{2gS}=\frac23v_T\). 빠른 뒤쪽 구간이 거리로는 길어서 가중치가 커진다.
Ⓒ F. \(f_{\text{avg}}=\frac14\cdot\frac23\cdot8=\frac43\approx1.333\lt\sqrt2\approx1.414=f(2)\). \(\sqrt x\) 는 위로 볼록(concave down) 이라 교재 25번 부등식이 반대로 선다.
함정 해설 — 교재 25번 "\(f_{\text{avg}}\gt f(\text{중점})\)" 을 조건(아래로 볼록) 없이 외우면 Ⓒ 를 T 로 고른다.

총질량 \(=\displaystyle\int_0^9(2+3x^{1/2})dx=18+3\cdot\frac23\cdot27=18+54=72\) kg.
평균밀도 \(=\dfrac{72}{9}=8\) kg/m.
함정 해설 — ① 총질량에서 멈춤 (길이로 나누기 누락 — 2025 Q9 와 Q22 의 차이) · ② 끝값 \(\rho(9)\) · ③ 양끝 평균 \(\frac{\rho(0)+\rho(9)}{2}\) — 선형일 때만 맞다 · ⑤ 거듭제곱 역산을 뒤집어 \(\frac32\) 를 곱함.

교점: \(x^3-3x=x\Rightarrow x(x^2-4)=0\Rightarrow x=-2,0,2\).
\([-2,0]\) 에서 \(x^3-3x\ge x\), \([0,2]\) 에서 \(x\ge x^3-3x\) — 위아래가 바뀐다.
\(A=\displaystyle\int_{-2}^{2}|x^3-4x|\,dx=2\int_0^2(4x-x^3)dx=2(8-4)=8\).
함정 해설 — ① 구간을 안 나누면 기함수라 \(0\) (2025 Q18 과 같은 함정) · ② 한쪽 고리만 · ④ 대칭을 쓰면서 2배를 한 번 더 · ⑤ 교점을 \(x^2=3\) (곡선과 \(x\)축의 교점)으로 잘못 잡음.

교점 \(x=0,1\). \(0\lt x\lt1\) 에서 \(\sqrt x\gt x\) → 바깥 반지름 \(R=\sqrt x+1\), 안쪽 \(r=x+1\) (축까지 거리 \(=y-(-1)\)).
\(V=\pi\displaystyle\int_0^1\big[(\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\big]dx=\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi\left(\frac43-\frac12-\frac13\right)=\frac{\pi}{2}\).
함정 해설 — ① 제곱 누락 \(\pi\int(R-r)\) (x축 회전으로 착각해도 같은 값 \(\frac\pi6\)) · ② \(\pi\int(R-r)^2\) — 와셔는 \(R^2-r^2\) · ③ 반지름을 \(y-1\) 로 (축 방향 반대) — 음수로 들킨다 · ④ 안쪽 반지름에만 축 이동 \(+1\) 을 빠뜨림.

축 \(x=2\) 는 영역 \([0,1]\) 의 오른쪽 → 껍질 반지름 \(2-x\), 높이 \(x-x^2\).
\(V=2\pi\displaystyle\int_0^1(2-x)(x-x^2)\,dx=2\pi\int_0^1(2x-3x^2+x^3)\,dx=2\pi\left(1-1+\frac14\right)=\frac{\pi}{2}\).
함정 해설 — ② 반지름 \(x\) (\(y\)축 회전으로 착각) · ③ 반지름 \(x+2\) (축이 \(x=-2\) 인 것처럼) · ④ \(2\pi\) 대신 \(\pi\) · ⑤ \(2\pi\) 누락.

꼭대기에서 아래로 깊이 \(x\ (0\le x\le4)\). 층 반지름² \(=2^2-(2-x)^2=4x-x^2\), 들어 올릴 거리 \(x+1\).
\(W=\pi\displaystyle\int_0^4(4x-x^2)(x+1)\,dx=32\pi\).
무게중심 검산 (메모): 물 무게 \(\frac43\pi\cdot2^3=\frac{32\pi}{3}\), 중심에서 주둥이까지 \(2+1=3\) → \(\frac{32\pi}{3}\cdot3=32\pi\) ✔
함정 해설 — ① 주둥이 \(1\) cm 누락 (거리 \(x\), 중심 기준 \(2\)) · ③ 주둥이 높이 \(1\) 만 곱함 · ④ 전부를 바닥에서 \(4\) 만큼 올린다고 봄 · ⑤ 층 넓이 \(\pi r^2\) 의 \(\pi\) 누락.

Ⓐ F. 길이 \(L\), 선밀도 \(\rho\): 전체 \(W=\displaystyle\int_0^L\rho g\,x\,dx=\frac{\rho gL^2}{2}\). 위쪽 절반을 감으면 위쪽 조각은 \(x\) 만큼, 아래쪽 절반은 전부 \(\frac L2\) 만큼 올라간다 → \(\frac{\rho gL^2}{8}+\frac{\rho gL^2}{4}=\frac34W\) (위쪽 조각만 따져도 \(\frac14W\)) — 어느 쪽이든 절반이 아니다. 일은 길이가 아니라 \(L^2\) 에 비례.
Ⓑ F. \(k=\frac{40}{0.05}=800\) N/m. \(\int_0^{0.05}800x\,dx=1\) J, \(\int_{0.05}^{0.10}800x\,dx=3\) J. 힘-늘어난 길이 그래프에서 삼각형 vs 사다리꼴 넓이.
Ⓒ T. 구의 무게중심 = 중심. 각 층의 (무게 × 거리) 합 = 전체 무게 × 무게중심의 이동거리 (Q21 에서 \(32\pi\) 로 두 방법 일치).
함정 해설 — Ⓐ 는 교재 True-False Quiz 10 원문 (정답 F). Ⓑ 는 "같은 5 cm 이니 같은 일"이라는 직관을 노린다.

공식: \(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\ (f'(x_n)\neq0)\).
Ⓐ T. \(f'(x)=3x^2-3\), \(f'(1)=0\) → 접선이 수평이라 \(x\)축과 만나지 않아 \(x_2\) 가 정의되지 않는다.
Ⓑ T. \(x_{n+1}=x_n-\dfrac{x_n^{1/3}}{\frac13x_n^{-2/3}}=x_n-3x_n=-2x_n\) → \(|x_n|\) 이 매번 두 배, 발산.
Ⓒ F. \(f(2)=-1,\ f'(2)=4\): \(x_2=2-\dfrac{-1}{4}=\dfrac94\). (\(\frac52\) 는 분모에 \(f'(x)=2x\) 의 \(x\) 를 안 넣고 \(2\) 로 쓴 값.)
함정 해설 — Ⓐ·Ⓑ 는 교재 31·33번 원형. Ⓒ 는 계산기 없이 되는 "거듭제곱근" 근사 (메모 "계산기 없이 풀 수 있는 예시만 출제") 에서 분모 실수를 노린다.

느린 주자가 \(x\) 만큼 가면 빠른 주자는 \(4x\). \(\theta(x)=\arctan4x-\arctan x\ (x\ge0)\).
양함수 미분 (arctan): \(\theta'(x)=\dfrac{4}{1+16x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}=0\Rightarrow4+4x^2=1+16x^2\Rightarrow x=\dfrac12\). \(x\lt\frac12\) 에서 \(\theta'\gt0\), \(x\gt\frac12\) 에서 \(\theta'\lt0\) → 절대극값 1계 판정법으로 절대 최대.
\(\theta_{\max}=\arctan2-\arctan\frac12\), \(\tan\theta_{\max}=\dfrac{2-\frac12}{1+2\cdot\frac12}=\dfrac34\) → \(\theta_{\max}=\arctan\dfrac34\).
(음함수 미분 (tan): \(\tan\theta=\dfrac{3x}{1+4x^2}\), \(\sec^2\theta\,\theta'=\dfrac{3(1-4x^2)}{(1+4x^2)^2}=0\Rightarrow x=\frac12\) — 같은 결과.)
함정 해설 — ① \(\tan\) 의 역수 (여각) · ② 빠른 주자 쪽 각만 · ③ 교재 81번(3배) 의 답을 외워 씀 · ⑤ 느린 주자 쪽 각만.

(A) \(\dfrac{2x}{9}+\dfrac{2y}{4}\,y'=0\Rightarrow y'=\) \(-\dfrac{4x}{9y}\).
(B) \(-\dfrac yx=-\dfrac{4x}{9y}\Rightarrow9y^2=4x^2\Rightarrow y=\) \(\dfrac23\)\(\,x\) (비례식 — 변수를 소거하지 않고 비로 답을 얻는다).
(C) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{x^2}{9}=1\Rightarrow x^2=\dfrac92\Rightarrow x=\) \(\dfrac{3}{\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}\), \(y=\sqrt2\).
(D) \(A=4\cdot\dfrac{3}{\sqrt2}\cdot\sqrt2=\) \(12\). (한 변수로 풀어도 \(A(x)=\frac{8x}{3}\sqrt{9-x^2}\) 의 최대 \(12\) — 일치.)
함정 해설 — (B) 를 역비 \(\frac32\) 로 쓰는 실수 · (D) 에서 \(A=xy\) 로 두어 4배를 빠뜨리면 \(3\) · 제약식 미분에서 \(\frac{2y}{4}\) 를 \(\frac{y}{4}\) 로 쓰면 비가 틀어진다.

(a) 가장자리까지 수평거리 \(4\sqrt2\): \(d=\sqrt{h^2+32}\), \(\cos\theta=\dfrac hd\) → \(I(h)=\dfrac{kh}{(h^2+32)^{3/2}}\).
\(I'(h)=k\,\dfrac{(h^2+32)-3h^2}{(h^2+32)^{5/2}}=k\,\dfrac{32-2h^2}{(h^2+32)^{5/2}}=0\Rightarrow h^2=16\Rightarrow h=4\). \(h\lt4\) 에서 \(I'\gt0\), \(h\gt4\) 에서 \(I'\lt0\) → 절대 최대 (일반형: \(h=\dfrac{R}{\sqrt2}\)).
(b) 등의 점까지 수직거리 \(7-1=6\), 수평거리 \(x(t)\), \(\dfrac{dx}{dt}=1\): \(I=\dfrac{6k}{(36+x^2)^{3/2}}\).
관련변화율 (related rates, 연쇄법칙): \(\dfrac{dI}{dt}=6k\cdot\left(-\tfrac32\right)(36+x^2)^{-5/2}\cdot2x\cdot\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{18kx}{(36+x^2)^{5/2}}\).
\(x=8\): \(36+64=100\), \(100^{5/2}=10^5\) → \(\dfrac{dI}{dt}=-\dfrac{144k}{100000}=-\dfrac{9k}{6250}\) (조도는 \(\frac{9k}{6250}\) 의 비율로 감소).
함정 해설 — ① \(\cos\theta=\dfrac hd\) 의 분모 \(d\) 를 빠뜨려 \(I=\dfrac{kh}{d^2}\) 를 최대화 → \(h=\sqrt{32}=4\sqrt2\) · ③ 속미분 \((36+x^2)'=2x\) 누락 (\(-\tfrac32\cdot6k\cdot10^{-5}\)) · ④ 각 요인 \(\cos\theta\) 를 통째로 무시하고 \(I=\dfrac{k}{d^2}\) 로 미분 · ⑤ 멀어질수록 어두워지는데 부호를 \(+\) 로 둠 ("감소율"과 \(\frac{dI}{dt}\) 혼동). 또 \(h-1\) 대신 \(h=7\) 을 쓰는 실수도 흔하다 (등의 점은 지면에서 1 m 위).

\(f(x_i^*)=\dfrac{1}{(\sqrt{x_{i-1}x_i})^2}=\dfrac{1}{x_{i-1}x_i}\). \(x_i-x_{i-1}=\Delta x\) 이므로 \(\dfrac{\Delta x}{x_{i-1}x_i}=\dfrac{x_i-x_{i-1}}{x_{i-1}x_i}=\dfrac1{x_{i-1}}-\dfrac1{x_i}\).
\(R_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\frac1{x_{i-1}}-\frac1{x_i}\right)=\frac1{x_0}-\frac1{x_n}=\frac12-\frac15=\frac{3}{10}\) — 망원합(telescoping sum)이라 \(n\) 에 관계없이 정확히 \(\frac3{10}\).
따라서 \(\displaystyle\int_2^5\frac{dx}{x^2}=\lim_{n\to\infty}R_n=\frac3{10}\) (FTC 2 검산: \(\left[-\frac1x\right]_2^5=-\frac15+\frac12\) ✔).
함정 해설 — ② 망원합 순서를 뒤집어 \(\frac1{x_n}-\frac1{x_0}\) · ③ 양끝 함숫값의 차 \(f(2)-f(5)=\frac14-\frac1{25}\) (\(\frac1x\) 이 아니라 \(\frac1{x^2}\) 에 대입) · ④ 항등식 안에 이미 \(\Delta x\) 가 들어 있는데 \(\Delta x\) 를 한 번 더 곱함 (\(\frac3n\cdot\frac3{10}\)) · ⑤ 망원합에서 부호 실수 \(\frac12+\frac15\).

틀 (선생님 판서): \(\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}{n}\,f\!\left(a+\frac{b-a}{n}i\right)\).
\(a=1,\ b=3\) → \(\Delta x=\frac2n\), \(x_i=1+\frac{2i}{n}\), \(f(x)=x^3+2x\) → ④. 폭 \(\frac2n\) 과 간격 \(\frac{2i}{n}\) 의 2 가 같아야 한다.
(여기서 멈추는 것이 메모의 "express 까지만". 합 공식 \(\sum i^3=\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2\) 등으로 끝까지 계산하면 \(28\) — 검산용일 뿐 시험 요구 범위가 아니다.)
함정 해설 — ① 폭을 \(\frac1n\) 로 씀 (값은 정답의 절반) · ② 시작점 \(a=1\) 을 버림 → \(\int_0^2\) · ③ 간격을 \(\frac in\) 으로 씀 → \(2\int_1^2\) · ⑤ \(b-a\) 대신 \(b=3\) 을 폭으로 씀 → \(\int_1^4\). 다섯 식의 값은 \(14,\ 8,\ \tfrac{27}{2},\ 28,\ \tfrac{315}{4}\) 로 모두 다르다 — 헷갈리면 값으로 비교 (Q4 ⚠️ 와 같은 요령).

\(x=3u,\ dx=3\,du\): \(\dfrac{4\cdot3\,du}{\sqrt{9-9u^2}}=\dfrac{4\,du}{\sqrt{1-u^2}}\) — 바깥 \(3\) 과 루트 안 \(9\) 의 \(3\) 이 상쇄된다. 즉 \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\sin^{-1}\frac xa+C\) (계수 \(\frac1a\) 없음).
구간: \(u:\frac12\to\frac{\sqrt3}2\). \(4\left[\sin^{-1}u\right]_{1/2}^{\sqrt3/2}=4\left(\frac\pi3-\frac\pi6\right)=\frac{2\pi}{3}\).
함정 해설 — ① \(\tan^{-1}\) 공식 \(\int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac1a\tan^{-1}\frac xa\) 의 \(\frac1a\) 을 arcsin 에도 붙임 · ② \(\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\) 의 역도함수를 \(\cos^{-1}\frac x3\) 로 씀 (\(\cos^{-1}\frac x3\) 의 도함수는 \(-\frac1{\sqrt{9-x^2}}\)) · ④ 계수 \(4\) 누락 · ⑤ 위끝 값 \(4\cdot\frac\pi3\) 만 계산하고 아래끝 \(\sin^{-1}\frac12=\frac\pi6\) 을 빼지 않음.

\(u=x^2,\ du=2x\,dx\Rightarrow x\,dx=\frac12du\). \(x^4=u^2\), 구간 \(x:0\to\sqrt2\Rightarrow u:0\to2\).
\(\displaystyle\int_0^{\sqrt2}x\sqrt{4-x^4}\,dx=\frac12\int_0^{2}\sqrt{4-u^2}\,du\).
\(y=\sqrt{4-u^2}\ (0\le u\le2)\) 은 반지름 \(2\) 인 원의 제1사분면 부분(quarter circle) → 넓이 \(\frac14\pi\cdot2^2=\pi\). 따라서 \(\frac12\cdot\pi=\frac\pi2\).
함정 해설 — ① \(x\,dx=\frac12du\) 의 \(\frac12\) 누락 · ③ 사분원이 아니라 원 전체 넓이 \(\pi\cdot2^2=4\pi\) 를 씀 (\(\frac12\cdot4\pi\)) · ④ 반지름을 원래 교재 문제처럼 \(1\) 로 두고 \(\frac12\cdot\frac\pi4\) (변형된 숫자를 안 읽음) · ⑤ \(\frac12\) 을 두 번 곱함.

\(y=\pm|x|\sqrt{x+4}\) — \(x\)축 대칭이고, \(x=-4\) 와 \(x=0\) 에서 두 가지가 만나 고리를 이룬다. \(-4\le x\le0\) 에서 \(|x|=-x\).
\(A=2\displaystyle\int_{-4}^{0}(-x)\sqrt{x+4}\,dx\). \(u=x+4\) (\(x=u-4\), \(u:0\to4\)): \(A=2\displaystyle\int_0^4(4-u)\sqrt u\,du=2\left[\frac83u^{3/2}-\frac25u^{5/2}\right]_0^4=2\left(\frac{64}{3}-\frac{64}{5}\right)=\frac{256}{15}\).
함정 해설 — ① 위쪽 반만 (대칭 \(\times2\) 누락) · ② \(\sqrt{x^2}=x\) 로 두어 \(|x|\) 를 놓침 — 넓이가 음수로 나오면 이것 · ③ 대칭 2배를 한 번 더 · ④ \(y\) 대신 \(y^2=x^2(x+4)\) 를 적분 (루트를 빠뜨림).

셸 읽기: \(\displaystyle\int 2\pi\,(\text{radius})(\text{height})\,d(\cdot)\). \(dy\) 이므로 껍질은 가로 띠 → 회전축은 수평선, 반지름 \(y\) 는 \(x\)축(\(y=0\))까지의 거리.
높이(띠의 길이) \(=\ln y\): 높이 \(y\) 에서 \(x=0\) 부터 \(x=\ln y\) (즉 \(y=e^x\)) 까지. \(1\le y\le e\) → 영역은 \(y=e^x\) 위쪽, \(y=e\) 아래, \(x=0\) 오른쪽. \(x\)축 둘레 회전 → ①.
값 검산: \(2\pi\left[\frac{y^2}{2}\ln y-\frac{y^2}{4}\right]_1^e=\frac{\pi(e^2+1)}{2}\). 와셔로 다시 재면 \(\pi\displaystyle\int_0^1\left(e^2-e^{2x}\right)dx=\frac{\pi(e^2+1)}{2}\) ✔ (두 방법 일치).
함정 해설 (각 입체의 실제 부피) — ② 곡선 아래 영역으로 읽음 → \(\frac{\pi(e^2-1)}2\) · ③ \(dy\) 셸인데 수직축으로 착각 → \(\pi(e-2)\) · ④ 반지름이 \(e-y\) 여야 하는 축 → \(\pi\left(2e-\frac{e^2}2-\frac12\right)\) · ⑤ 반지름이 \(y+1\) 이어야 하는 축 → \(\frac{\pi(e^2+5)}2\). 반지름 \(y\) = "\(y=0\) 까지의 거리"를 확인하는 것이 핵심.